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设/(x)=sin—4-cos2兀,贝!
J/(27)(^)=.
设/©
))=-2,则In討比一勿一/仇+力二力t()h
设门对=Fe-dt,则Ihn住竺上△匕么
Joa—>
0a
设/(x)=max(x,x2),在区间(0,2)内f(x)=_
fsinxc—.
I=cos“x+C,贝[If(x)=•
J0
己知g(x)处处连续,JI/(x)=y£
(X-t)2g(t)dt,贝|Jf\x)=
xx<
0
已知/(x)=<
a+bcosx在兀=0处可导,,贝lj°
=,h=
x>
x1sin-+sinx
设/(x)在兀=0处连续且当XHO时,f(x)=,则/(0)=
cosxln(l+x)
dsin/,
一clt=.
dxJ()1+cosr
曲线yx轴、y轴及x=l所围图形绕x轴旋转所得的旋转体体积是
已知lim,•八(>
=AH0,贝,A=
nk-(n-1/
x
设/(x)在兀=0点可导,冃/(0)=0,贝I」lim1
xtO
33.\[f(x)^xf\x)]cbc=
在兀=0点为可去间断点,则Q=
x>
35.函数/(x)可导,且曲线y=f\x)(如图1所示),又知f(a)=1,f(h)=3,/(c)=5,则函数y=f(x)的极值是,拐点是
36.设/⑴=兀(兀+1)(2乳+1)(3兀-1),则在区间(-1,0)内方程f\x)=0有个实根;
在区间
(-1,1)内方程f\x)=0有个实根.
37.若函数/(兀)满足方程/2(x)=[f(t)dt9则f(x)=.
JO
皿f1x<
1[-2x<
1口ii
38.k/(%)=<
‘gM=\,则g[f(x)]=.
[-1x>
1[2\x>
I
39.由曲线尸Jl_(兀-1)?
与直线y=x所围平面图形绕y轴旋转一周得到的
旋转体的体积V的积分表达式为(不必计算)。
40.设/(兀)是连续函数,且lim/(x)=1,则limf'
\-(sin-)/(r)6?
r=.
XT2XT+bJxf
41.设^f(t-x)dt=e'
xl则/(兀)=
\_
X
.无一1
0v兀v1
x>
l
,当()时无穷大量.
(B)XT4-00
(D)XT1
二、选择题(每小题2分)
(A)XT一8
(C)xtO
2.下列函数屮,在[-龙,龙]上满足罗尔定理的条件是().
(B)
/(X)=sinx
(C)
5.
函数/(兀)在(d,b)内连续,则()也在(d,b)内连续.
6.
若/(-x)=/(x)(-oo<
X<
+oo),在(-CO,0)内f\x)>
0,且f\x)V0,则在(0,4oo)内有().
7.设y=f(x)是方程4y=0的一个解,若/(%)>0,且f\xQ)=0,则/(%)在x0处().
(A)取极大值(B)取极小值
(C)不一定取到极值(D)—定不取到极值
&
函数()的需求价格弹性型与价格无关.
Ep
9.下列不等式屮,()成立.
(A)j]In2xdx>[inxdx
(C)j+x3dx>x2dx
10.下列广义积分收敛的是().
(A)r^dx
(B)
(D)
jln2xJx>
|<
Inxdx
•-2
dx>
(A)Q=a-bp
Q=a-bp-cp2
x\nx
gdxexln2x
11、
1・x2+cos2x-\
12、函数f(x)=<
\r2-1
x-1
(C)不存在(D)oo
兀H1在点x=1处()
X=1
(A)不连续
(C)可导但导数不连续
(B)连续但不可导
(D)可导且导数连续
(A)0(B)1
lim—
xt8(x+sinx)*"
13>
出方程ey+xy-e=0所确定的隐函数的微分dy=()。
(A)dx
y+ex
(B)——dx
%+o'
(C)Vdx
x+ey
(D)—『dxx^ey
14、设函数/(x)-阶可导且处处满足方程r(x)+3(/V))2+2^/W=0,若兀。
是该函数的一
个驻点且/(x0)<
0,则/⑴在点兀°
处()。
(A)取极大值(B)取极小值(C)无极值(D)不确定
15、若歹=——在[—1,1]上满足罗尔屮值定理,则定理屮的§
=()
1+十
(A)-1(B)0(C)2(D)1
16、当x>
0时,曲线y=xsin丄()。
(A)仅有水平渐近线(B)仅有铅直渐近线
(C)既有水平还有铅直渐近线(D)既没有水平也没有铅直渐近线
17、设/(兀)是sir?
兀的一个原函数,贝ljdf(x2)=()。
(A)2xsin2x2dx(B)sinxAdx
(C)
7w
sin(/(x))广(x)
19、设/(x)单调可导,g⑴是/⑴的反函数,则羊型sinM=()。
dxJ1t
20、下列广义积分收敛的是()o
(A)0
(B)I
-1
(D)1
23、设/(x)是可导函数,则()
(A)若/(兀)为奇函数,则广(兀)为偶函数
(B)若/(x)为奇函数,则广(对亦为奇函数
(C)若畑为单调函数,则广(兀)亦为单调函数
(D)若兀兀)为非负函数,则广(兀)亦为非负函数24>
设y=/(-x)可导,贝ljy=()。
(A)f\x)
(B)一/©
)
(C)f\-x)
(D)-f(-x)
25、r(xo)=O且厂(兀。
)>
0是y=/(%)在点%0处有极值的()条件。
(A)必要(B)充分(C)充分必要(D)无关
26、若点(1,3)是曲线y:
(A)-3/2,-9/2
(C)3/2,-9/2
27、已知F(x)是f(x)
二处'
+/z?
上的拐点,则a,b分别为()。
(B)-3/2,9/2
(D)3/2,9/2
的原函数,贝〔J「/(f+d)d/=()o
Ja
(A)F(x)-F(a)
(B)F(t+a)-F(2a)
(C)F(x+a)-F(2a)
(D)F(r)-F(a)
28>
设|f\x)dx=x2e2x+c,
则f(x)=()o
(A)2兀戶
(B)2兀沪
(C)心(2+兀)
(D)2壮"
(1+兀)
29>
设/(x)连续且不等于零,若[xf(x)dx=arcsinx+c,贝ljf必=()。
J•J/(兀)
(A)-(l-x2)3/2+C(B)-(l-x2)3/2+C
33
(C)--(l-x2)3/2+C(D)--(l-x2)3/2+C
30、当()吋,广义积分f°
e^dx收敛。
J—oo
(A)k>
0(B)k>
0(C)k<
0(D)^<
31.设f(x)=£
*nAsint~dt,g(x)=x34-x4,W当xtO吋/(x)是<
?
(兀)的()无穷小.
(A)等价(B)同阶非等价(C)高阶(D)低阶
32.如果/⑴处处二次可微,
则lim[lim门。
+2心H-g+ZQ+g]=
«
—>
0力to]讣
(A)(B)f3
(C)(D)
33.设函数/⑴处处可导,且有/z(0)=1,并对任何实数%和h,恒有:
/(%+//)=/(x)+/(/z)+2加,则
/©
)=()•
(A)2兀+1(B)x+1(C)x(D)夕
34.设/(%)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,口有/⑷=f(b),若/(%)不恒等于常数,则在(讪内
()•
(A)至少存在一点使得/(§
0(B)至少存在一点使得广(§
(C)任一点§
处,总有/毬)=0(D)任一点§
处,总有/毬)丰0
35.设/(0)=0,=则函数/(x)在兀=0处().
•—0X
(A)可导,且广(0)H0(B)取得极大值
(C)取得极小值(D)不可导
36.设/(X)是(-oo,+oo)上奇函数,且对任意实数兀冇:
/(x+2)-/(x)=/
(2)成立,则当/(X)是以2为周期的周期函数吋,必有/
(1)=().
(A)-l(B)0(C)l(D)2
37.y=ax3-^-bx2+cx+d在同一x处有一拐点和一水平切线,则a,应满足关系式为().
(A)a-c(B)a+/?
+c=0
38.jxv(l+lnx)dx=().
(A)—xv+,+lnx+C
x+l
(C)xlnx+C(D)—xxlnx+C
39.lim(丄+^—+•••+」一)=().“too〃+]n+2n^n
(A)In2(B)e(C)0(D)1
♦
sinx兀HQ]
40.设f(x)=<
x"
H的定积分J(*f(x)dx().
kx=0
(A)不存在(B)存在且与&
有•关
42.设兀t0时,严T与対是同阶无穷小,则"
().
(A)l(B)2(C)3(D)4
43.设/(兀)在(Y,z)上有定义,在点x=0处连续,lim/(兀)H0,则兀=0是g(x)=<
"
丿心°
0x=0的().
(A)第一类间断点(B)第二类间断点
(C)连续点(D)间断点但类型不能确定
44•设/(兀)在x=0的某个领域内可导,且/'
(0)=0及lim/(X)=-t贝ij().
XTO1-cosx2
(A)/'
(0)必是/©
)的一个极小值
(B)厂(0)必是广(x)的一个极大值
(C)/(0)必是f(x)的一个极小值
(D)/(O)必是/(兀)的一个极大值
45.若已矢nm>
N=+贝l」().
(A)T>
1
2N—\
(B)T<
(C)T>
2AF
(D)T<
2^V
46.设常数k>
0,则f(x)=]nx--+k在(0,+oo)内零点的个数是().e
(A)0(B)l(C)2(D)3
47.设/(x)=lnx+f/⑴d/,则f(x)=().
(A)lnx+(e-l)(B)lnx+C(C为任意常数)
(D)lnx
(C)lnx+
2-e
(A)sin1-3(B)-sinl-3
50.下列广义积分发散的是().
(A)
gdx
2xlnx
(C)sin1+3
(B)f°
e^xdx
J—oo
(D)^x\x\xdx
(D)sinl+15
(C)f(x)=O(g(x))
(B)f(x)=O(g(x))但/(x)不等价于g(x)
三、计算题(每小题10分)
(♦丄◎COSX-A/COSX
1.计算lim•
gosirrx
—(1—cosx)
3.设1
,讨论/(x)在兀=0点的连续性和可导性.
4.
求不定积分
xex
5.
计算定积分Jcosx(x+cosx)dx.
6.
设/w=r「dt,求f(x)
7.
若lim
兀一asin兀
►sinx
8.
设冇函数/(%)=
11
x~ex-\
j_
xH0,讨论兀=0点的连续性和可导性.
x=0
9.
ex+y-xy=0,求
10.函数f(x)=<
X3
dy
1
0<
%<
(°
>
0卫工1),求/z(x).
11•当d为何值时,
1jr
可导函数/(X)=6zsinx+-sin3x在x=—处取得极值?
33
是极大值还是极小值?
试求出该极值。
■
12.设/(兀)的一个原函数是"
门"
,求
1+xsin兀」
―士farcsin兀1+x2r
13.求dx.
JFVi^7
15.设,讨论函数/(兀)在x=0处连续性.可导性
22.
求极限lim.
XTO+X(1-C0S\/x)
(兀)二
1+对
111丄丄
23.y=0+(—)“+(—)"
+/+炉(°
0),求y'
.ax
24.设Di是由抛物线尸2/和直线“a,*2及),二0所围成平面区域;
D2是由抛物线尸
和直线y=0,兀=口所围成平面区域,其中0<
qv2。
试求:
(1)D)绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积V|;
(2)D2绕y轴旋转一周所围成的旋转体的体积V2;
(3)问:
当。
为何值吋Vi+V2取最大值?
试求此最大值。
25.设/(兀)连续,(p(x)=[lf(xt)dt9且=(A为常数),
JoXTOX
求(p\x),并讨论0(%)在X=O处的连续性.
28.计算极限lim[sin丄]
求广义积分「疔
29.
“T8nfn
[•Z1.x2+2处、_〃
30.求hm(1+——)
31.已知曲线y=a\/x(a>
0)与曲线y=InVx,在点(x0?
y0)处有公共切线,,
求:
⑴常数a的值及切点(x0,y0);
(2)M曲线与兀轴围成的平面图形面积;
(3)平面图形绕兀轴旋转而成的旋转体体积;
32.对抛物线y=4-x2,
(1)求它与兀轴所围部分的面积;
⑵求曲线上x坐标为召的P点处的切线方程(石>
0),并求这条切线与兀轴及直线)=4的交点;
⑶如果⑵中P点处切线与曲线及兀轴和y=4所围图形而积最小,则P点应在何处?
33•设曲线y=a(4-x2\(°
0),过此曲线与兀轴交点(-2,0)及(2,0)作曲线的两条法线,求曲线与这两条法线所围成的平而图形而积的最小值
34.
西=1,xtl+i=2-—^—,n=\2y…….,求证:
数列{xn}的极限存在并求其极限
1+E
36.
叫[1+兀+=a3,求
(1)
性和可导性
40.设f(x)在点x=0的邻域内三阶可导,且
/(0);
广(0);
厂(0);
;
(2)lim[l+如卡
XT0X
41.已知函数/(x)连续且f(x)=^+[2f(x)dx,求[2f(x)dx
l+xJ°
Jo
四、证明题(每小题5分)
1.设/⑴在[0,1]±
连续,在(0,1)内可导,且/(0)=/⑴=0,ifiM=max{|/(x)|xe[O,l]).iiE明:
至少
存在一点兵(0,1)使|/毬)|>
2M.
2.设/(Q在[0,1]±
连续,目丄/(兀)心二0,证明至少存在一点兵[0,1],使/(I-§
)=-/©
3.设F(x)=^(x-2t)e~,2dt,证明:
(1)F(x)是偶函数;
(2)F(x)在(0,2)上是增函数.
4.
5.用极限定义证明:
lim伴丄
“too2h+3/1
函数/(兀)在[0,1]上有定义,且单调不增,证明对任何aw(0,l)有「f(x)dx>
aCf(x)dx.
设x”=(i+古)sin呼,证明:
数列&
”}没冇极限
[•X—\c
7.用极限定义证明:
1-^=0
8.
-/⑷
设x>
o且Ovovi,证明不等式:
xa—ax<
\—a
9.设f(x)在区间[°
上]连续,(a.b)内可导,求证:
(a.b)使得广©
=
10•设函数/(%)在[°
上]连续,(G0)内可导(a,b>
0),求证:
方程
bf(b)-f(a)=xln(—)/•(%)在(a,b)内至少有一个根
a
11•设/(x)在[1,2]上二阶可导,且/
(2)=0,乂F(x)=(x—1)2/0),求证:
m兵(1,2)使得严©
=0
f(x}—X
12.设/(x)三阶可导,/(0)=0,广(0)=1,广'
(0)=2,求证:
lim—=1
XT()JT
13.设/(X)在(a,b)可导,且f(x)在(a,b)内有界,证明:
f(x)在(a,b)内有界
14.若/H(x)>
0,求证:
/(t7+/?
)+f(a-h)>
2f(a),(力>
0)
15•设/(X)在[a,b]连续且/⑷=f(b),广⑴在@0)内存在且几⑷>
0,f'
(x)在(a,b)
内存在,求证:
See(a9b)使得/H(c)<
16•若当XG[0,1]时Ir\x)\<
M,Hf(x)在(0,1)内取得最大值,求证:
|.f(O)|+|/f(l)|<
Af
17.设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且/(0)=0,,求证:
[\lQfMdx]2>
^f3(x)dx
18.设/(x)在[0,1]可导,且f(l)=2^xf(x)dx,求证:
丐e(0,l)使得f©
=一爷
19.设f(x)在[⑦切连续,且/(x)>
0,求证:
B^e[a,b]使得^f(x)dx=-^f{x)dx
rba十bfb
20.设/(兀)在[d,b]连续月.单调上升,求证:
xf(x)dx>
^—\.f(x)dx
Ju2J0
21.设f(x)在[0,1]二阶可导,且/(0)=/(I),广
(1)=1,求证:
疑(0,1)使得厂©
=2
19.求jmax(l,x2)dx.
20.设函数/(x)=x+Qcosx(a>
l)在区间(0,27V)内冇极小值,且极小值为0,求函数/(兀)在该区间内的极大值.
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