初二整式的乘法与因式分解知识点总结整式的乘法知识点Word文件下载.docx
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⑵单项式单项式:
系数系数,同字母同字母,不同字母作为商的因式.⑶多项式单项式:
用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式多项式:
用竖式.5.因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法:
⑴提公因式法:
找出最大公因式.⑵公式法:
①平方差公式:
②完全平方公式:
③立方和:
④立方差:
⑶十字相乘法:
⑷拆项法⑸添项法常考题:
一.选择题(共12小题)1.下列运算中,结果正确的是( )A.x3•x3=x6B.3x2+2x2=5x4C.(x2)3=x5D.(x+y)2=x2+y22.计算(ab2)3的结果是( )A.ab5B.ab6C.a3b5D.a3b63.计算2x2•(﹣3x3)的结果是( )A.﹣6x5B.6x5C.﹣2x6D.2x64.下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为( )A.a(x+y)=ax+ayB.x2﹣4x+4=x(x﹣4)+4C.10x2﹣5x=5x(2x﹣1)D.x2﹣16+3x=(x﹣4)(x+4)+3x5.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A.a2+(﹣b)2B.5m2﹣20mnC.﹣x2﹣y2D.﹣x2+96.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A.x2+x+1B.x2+2x﹣1C.x2﹣1D.x2﹣6x+97.下列因式分解错误的是( )A.x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)B.x2+6x+9=(x+3)2C.x2+xy=x(x+y)D.x2+y2=(x+y)28.把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式,下列结果中正确的是( )A.a(x﹣2)2B.a(x+2)2C.a(x﹣4)2D.a(x+2)(x﹣2)9.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为( )A.﹣3B.3C.0D.110.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( )A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)D.(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b211.图
(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是( )A.abB.(a+b)2C.(a﹣b)2D.a2﹣b212.如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则矩形的面积为( )A.(2a2+5a)cm2B.(6a+15)cm2C.(6a+9)cm2D.(3a+15)cm2 二.填空题(共13小题)13.分解因式:
3x2﹣27= .14.分解因式:
a2﹣1= .15.因式分解:
x2﹣9y2= .16.分解因式:
x3﹣4x= .17.因式分解:
a3﹣ab2= .18.分解因式:
x2+6x+9= .19.分解因式:
2a2﹣4a+2= .20.分解因式:
x3﹣6x2+9x= .21.分解因式:
ab2﹣2ab+a= .22.分解因式:
2a3﹣8a2+8a= .23.分解因式:
3a2﹣12ab+12b2= .24.若m2﹣n2=6,且m﹣n=2,则m+n= .25.如图,边长为a、b的矩形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为 . 三.解答题(共15小题)26.计算:
(x﹣y)2﹣(y+2x)(y﹣2x)27.若2x+5y﹣3=0,求4x•32y的值.28.已知:
a+b=3,ab=2,求下列各式的值:
(1)a2b+ab2
(2)a2+b2.29.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.
(1)求xy的值;
(2)求x2+3xy+y2的值.30.先化简,再求值3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4),其中a=﹣2.31.若a2﹣2a+1=0.求代数式的值.32.分解因式:
(1)2x2﹣x;
(2)16x2﹣1;
(3)6xy2﹣9x2y﹣y3;
(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2.33.(2a+b+1)(2a+b﹣1)34.分解因式:
x3﹣2x2y+xy2.35.分解因式:
(1)a4﹣16;
(2)x2﹣2xy+y2﹣9.36.分解因式x2(x﹣y)+(y﹣x).37.分解因式
(1)a2(x﹣y)+16(y﹣x);
(2)(x2+y2)2﹣4x2y2.38.因式分解
(1)﹣8ax2+16axy﹣8ay2;
(2)(a2+1)2﹣4a2.39.因式分解:
(1)3x﹣12x3
(2)6xy2+9x2y+y3.40.若x2+2xy+y2﹣a(x+y)+25是完全平方式,求a的值. 初二整式的乘法与因式分解知识点总结(含答案解析)参考答案与试题解析 一.选择题(共12小题)1.(2015•甘南州)下列运算中,结果正确的是( )A.x3•x3=x6B.3x2+2x2=5x4C.(x2)3=x5D.(x+y)2=x2+y2A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断;
B、合并同类项得到结果,即可做出判断;
C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断;
D、利用完全平方公式展开得到结果,即可做出判断.解:
A、x3•x3=x6,本选项正确;
B、3x2+2x2=5x2,本选项错误;
C、(x2)3=x6,本选项错误;
D、(x+y)2=x2+2xy+y2,本选项错误,故选A此题考查了完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及幂的乘方,熟练掌握公式及法则是解本题的关键. 2.(2008•南京)计算(ab2)3的结果是( )A.ab5B.ab6C.a3b5D.a3b6根据积的乘方的性质进行计算,然后直接选取答案即可.解:
(ab2)3=a3•(b2)3=a3b6.故选D.本题考查积的乘方,把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 3.(2011•呼和浩特)计算2x2•(﹣3x3)的结果是( )A.﹣6x5B.6x5C.﹣2x6D.2x6根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘,底数不变,指数相加计算后选取答案.解:
2x2•(﹣3x3),=2×
(﹣3)•(x2•x3),=﹣6x5.故选:
A.本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质. 4.(2005•茂名)下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为( )A.a(x+y)=ax+ayB.x2﹣4x+4=x(x﹣4)+4C.10x2﹣5x=5x(2x﹣1)D.x2﹣16+3x=(x﹣4)(x+4)+3x根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式,利用排除法求解.解:
A、是多项式乘法,故A选项错误;
B、右边不是积的形式,x2﹣4x+4=(x﹣2)2,故B选项错误;
C、提公因式法,故C选项正确;
D、右边不是积的形式,故D选项错误;
故选:
C.这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断. 5.(2017春•薛城区期末)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A.a2+(﹣b)2B.5m2﹣20mnC.﹣x2﹣y2D.﹣x2+9能用平方差公式分解因式的式子特点是:
两项平方项,符号相反.解:
A、a2+(﹣b)2符号相同,不能用平方差公式分解因式,故A选项错误;
B、5m2﹣20mn两项不都是平方项,不能用平方差公式分解因式,故B选项错误;
C、﹣x2﹣y2符号相同,不能用平方差公式分解因式,故C选项错误;
D、﹣x2+9=﹣x2+32,两项符号相反,能用平方差公式分解因式,故D选项正确.故选:
D.本题考查用平方差公式分解因式的式子特点,两平方项的符号相反. 6.(2013•张家界)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A.x2+x+1B.x2+2x﹣1C.x2﹣1D.x2﹣6x+9根据完全平方公式的特点:
两项平方项的符号相同,另一项是两底数积的2倍,对各选项分析判断后利用排除法求解.解:
A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故A错误;
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故B错误;
C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故C错误;
D、x2﹣6x+9=(x﹣3)2,故D正确.故选:
D.本题考查了用公式法进行因式分解,能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记. 7.(2009•眉山)下列因式分解错误的是( )A.x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)B.x2+6x+9=(x+3)2C.x2+xy=x(x+y)D.x2+y2=(x+y)2根据公式特点判断,然后利用排除法求解.解:
A、是平方差公式,故A选项正确;
B、是完全平方公式,故B选项正确;
C、是提公因式法,故C选项正确;
D、(x+y)2=x2+2xy+y2,故D选项错误;
D.本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解,需熟练掌握. 8.(2015•菏泽)把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式,下列结果中正确的是( )A.a(x﹣2)2B.a(x+2)2C.a(x﹣4)2D.a(x+2)(x﹣2)先提取公因式a,再利用完全平方公式分解即可.解:
ax2﹣4ax+4a,=a(x2﹣4x+4),=a(x﹣2)2.故选:
A.本题先提取公因式,再利用完全平方公式分解,分解因式时一定要分解彻底. 9.(2016秋•南漳县期末)如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为( )A.﹣3B.3C.0D.1先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积,并且把m看作常数合并关于x的同类项,令x的系数为0,得出关于m的方程,求出m的值.解:
∵(x+m)(x+3)=x2+3x+mx+3m=x2+(3+m)x+3m,又∵乘积中不含x的一次项,∴3+m=0,解得m=﹣3.故选:
A.本题主要考查了多项式乘多项式的运算,根据乘积中不含哪一项,则哪一项的系数等于0列式是解题的关键. 10.(2009•内江)在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( )A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)D.(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b2第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积,等于a2﹣b2;
第二个图形阴影部分是一个长是(a+b),宽是(a﹣b)的长方形,面积是(a+b)(a﹣b);
这两个图形的阴影部分的面积相等.解:
∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2,图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a﹣b),而两个图形中阴影部分的面积相等,∴阴影部分的面积=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).故选:
C.此题主要考查了乘法的平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式. 11.(2013•枣庄)图
(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是( )A.abB.(a+b)2C.(a﹣b)2D.a2﹣b2中间部分的四边形是正方形,表示出边长,则面积可以求得.解:
中间部分的四边形是正方形,边长是a+b﹣2b=a﹣b,则面积是(a﹣b)2.故选:
C.本题考查了列代数式,正确表示出小正方形的边长是关键. 12.(2012•枣庄)如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则矩形的面积为( )A.(2a2+5a)cm2B.(6a+15)cm2C.(6a+9)cm2D.(3a+15)cm2大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积,据此即可求解.解:
矩形的面积是:
(a+4)2﹣(a+1)2=(a+4+a+1)(a+4﹣a﹣1)=3(2a+5)=6a+15(cm2).故选B.本题考查了平方差公式的几何背景,理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键. 二.填空题(共13小题)13.(2015•黄石)分解因式:
3x2﹣27= 3(x+3)(x﹣3) .观察原式3x2﹣27,找到公因式3,提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式,利用平方差公式继续分解.解:
3x2﹣27,=3(x2﹣9),=3(x+3)(x﹣3).故答案为:
3(x+3)(x﹣3).本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关键,难点在于要进行二次分解因式. 14.(2013•上海)分解因式:
a2﹣1= (a+1)(a﹣1) .符合平方差公式的特征,直接运用平方差公式分解因式.平方差公式:
a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).解:
a2﹣1=(a+1)(a﹣1).故答案为:
(a+1)(a﹣1).本题主要考查平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关键. 15.(2013•邵阳)因式分解:
x2﹣9y2= (x+3y)(x﹣3y) .直接利用平方差公式分解即可.解:
x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).本题主要考查利用平方差公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键. 16.(2017•大庆)分解因式:
x3﹣4x= x(x+2)(x﹣2) .应先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.解:
x3﹣4x,=x(x2﹣4),=x(x+2)(x﹣2).故答案为:
x(x+2)(x﹣2).本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解,分解因式一定要彻底,直到不能再分解为止. 17.(2016•乐山)因式分解:
a3﹣ab2= a(a+b)(a﹣b) .观察原式a3﹣ab2,找到公因式a,提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式,利用平方差公式继续分解可得.解:
a3﹣ab2=a(a2﹣b2)=a(a+b)(a﹣b).本题是一道典型的中考题型的因式分解:
先提取公因式,然后再应用一次公式.本题考点:
因式分解(提取公因式法、应用公式法). 18.(2013•三明)分解因式:
x2+6x+9= (x+3)2 .直接用完全平方公式分解即可.解:
x2+6x+9=(x+3)2.本题考查了公式法分解因式,熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键. 19.(2017•咸宁)分解因式:
2a2﹣4a+2= 2(a﹣1)2 .原式提取2,再利用完全平方公式分解即可.解:
原式=2(a2﹣2a+1)=2(a﹣1)2.故答案为:
2(a﹣1)2.此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 20.(2015•西藏)分解因式:
x3﹣6x2+9x= x(x﹣3)2 .先提取公因式x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.解:
x3﹣6x2+9x,=x(x2﹣6x+9),=x(x﹣3)2.故答案为:
x(x﹣3)2.本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,关键在于需要进行二次分解因式. 21.(2008•大庆)分解因式:
ab2﹣2ab+a= a(b﹣1)2 .先提取公因式a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.解:
ab2﹣2ab+a,=a(b2﹣2b+1),=a(b﹣1)2.考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解. 22.(2013•安顺)分解因式:
2a3﹣8a2+8a= 2a(a﹣2)2 .先提取公因式2a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.解:
2a3﹣8a2+8a,=2a(a2﹣4a+4),=2a(a﹣2)2.故答案为:
2a(a﹣2)2.本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 23.(2013•菏泽)分解因式:
3a2﹣12ab+12b2= 3(a﹣2b)2 .先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案.解:
3a2﹣12ab+12b2=3(a2﹣4ab+4b2)=3(a﹣2b)2.故答案为:
3(a﹣2b)2.本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识.一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,注意因式分解要彻底. 24.(2013•内江)若m2﹣n2=6,且m﹣n=2,则m+n= 3 .将m2﹣n2按平方差公式展开,再将m﹣n的值整体代入,即可求出m+n的值.解:
m2﹣n2=(m+n)(m﹣n)=(m+n)×
2=6,故m+n=3.故答案为:
3.本题考查了平方差公式,比较简单,关键是要熟悉平方差公式(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2. 25.(2014•西宁)如图,边长为a、b的矩形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为 70 .应把所给式子进行因式分解,整理为与所给周长和面积相关的式子,代入求值即可.解:
∵a+b=7,ab=10,∴a2b+ab2=ab(a+b)=70.故答案为:
70.本题既考查了对因式分解方法的掌握,又考查了代数式求值的方法,同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力. 三.解答题(共15小题)26.(2006•江西)计算:
(x﹣y)2﹣(y+2x)(y﹣2x)利用完全平方公式,平方差公式展开,再合并同类项.解:
(x﹣y)2﹣(y+2x)(y﹣2x),=x2﹣2xy+y2﹣(y2﹣4x2),=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2,=5x2﹣2xy.本题考查完全平方公式,平方差公式,属于基础题,熟记公式是解题的关键,去括号时要注意符号的变化. 27.(2013春•苏州期末)若2x+5y﹣3=0,求4x•32y的值.由方程可得2x+5y=3,再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式,运用同底数幂的乘法的性质计算,最后运用整体代入法求解即可.解:
4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0,即2x+5y=3,∴原式=23=8.本题考查了同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方,理清指数的变化是解题的关键. 28.(2009•十堰)已知:
(1)a2b+ab2
(2)a2+b2.
(1)把代数式提取公因式ab后把a+b=3,ab=2整体代入求解;
(2)利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解.解:
(1)a2b+ab2=ab(a+b)=2×
3=6;
(2)∵(a+b)2=a2+2ab+b2∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab,=32﹣2×
2,=5.本题考查了提公因式法分解因式,完全平方公式,关键是将原式整理成已知条件的形式,即转化为两数和与两数积的形式,将a+b=3,ab=2整体代入解答. 29.(2015•张家港市模拟)若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.
(1)求xy的值;
(2)求x2+3xy+y2的值.
(1)先去括号,再整体代入即可求出答案;
(2)先变形,再整体代入,即可求出答案.解:
(1)∵x+y=3,(x+2)(y+2)=12,∴xy+2x+2y+4=12,∴xy+2(x+y)=8,∴xy+2×
3=8,∴xy=2;
(2)∵x+y=3,xy=2,∴x2+3xy+y2=(x+y)2+xy=32+2=11.本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用,题目是一道比较典型的题目,难度适中. 30.(2014秋•德惠市期末)先化简,再求值3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4),其中a=﹣2.首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号,然后合并同类项,最后代入已知的数值计算即可.解:
3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a,当a=﹣2时,原式=﹣20×
4﹣9×
2=﹣98.本题考查了整式的化简.整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项,这是各地中考的常考点. 31.(2007•天水)若a2﹣2a+1=0.求代数式的值.根据完全平方公式先求出a的值,再代入求出代数式的值.解:
由a2﹣2a+1=0得(a﹣1)2=0,∴a=1;
把a=1代入=1+1=2.故答案为:
2.本题考查了完全平方公式,灵活运用完全平方公式先求出a的值,是解决本题的关键. 32.(2012春•郯城县期末)分解因式:
(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2.
(1)直接提取公因式x即可;
(2)利用平方差公式进行因式分解;
(3)先提取公因式﹣y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;
(4)把(x﹣y)看作整体,利用完全平方公式分解因式即可.解:
(1)2x2﹣x=x(2x﹣1);
(2)16x2﹣1=(4x+1)(4x﹣1);
(3)6xy2﹣9x2y﹣y3,=﹣y(9x2﹣6xy+y2),=﹣y(3x﹣y)2;
(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2,=[2+3(x﹣y)]2,=(3x﹣3y+2)2.本题考查了提公因式法与公式法分解因式,是因式分解的常用方法,难点在(3),提取公因式﹣y后,需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解. 33.(2011春•乐平市期中)(2a+b+1)(2a+b﹣1)把(2a+b)看成整体,利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可.解:
(2a+b+1)(2a+b﹣1),=(2a+b)2﹣1,=4a2+4ab+b2﹣1.本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用,构造成公式结构是利用公式的关键,需要熟练掌握并灵活运用. 34.(2009•贺州)分解因式:
x3﹣2x2y+xy2.先提取公因式x,再利用完全平方公式分解因式.完全平方公式:
a2±
2ab+b2=(a±
b)2;
解:
x3﹣2x2y+xy2,=x(x2﹣2xy+y2),=x(x﹣y)2.主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,本题难点在于要进行二次分解. 35.(2011•雷州市校级一模)
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- 初二 整式 乘法 因式分解 知识点 总结
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