参数方程化成普通方程 高中数学北师大版选修44同步配套教学案Word下载.docx

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将参数方程化为普通方程

　　[例1]　将下列参数方程化成普通方程．

（1）　

（2）

（3）（θ为参数）；

（4）（t为参数）．

[思路点拨]　本题考查参数方程化普通方程及运算、转化能力，解答此题需要根据方程的特点，选择适当的消参方法求解．

[精解详析]　

（1）由x＝得t＝，

代入y＝化简得

y＝（x≠1）．

（2）由x－2y＝t－1得

t＝x－2y＋1，

代入y＝t2－t－1化简得

x2－4xy＋4y2＋x－3y－1＝0.

（3）把y＝代入x＝a

得x－y＝atanθ，（x－y）2＝a2tan2θ，

由题设得y2＝，因而x2－2xy＋a2＝0.

（4）将y＝－pt的两边平方得

y2＝＋p2t2－2p2＝p（＋pt2－2p）．

把x＝＋pt2代入上式，得y2＝p（x－2p）．

将参数方程化为普通方程的一般思路：

先分析方程的结构特征，再选择代入法或代数运算法或三角恒等式消参法消参，但要注意需由参数方程讨论x，y的变化范围，并验证其两种形式下的一致性．

1．（湖南高考）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：

（t为参数）过椭圆C：

（φ为参数）的右顶点，则常数a的值为________．

解析：

由题设可得直线l：

y＝x－a，又由椭圆参数方程可知其右顶点为（3,0），代入y＝x－a得a＝3.

答案：

2．把参数方程（t为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

解：

由2＋2＝1，

得x2＋4y2＝1，

又－1＜≤1，得－1＜x≤1.

∴所求普通方程是x2＋4y2＝1（－1＜x≤1）．

将x2＋4y2＝1转化为＋＝1，

它表示中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为2，短轴长为1，除去点（－1,0）的椭圆.

参数方程化普通方程的应用

[例2]　求曲线C1：

（θ为参数）上的点到曲线C2：

（t为参数）上的点的最短距离．

[思路点拨]　本题考查参数方程化为普通方程的应用及转化、运算能力，解答此题需要将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程，转化为圆上点到直线的最短距离求解．

[精解详析]　由曲线C1：

（θ为参数）得

两式平方相加得：

（x－1）2＋y2＝1.

得C1为圆心C1（1,0），半径为1的圆．

对于曲线C2：

消去参数t得直线方程x＋y＋2－1＝0，

由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为

d＝＝2，所以最短距离为2.

对于根据曲线的参数方程定形问题，位置关系问题及有关的距离计算等几何性质问题，直接求解有困难时，常将参数方程化为普通方程再求解．

3．求参数方程（t∈R）与（θ∈R）所表示的图形相交所得的弦长．

由（θ∈R）消去θ得椭圆＋y2＝1，

将（t∈R）代入椭圆方程，

化简得9t2＋2t－5＝0，

设该方程的两实根为t1，t2，

则t1＋t2＝－，t1t2＝－.

所求弦长为|t1－t2|＝

＝＝.

4．将曲线C：

（θ为参数）化为普通方程，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．

∵∴x2＋（y＋1）2＝1.

∴曲线C是以（0，－1）为圆心，半径为1的圆．

若圆与直线有公共点，

则圆心到直线的距离d＝≤1，

解得1－≤a≤1＋.

∴a的取值范围为[1－，1＋]．

本课时考点是近几年高考及各地模拟的热点，主要考查参数方程化为普通方程及其应用，同时考查转化、运算求解能力，常与三角、解析几何等知识交汇命题．

[考题印证]

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：

θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．

（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（2）设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边　形A1A2B2B1的面积．

[命题立意]　本小题主要考查参数方程与普通方程的互化问题，极坐标方程与直角坐标方程的互化．

[自主尝试]

（1）C1是圆，C2是椭圆．

当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1,0），（a,0），因为这两点间的距离为2，所以a＝3.

当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0,1），（0，b），因为这两点重合，所以b＝1.

（2）C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.

当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.

当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为＝.

[对应学生用书P33]

一、选择题

1．参数方程（t为参数）表示的图形为（　　）

A．直线　　　　　　　　　　　　B．圆

C．线段（但不包括右端点）D．椭圆

选C　从x＝中解得t2＝，代入y＝，整理得2x＋y－5＝0.由t2＝≥0解得0≤x＜3.所以参数方程化为普通方程为2x＋y－5＝0（0≤x＜3），表示一条线段，但不包括右端点．

2．下列双曲线中，与双曲线（θ为参数）的离心率和渐近线都相同的是（　　）

A.－＝1　　　　　B.－＝1

C.－x2＝1D.－x2＝－1

选B　⇒－y2＝1⇒e＝，渐近线为y＝±

x，经验证知B正确．

3．方程（t为参数）表示的曲线为（　　）

A．一条直线B．两条射线

C．一条线段D．抛物线的一部分

选B　x＝t＋，当t＞0时，x＝t＋≥2.

当t＜0时，x＝t＋≤－2.∴y＝2（x≥2或x≤－2）表示的曲线为两条射线．

4．下列参数方程中，与方程y2＝x表示同一曲线的是（　　）

A.B.

C.D.

选D　B中sin2t和sint都表示在一定范围内；

A，C中化简不是方程y2＝x，而是x2＝y，故借助万能公式代入化简可知选D.

二、填空题

5．椭圆（θ为参数）的焦距为________．

椭圆的普通方程为＋＝1.

∴c2＝21，∴2c＝2.

2

6．双曲线（φ为参数）的渐近线方程是________．

化为普通方程是y2－＝1，

它是由y2－＝1向右移3个单位长度得到y2－＝1的渐近线方程为：

x±

3y＝0，

∴原双曲线的渐近线方程为：

3y－3＝0.

3y－3＝0

7．（江西高考）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，即ρcos2θ－sinθ＝0.

ρcos2θ－sinθ＝0

8．（湖北高考）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（φ为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m（m为非零常数）与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．

由题意知，椭圆C的普通方程为＋＝1，直线l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，设椭圆C的半焦距为c，则根据题意可知，|m|＝c，＝b，所以有c＝b，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.

三、解答题

9．（江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

因为直线l的参数方程为（t为参数），

由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，

得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.

同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.

联立方程组

解得公共点的坐标为（2,2），.

10．已知直线l：

x－y＋9＝0和椭圆C：

（θ为参数）．

（1）求椭圆C的两焦点F1，F2的坐标；

（2）求以F1，F2为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．

（1）由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为＋＝1，

所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.

所以c＝3.故F1（－3,0），F2（3,0）．

（2）因为2a＝|MF1|＋|MF2|，

所以只需在直线l：

x－y＋9＝0上找到点M使得|MF1|＋|MF2|最小即可．

点F1（－3,0）关于直线l的对称点是F1′（－9,6），

所以M为F2F1′与直线l的交点，则

|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2|

＝＝6，

故a＝3.

又c＝3，b2＝a2－c2＝36.

此时椭圆方程为＋＝1.

11．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．

（1）将曲线C的参数方程转化为普通方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，试求线段AB的长．

（1）由得

故圆的方程为x2＋y2＝16.

（2）法一：

把（t为参数）

代入方程x2＋y2＝16，得t2＋8t＋36＝0.

∴t1＋t2＝－8，t1t2＝36.

∴线段AB的长为

|AB|＝|t1－t2|＝＝4.

法二：

直线l的参数方程：

化为普通方程：

x－y＋4＝0.

由

（1）知：

圆心的坐标为（0,0），圆的半径R＝4.

∴圆心到直线l的距离d＝＝2.

∴|AB|＝2＝2＝4.

法三：

由得x2＋2x＝0.

∴x1＝0，x2＝－2.∴y1＝4，y2＝－2.

∴|AB|＝＝4.