222等差数列的通项公式教师资料配套用书资料Word格式文档下载.docx
- 文档编号:21827853
- 上传时间:2023-02-01
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:300.83KB
222等差数列的通项公式教师资料配套用书资料Word格式文档下载.docx
《222等差数列的通项公式教师资料配套用书资料Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《222等差数列的通项公式教师资料配套用书资料Word格式文档下载.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
⇒
(对应学生用书第23页)
课标解读
1.掌握等差数列的通项公式.(重点)
2.能运用通项公式解决一些简单问题.(重点、难点)
3.了解等差数列与一次函数的关系.
等差数列的通项公式
【问题导思】
若等差数列{an}的首项为a,公差为d,则根据定义可得
a2-a1=____,即a2=a1+____;
a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+______;
a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+______;
……
因此归纳等差数列{an}的第n项an=______.
【提示】 d d 2d 3d a1+(n-1)d
从函数角度研究等差数列{an}
1.由等差数列的通项公式,等差数列的任意项an与序号n有何函数关系?
【提示】 由通项公式:
an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),故d≠0时,an是关于序号n的一次函数;
d=0时为常数函数.
2.数列{an}满足an=kn+b(k,b为常数),{an}一定是等差数列吗?
【提示】 一定.因为an-an-1=(kn+b)-[k(n-1)+b]=k,k为常数,所以{an}一定是等差数列.
an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是关于n的一次函数的形式,其定义域为N*,其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,其中公差d是该直线的斜率.
等差数列的性质
1.等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q为正整数)成立吗?
试证明之.
【提示】 成立.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,
∴an+am=2a1+(m+n-2)d,
ap+aq=2a1+(p+q-2)d.
∵m+n=p+q,
∴am+an=ap+aq.
2.等差数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…有何关系?
【提示】 设等差数列{an}公差为d,则a4=a1+3d,a7=a1+6d,a10=a1+9d,…所以a4-a1=3d,a7-a4=3d,a10-a7=3d,…,
即a1,a4,a7,a10,…仍为等差数列.
1.在等差数列{an}中,设m、n、p、q均为正整数,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap.
2.若数列{an}是公差为d的等差数列,那么ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…组成的数列仍为等差数列,公差为md,即等间隔抽取的子数列也是等差数列.
已知等差数列6,3,0,….
(1)试求此数列的第100项;
(2)-30和-40是不是这个数列的项?
若是,是第几项?
若不是说明理由.
【思路探究】 等差数列→首项、公差→通项公式→列方程→解方程,判断
【自主解答】
(1)设此数列为{an},则首项a1=6,公差d=3-6=-3,
∴数列的通项公式为an=6+(n-1)×
(-3)=-3n+9.
∴a100=-3×
100+9=-291.
(2)如果-30是这个数列中的项,
则方程-30=-3n+9有正整数解.
解这个方程得n=13,因此-30是这个数列的第13项;
如果-40是这个数列中的项,
则方程-40=-3n+9有正整数解,
解这个方程得n=
,因此-40不是这个数列中的项.
1.求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键.
2.数列的通项公式是数列的核心,是解决数列问题的关键,特别是求数列中的某一项,判断某一数值是否是数列中的项等,都需确定通项公式.
3.当判断某一数值a是否是数列{an}中的项时,只需令an=a,若解得n为正整数,则a是数列{an}中的项,否则不是数列{an}中的项.
若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=________.
【解析】 法一 ∵a15=a1+14d,a60=a1+59d,
∴
解得
故a75=a1+74d=
+74×
=24.
法二 ∵{an}为等差数列,∴a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列.设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项.
∴a60=a15+3d,∴20=8+3d,解得d=4,故a75=a60+d=20+4=24.
法三 由等差数列的性质,得d=
=
,a75=a60+(75-60)d=20+15×
【答案】 24
等差数列性质的应用
已知等差数列{an}的公差是正数,并且a3a7=-12,a4+a6=-4,求数列{an}的通项公式.
【思路探究】 先由等差数列的性质求a3,a7的值,再列方程组解a1,d.
【自主解答】 由等差数列{an}的性质知:
a3+a7=a4+a6,从而a3a7=-12,a3+a7=-4,故a3,a7是方程x2+4x-12=0的两根,又d>0,解之得a3=-6,a7=2.再解方程组
则an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)×
2=2n-12,即an=2n-12.
1.本例中利用等差数列的性质转换已知条件,使解题过程简捷灵活.
2.等差数列的常用性质如下:
(1)若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq.当m+n=2p时,am+an=2ap.
(2)一个等差数列中的序号成等差数列、公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍是等差数列,且公差为md.
(3)d=
(m,n∈N*,n>m).
(4)an=am+(n-m)d(m,n∈N*,n>m).
若a2+a8=180,求a3+a4+a5+a6+a7.
【解】 因为a2+a8=2a5=180,所以a5=90.
又因为a3+a7=a4+a6=2a5,
所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=5×
90=450.
等差数列的实际应用
某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元.从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
【思路探究】 认真阅读题目中所给条件,建立等差数列模型求解.
【自主解答】 由题意可设第1年获利为a1,第n年获利为an,则an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),每年获得的利润构成等差数列{an},且首项a1=200,公差d=-20.
所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×
(-20)
=-20n+220.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损.
由an=-20n+220<0,解得n>11.
即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.
1.将实际问题转化成等差数列模型是解决此类问题的关键.
2.在实际问题中,若涉及到一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决.若这组数依次成直线递增或递减,则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.
(2013·
黄冈高二检测)《九章算术》“竹九节”问题:
现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________.
【解析】 设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意得
即
所以a5=a1+4d=
.
【答案】
升
(对应学生用书第24页)
等差数列的性质运用错误
设数列{an}是等差数列,a2=4,a4=10,求a6.
【错解】 ∵{an}是等差数列,
∴a6=a2+a4,∴a6=4+10=14.
【错因分析】 在等差数列中,若m+n=p+q,m,n,p,q∈N*,则am+an=ap+aq,即必须是两项相加等于另两项相加.若m+n=2p,则am+an=2ap,如a2+a4=2a3成立,但a2+a4=a6却不一定成立.
【防范措施】 注意对等差数列性质的理解与记忆,对性质:
当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,am+an=ap+aq,不能误认为“若m=p+q则am=ap+aq”.
【正解】 ∵a2=a1+d=4,a4=a1+3d=10,
两式相减得2d=6,∴d=3,a1=1,
∴a6=a1+5d=1+5×
3=16.
1.基础知识:
(1)等差数列的通项公式;
(2)等差数列的性质.
2.基本技能:
(1)等差数列通项公式的求法;
(2)等差数列通项公式的应用;
(3)等差数列性质的应用;
(4)等差数列的实际应用.
3.思想方法:
(1)方程思想;
(2)转化思想.
(对应学生用书第25页)
1.等差数列为1,-1,-3,…,则-89的项数是________.
【解析】 首项a1=1,公差d=-1-1=-2,所以通项公式为an=a1+(n-1)d=1-2(n-1)=3-2n,令3-2n=-89,∴n=46.
【答案】 46
2.若{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9=________.
【解析】 ∵a1+a4+a7=3a4=45,∴a4=15.
又∵a2+a5+a8=3a5=39,
∴a5=13.
∴d=a5-a4=-2.
∴a3+a6+a9=3a6=3(13-2)=33.
【答案】 33
3.在等差数列{an}中,若a1=23,a6>0,a7<0,公差d∈Z,则公差d=________.
【解析】 ∵a6=a1+5d=23+5d>0,
a7=a1+6d=23+6d<0,
∴-
<d<-
.又d∈Z,∴d=-4.
【答案】 -4
4.已知等差数列{an}满足a2+a5+a8=9,a3·
a5·
a7=-21,求an.
【解】 ∵a2+a5+a8=9,a2+a8=2a5,
∴3a5=9,a5=3,
∴a3+a7=2a5=6,①
又a3a5a7=-21,
∴a3a7=-7,②
由①②解得a3=-1,a7=7或a3=7,a7=-1,
∴a3=-1,d=2或a3=7,d=-2.
由an=a3+(n-3)d,得an=2n-7或an=-2n+13.
(对应学生用书第86页)
一、填空题
1.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为________.
【解析】 由已知2(a+1)=(a-1)+(2a+3),
得a=0,
∴d=1-(-1)=2,首项a1=-1.
∴an=-1+(n-1)×
2=2n-3.
【答案】 an=2n-3
2.(2013·
扬州检测)在等差数列{an}中,已知a3=4,a5=-4,则a7=________.
【解析】 ∵数列{an}是等差数列,∴a3+a7=2a5.
又∵a3=4,a5=-4,∴a7=2a5-a3=-12.
【答案】 -12
3.已知点(1,1),(3,7)是等差数列{an}图象上的两点,则a5=________.
【解析】 a1=1,2d=7-1,∴d=3,∴a5=a1+4d=1+4×
3=13.
【答案】 13
4.已知数列{an}满足:
a
=a
+4,且a1=1,若an>0,则an=________.
【解析】 设a
=bn,则{bn}为等差数列,∵bn+1=bn+4且b1=1,∴bn=1+4(n-1)=4n-3,∴an=
5.(2013·
无锡检测)已知一个等差数列的前三项分别为-1,x,3,则它的第五项为________.
【解析】 ∵2d=3-(-1)=4,∴d=2,
∴a5=-1+4×
2=7.
【答案】 7
6.已知等差数列{an}中,a3和a15是方程x2-6x-1=0的两个根,则a7+a8+a9+a10+a11=________.
【解析】 ∵a3和a15是方程x2-6x-1=0的两根,
∴a3+a15=2a9=6,a9=3,
∴a7+a8+a9+a10+a11=(a7+a11)+(a8+a10)+a9=5a9=15.
【答案】 15
7.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图2-2-1的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖________块.
图2-2-1
【解析】 显然构成一个等差数列,且首项a1=6,公差d=4,∴第n个图案中有an=6+4(n-1)=4n+2块白色地面砖.
【答案】 4n+2
8.在等差数列{an}中,a1=
,从第10项开始,每一项均不小于1,则公差d的取值范围是________.
【解析】 an=a1+(n-1)d=
+(n-1)d.由题意知d>0,a10≥1且a9<1,即a10=
+9d≥1且a9=
+8d<1,解得
≤d<
【答案】 [
,
)
二、解答题
9.已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26,求an.
【解】 设等差数列{an}的公差为d,
∵a3=7,a5+a7=26,
∴an=3+2(n-1)=2n+1.
10.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式.
【解】 ∵a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,
∴a4=5.
又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9.
即(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,
解得d=±
2.
若d=2,则an=a4+(n-4)·
2=2n-3;
若d=-2,则an=a4+(n-4)·
(-2)=13-2n.
11.在数列{an}中,a1=1,an=
(n≥2),bn=
(1)求证数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解】
(1)证明:
由题意知bn-bn-1=
-
=3(n≥2,n∈N*),∴{bn}是公差为3的等差数列.
(2)∵a1=1,∴b1=
=1,∴bn=b1+(n-1)×
3=3n-2=
,∴an=
(n∈N*).
已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(常数p,q∈R).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列;
(2)求证:
对任意的实数p和q,数列{an+1-an}都是等差数列.
【思路探究】
(1)由等差数列的定义可知,{an}是等差数列⇔an+1-an是一个与n无关的常数.
(2)即证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是一个与n无关的常数.
【自主解答】
(1)设数列{an}是等差数列,
由题意,得an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,上式应是一个与n无关的常数,
∴有2p=0,即p=0.
当p=0时,数列{an}是等差数列.
(2)证明:
∵an+1-an=2pn+p+q,
∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q.
∴(an+2-an+1)-(an+1-an)
=[2p(n+1)+p+q]-(2pn+p+q)=2p(常数).
∴对任意的实数p和q,数列{an+1-an}都是等差数列.
1.{an}为等差数列⇔an+1-an=d(d为常数)对n∈N*恒成立.
2.定义an+1-an=d(d为常数)是判断数列{an}是否为等差数列的“基本”方法,我们称之为“定义法”.
已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4,则{bn}是否为等差数列?
并说明理由.
【解】 {bn}是等差数列,理由如下:
∵an+1-an=d(n∈N*),
∴bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)
=3(an+1-an)=3d.
∴{bn}为等差数列.
拓展
等差数列通项公式推导方法
等差数列通项公式的推导方法除课本使用的“叠加法”(又称累加法)外,还可采用以下三种推导方法:
(1)归纳法:
因为{an}是等差数列,所以:
a2=a1+d,
a3=a2+d=a1+2d,
a4=a3+d=a1+3d,
a5=a4+d=a1+4d,
an=an-1+d=a1+(n-1)d,
所以an=a1+(n-1)d(n≥2).
当n=1时,等式两边均为a1,所以等式也是成立的,这就说明当n∈N*时,an=a1+(n-1)d总成立.
(2)逐差法:
因为{an}是等差数列,所以有:
an=an-an-1+an-1,
an-1=an-1-an-2+an-2;
an-2=an-2-an-3+an-3,
a2=a2-a1+a1,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=(n-1)d+a1,所以an=a1+(n-1)d(n∈N*).
(3)迭代法:
an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d,
所以an=a1+(n-1)d(n∈N*).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 222 等差数列 公式 教师 资料 配套