272相似三角形的性质和判定Word格式.docx

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注：

在上图中，DE∥BC，所以△ADE∽△ABC

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似

即：

如上图，8/4=6/3=2，两组对边比相等，再加上中间的夹角相等，则两个三角形相似。

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

注：

如上图，三组对边相比8/4=6/3=5/2。

5=2，由此两个三角相似。

知识点2、相似三角形的性质

（1）对应边的比相等，对应角相等。

（2）相似三角形的周长比等于相似比。

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

知识点3、位似:

位似:

如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心。

这时的相似比又称为位似比。

位似性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

第二部分：

自我评测

知识点

掌握情况

备注

非常好

一般

有待提高

第三部分：

例题剖析

如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度变长了多少米？

分析：

小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．

点评：

此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．

第四部分：

典型例题

例1。

如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥CD,完成下列各题

（1）

有怎样的数量关系？

为什么？

（2）若AF=4，FD=3，求BD的长

【变式练习】

如图，AB∥EF∥DC,求证

例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，D是AC的中点，CE⊥BD于E,求证∠EAD=∠ABD

如图，在△ABC中,AB=8，AC=6.D,E是AB,AC上的两个动点，如果动点D以每秒2个单位的速度从点B出发沿BA向点A运动，点E以每秒1个单位的速度从A点出发沿AC向点C运动，则多长时间后以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似

第五部分：

巩固练习

A卷

知能点1边角边识别法

1．下列图形不一定相似的是（）．

A．有一个角是120°

的两个等腰三角形;

B．有一个角是60°

的两个等腰三角形

C．两个等腰直角三角形;

D．有一个角是45°

2．如图1，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD=3cm，AB=8cm，AC=10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（）．

A．

（1）

（2）（3）

3．满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形有（）．

①∠A=60°

，AB=5cm，AC=10cm；

∠A′=60°

，A′B′=3cm，A′C′=10cm

②∠A=45°

，AB=4cm，BC=6cm；

∠D=45°

，DE=2cm，DF=3cm

③∠C=∠E=30°

，AB=8cm，BC=4cm；

DF=6cm，FE=3cm

④∠A=∠A′，且AB·

A′B′=AC·

A′B′

4．如图2,点D为△ABC的AB边一点（AB>

AC）,下列条件不一定能保证△ACD∽△ABC的是（）．

A．∠ADC=∠ACBB．∠ACD=∠BC．

5．如图3，若AC2=CD·

CB，则△_______∽△_______，∠ADC=________．

（4）（5）（6）（7）

6．如图4，△ABC中，CD⊥AB于D，AD=8，CD=6，则当BD=______时，△ADC∽△CDB，∠ACB=_______°

．

7．如图5，已知AC与BD相交于点O，且AO：

OC=BO：

OD=2：

3，AB=5，则CD=______．

8．如图6，等腰三角形ABC中，∠A=36°

，若BC2=CD·

CA，则∠DBC=_____°

，图中有_____个等腰三角形．

9．如图7，为测得一养鱼池的两端A，B间的距离，可在平地上取一直接到达A和B的点O，连接AO，BO并分别延长到C，D，使OC=

OA，OD=

OB，如果量得CD=30m，那么池塘宽AB=________．

【综合应用提高】

10．如图，四边形ABCD中，M是AC上一点，若∠ADM=∠BDC，

．

（1）写出图中相似三角形（写两对），对其中的一对加以说明．

（2）写出与∠DAB相等的角．

11．如图，已知△ABC中，AC=10，AB=16，问在AB边上是否存在这样的点P，使△APC∽△ACB，若存在，求AP的长；

若不存在，请说明理由．

12．如图，是利用木杆撬石头的示意图．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起12cm，已知杠杆的动力臂OA与阻力臂OB之比为5：

1，求要使这块石头滚动，至少要将杠杆A端下压多少厘米．

13．如图，已知∠ACB=∠CBD=90°

，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB∽△CBD？

14．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB=1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B两村供水．若铺设水管的工程费用为每千米1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．

【开放探索创新】

15．已知：

如图，∠ABE=90°

，且AB=BC=CD=DE，请认真研究图形与所给条件，然后回答：

图中是否存在相似的三角形？

若存在，请加以说明；

（B卷）

知能点：

角角识别法

1．如图1，

（1）若

=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．

（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．

（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．

2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．

（1）

（2）（3）

3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=∠BAO，则点C的坐标为________，AC=_______．

4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．

5．下列各组图形一定相似的是（）．

A．有一个角相等的等腰三角形B．有一个角相等的直角三角形

C．有一个角是100°

的等腰三角形D．有一个角是对顶角的两个三角形

6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°

，则∠1+∠2+∠3等于（）．

A．45°

B．60°

C．75°

D．90°

（4）（5）（6）

7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，

∠ADC=________．

8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．

9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．

10．如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）和点D，使△AOB与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．

11．已知：

如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC．

12．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°

，试说明△BCM∽△ANC．

13．在

ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．

（1）试说明△AMD∽△EMB；

（2）求

的值．

14．在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明．

15．高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m，他与镜子的距离是2.1m时，刚好能从镜子中看到楼顶B，已知他的眼睛到地面的高度CD为1.6m，结果他很快计算出大楼的高度AB，你知道是什么吗？

试加以说明．

16．在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=80°

，∠B=30°

，∠B′=20°

．试分别在△ABC和△A′B′C′中画一条直线，使分得的两个三角形相似．在下图中分别画出符合条件的直线，并标注有关数据．

第八部分：

中考体验

1．（烟台）如图，

ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）．

A．5B．8.2C．6.4D．1.8

2．（丽水）在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于点D，若AD=1，BD=4，则CD等于（）．

A．2B．4C．

D．3

3．（潍坊）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点O，则

等于（）．

B．

C．

D．

4．（南昌）已知△ABC，△DCE，△EFG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=

，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于P，Q，R．

（1）求证：

△BFG∽△FEG，并求出BF的长．

（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．

5．（上海）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°

，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是（）．

A．△DBEB．△ADEC．△ABDD．△BDC

6．（安徽）如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．

7．（广东）如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E．

（1）求证：

△CDE∽△FAE．

（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：

∠F=∠BCF．