中考数学创新题折叠剪切问题.docx

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中考数学创新题折叠剪切问题

中考数学创新题

-------折叠剪切问题（洗马方威）

折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.

一．折叠后求度数

【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）

A．600B．750C．900D．950

答案：

C

【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（　）

A．50°B．55°　　　C．60°D．65°

答案：

A　

【3】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图

（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图

（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝　　度.

答案：

36°

二．折叠后求面积

【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（　　）

A．4B．6C．8D．10

答案：

C

【5】如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是

A．2B．4C．8D．10

答案：

B

【6】如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。

操作：

（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；

（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。

则△GFC的面积是（）

A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2

答案：

B

三．折叠后求长度

【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是（）

（A）（B）

（C）（D）

答案：

D

四．折叠后得图形

【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）

A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形

答案：

D

【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（）

A.B.C.D.

答案：

D

【10】小强拿了张正方形的纸如图

（1），沿虚线对折一次如图

（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是（）

答案：

D

【11】如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的处。

得到（图乙），再延长交AD于F，所得到的是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

答案：

B

【12】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（）

答案：

C

【13】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（）

答案：

C

【14】如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案：

D

五．折叠后得结论

【15】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：

“三角形的三个内角和等于_______°.”

答案：

180

【16】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）

A.B.

C.D.

答案：

B

【17】从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）

A.a2–b2=（a+b）（a-b）Ｂ.（a–b）2=a2–2ab+b2

Ｃ.（a+b）2=a2+2ab+b2Ｄ.a2+ab=a（a+b）

答案：

A

【18】如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（　）．

　　A．B．C．D．

答案：

A

六．折叠和剪切的应用

【19】将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.

（1）如果M为CD边的中点，求证：

DE∶DM∶EM=3∶4∶5；

（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？

若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.

答案：

（1）先求出DE=，，后证之.

（2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关.

【20】同学们肯定天天阅读报纸吧?

我国的报纸一般都有一个共同的特征:

每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?

答案：

∶1.

【21】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.

（1）用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.

（2）若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.

答案：

（1）如图

（2）由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE

∴BC＝2AB，　即

由题意知　是方程的两根

∴　

消去a，得　　　　

解得　或

经检验：

由于当，，知不符合题意，舍去.

符合题意.

∴

答：

原矩形纸片的面积为8cm2.

【22】电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。

现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干。

如果晶圆片的直径为10.05cm。

问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？

请说明你的方法和理由。

（不计切割损耗）

答案：

可以切割出66个小正方形。

方法一：

（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm的圆内，如图中矩形ABCD。

∵AB＝1BC＝10

∴对角线＝100＋1＝101＜

（2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形。

∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线＜。

但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：

＞

（3）同理：

＜

＞

∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层。

（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。

∵＜

＞

（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个。

∵＜

＞

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。

∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个）

方法二：

学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。

可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后：

（1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层。

（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层。

（3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层。

这样共有：

4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）

【23】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

答案：

（方案一）

（方案二）

设BE=x，则CE=12-x

由AECF是菱形，则AE2=CE2

比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大.

【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。

方法如下：

仿上面图示的方法，及韦达下列问题：

　操作设计：

（1）如图

（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。

（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。

答案：

（1）　　　　　　　

（2）略。

【25】如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：

第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.

（1）请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形（保留痕迹，不写作法）.

（2）请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数（S）填入下表.

等分圆及扇形面的次数（n）

1

2

3

4

…

n

所得扇形的总个数（S）

4

7

…

（3）请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？

为什么？

答案：

（1）由图知六边形各内角相等.

（2）七边形是正七边形.

（3）猜想：

当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，…时），各内角相等的圆内接多边形是正多边形.

【26】如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的，请说明理由（写出证明及计算过程）.

答案：

剪法是：

当AA1=BB1=CC1=DD1=或时，

四边形A1B1C1D1为正方形，且S=.

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=DA=1，

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

∵AA1=BB1=CC1=DD1，

∴A1B=B1C=C1D=D1A.

∴△D1AA1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1.

∴D1A1=A1B1=B1C1=C1D1，

∴∠AD1A1=∠BA1B1=∠CB1C1=∠DC1D1.

∴∠AA1D+∠BA1B1=90°，即∠D1A1B1=90°.

∴四边形A1B1C1D1为正方形.设AA1=x，

则AD1=1－x.

∵正方形A1B1C1D1的面积=，

∴S△AA1D1=

即x（1－x）=，