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例一:
在弦的横震动问题中,若弦受到一与速度成正比的阻尼,试导出弦阻尼振动方程。
解:
建立如图所示的直角坐标系,设位移函数为U(x,t),取任意一小段△x进行受力分析,由题设,单位弦所受阻力为bUt(b为常数),在振动过程中有△x所受纵向力为:
(T2COSa2-T1COSa1)横向力为:
(T2SINa2-T1SINa1-bUt(x+n△x))(0<
n<
1).T2,T1为△x弦两端所受的张力,又因为弦做横振动而无纵振动,由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0,T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)Ut=pUtt(x+n△x)△x
在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t),SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),
COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)
即(T/ρ)[Ux(x+△x,t)-Ux(x,t)]/△x-(b/ρ)Ut(x+n△x,t)
即令△x0时有:
Utt+aUt=a2Uxx
例二:
设扩散物质的源强(即单位时间内单位体积所产生的扩散物质)为F(x,y,z,t),试导出扩散方程。
解:
设U(x,y,z,t)为粒子的浓度(单位体积内的粒子数),在空间内画出一个立方体,体积△V=△X△Y△Z,考虑在△t内△V内的粒子流动情况。
由扩散定律知:
流入X方向的流粒子数为:
[qx(x,t)-qx(x+△x,t)]△t△y△z,
流入Y方向的流粒子数为:
[qY(y,t)-qY(y+△y,t)]△t△x△z,
流入Z方向的流粒子数为:
[qz(z,t)-qz(z+△z,t)]△t△x△y.
而源强产生的粒子数为:
F(x,y,z,t)△t△x△y△z.
由质量守恒定律为:
[qx(x,t)-qx(x+△x,t)]△t△y△z+[qY(y,t)-qY(y+△y,t)]△t△x△z+[qz(z,t)-qz(z+△z,t)]△t△x△y+F(x,y,z,t)△t△x△y△z=
[U(x,y,z,t+△t)-U(x,y,z,t)]△t△x△y△z.
令△t△x△y△z0时有:
(@是求偏导)
-@qx/@x-@qy/@y-@qz/@z+F(x,y,z,t)=Ut
由自由扩展定律得:
@(D@u/@x)/@x+@(D@u/@y)/@y+@(D@u/@z)/@z+F=Ut
若扩散粒子是均匀的:
Ut=a2△U.
二.线性偏微分方程
(一)二阶线性偏微分方程
LU=a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy+b1Ux+b2Uy+c+f
1.主要部分:
a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy
2.判别式△=a212-a11a22
△>
0双曲线方程
△=0抛物型方程
△<
0椭圆方程
3.特征方程
a11(-dy/dx)2-2a12(-dy/dx)+a22=0
特征根:
dy/dx=(a12±
△1/2)/a11
特征曲线:
y=[(a12+△1/2)/a11]x+C1
y=[(a12-△1/2)/a11]x+C2
新旧变量关系:
ζ=y+λ1x,η=y+λ2x
令Q=省略
把方程x2Uxx+2xyUxy-3y2Uyy-2xUx+4yUy+16x4U=0改成标准形式,并判断类型。
x2Uxx+2xyUxy+y2Uyy=0
例三:
化简2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判断类型。
a≠0
(二)线性偏微分方程的基本性质
1.线性迭加原理
设L为线性偏微分算子,即LU=f
若u1u2u3……un是LU=fi的解,则u=∑CiUi是LU=∑Cifi的解。
若u1是LU=0的通解,u2是LU=f的特解,则u=u1+u2是LU=f的一般解。
2.齐次化原理(冲量原理)
原理1:
设W是方程Wtt=a2WxxW|t=τ=0Wt|t=τ=f(x,t;
τ)的解,则u=∫0tW(x,t;
τ)dτ是方程Utt=a2Uxx+f(x,t)U|t=0=0Ut|t=0=0的解。
原理2:
W是方程Wt=a2WxxW|t=τ=0Wt|t=τ=f(x,t;
τ)dτ是Ut=a2Uxx+f(x,t)U|t=0=0的解。
3.特征值函数δ
δ(x-x0)={0x≠0∞x=x0
∫δ(x-x0)dx=1
性质:
Φ(x)是连续函数,则∫δ(x-x0)Φ(x)=Φ(x0)
三.分离变量法
(一)齐次的泛定方程和齐次的边界条件
Utt=a2Uxx;
U(0,t)=U(l,t)=0;
U(x,0)=Φ(x);
Ut(x,0)=Ψ(x)。
第二类齐次边界条件:
Ux(0,t)=Ux(l,t)=0;
第一类与第二类的齐次边界条件:
U(0,t)=Ux(l,t)=0或Ux(0,t)=U(l,t)=0。
(二)非齐次的泛函方程的齐次边界条件
Utt=a2Uxx+f(x,t);
令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且W满足
Wtt=a2Wxx;
W(0,t)=W(l,t)=0;
W(x,0)=Φ(x);
Wt(x,0)=Ψ(x).则V满足
Vtt=a2Vxx+f(x,t);
V(0,t)=V(l,t)=0;
V(x,0)=0;
Vt(x,0)=0.
解W用分离变量法,解V用冲量原理。
(三)齐次的泛定方程,非齐次边界条件
U(0,t)=U1(t);
U(l,t)=U2(t);
Ut(x,0)=Ψ(x).
设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得:
V(0,t)=V(l,t)=0,则
W(0,t)=U1(t),W(l,t)=U2(t),设W(x,t)=Ax+B,则
W(0,t)=B=U1(t),W(l,t)=Al+B=U2(t),则(省略)
(四)非齐次的泛定方程,非齐次边界条件
Utt=a2Uxx+f(x,t);
第一步:
把非齐次边界条件化成齐次的边界条件
第二步:
同(三)
Utt=a2Uxx;
U(0,t)=0=U(l,t);
U(x,0)=3sinx;
Ut(x,0)=0.0<
在矩形区域内0<
a,0<
b上,求解Laplace方程的边界值。
Uxx+Uyy=0;
U(0,x)=Bsin(πx/a);
U(b,x)=0;
U(y,0)=Ay(b-y);
Ut(y,a)=0。
设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得Vxx+Vyy=0,
V(0,y)=V(a,y)=0,V(x,0)=Bsin(πx/a),V(x,b)=0;
同时Wxx+Wyy=0,W(0,y)=Ay(b-y),W(a,y)=0,W(0,x)=W(b,x)=0.
答案省略~
求解方程
Utt=a2Uxx+bshx;
U(0,t)=U(l,t)=0;
U(0,x)=Ut(0,x)=0。
例四:
长为l,两端固定的弦线在单位长度的横向力f(x,t)=g(x)sinwt的作用下做摆动,已知弦的初始位移和速度分别为Φ(x),Ψ(x)求其振动规律。
设位移分布函数为U(x,t)且满足:
Utt=a2Uxx+g(x)sinwt;
U(0,t)=U(l,t)=0;
U(0,x)=Φ(x);
Ut(0,x)=Ψ(x).
解方程,设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且
Vtt=a2Vxx;
V(0,t)=V(l,t)=0;
V(0,x)=Φ(x);
Vt(0,x)=Ψ(x).
W满足:
Wtt=a2Wxx+g(x)sinwt;
W(0,t)=W(l,t)=0;
W(0,x)=0;
Wt(0,x)=0.
由冲量原理有:
Ztt=a2Zxx;
Z(0,t;
τ)=Z(l,t;
τ)=0;
τ)=0;
Z(l,t;
τ)=g(x)sinwt.
W(x,t)=∫t0Z(x,t;
τ)dτ
例五:
求解矩形域上的第二类边界值问题。
Uxx+Uyy=0;
Uy(0,x)=Φ1(x);
Uy(b,x)=Φ2(x);
Ux(y,0)=Ψ1(y);
Ux(y,a)=Ψ2(y)。
四.行波法(无界区域内)
(一)公式
1.一维波动方程
Utt=a2Uxx;
-∞<
x<
+∞;
U(0,x)=Φ(x);
Ut(0,x)=Ψ(x).
公式:
U(t,x)=1/2(Φ(x+at)+Φ(x-at))+1/2a∫x+atx-atΨ(ξ)dξ
2.三维波动方程
Utt=a2△U;
U(0,M)=Φ(M);
Ut(0,M)=Ψ(M).
U=1/4πa2[﹫[∫∫Φ(M’)/t]/﹫tds+∫∫Ψ(M’)/tds]
3.二维波动方程
Ut(0,M)=Ψ(M)。
U=(省略)
(二)基本类型
1.使用奇延拓将问题转化到整个空间内
U(0,t)=0;
(端点固定)
Ut(0,x)=Ψ(x)
延拓:
x≥0时,Φ(x)=Φ(x),x<
0时,Φ(x)=-Φ(-x);
x≥0时,Ψ(x)=Ψ(x),x<
0时,Ψ(x)=-Ψ(-x)。
2.使用偶延拓将问题转化到整个空间内
Ux(0,t)=0;
(端点自由)
0时,Φ(x)=Φ(-x);
0时,Ψ(x)=Ψ(-x)。
3.特殊形式
U(0,t)=U(t);
可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且V(0,t)=0,则W(0,t)=U(t),将U(x,t)=U(t)+V(x,t)代入,转化为新方程。
(方法见4.)
4.非齐次波动方程
Utt=a2Uxx+f(x,t);
可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且满足:
0.Wtt=a2Wxx;
V(0,x)=O;
W(0,x)=Φ(x);
Vt(0,x)=0.Wt(0,x)=Ψ(x).
其中V=∫0tZ(x,t;
τ)dτ.Z满足:
Z(0,x)=O;
Zt(0,x)=f(x,t).
例一:
Utt-a2Uxx=x+at;
U(0,x)=x;
Ut(0,x)=sinx.
解:
由迭加原理解此定解问题,可由达朗贝尔公式和振动的解迭加。
求解有阻尼波动方程的初值问题。
Utt-a2Uxx+2εUt+εU2=0;
设U(x,t)=e-βtV(x,t)(β>
0)。
代入原等式有:
Ut=e-βtVt-βt,Utt=e-βt(Vtt-2βVt+β2V),Uxx=Vxxe-βt,再代入原方程:
Vtt-a2Vxx+2(ε-β)Vt+(ε2-2εβ+β2)V=0;
要使Vt,V的系数为0,则β=ε,则有:
Vtt=a2Vxx;
V(0,x)=Φ(x);
Vt(0,x)=Ψ(x)+εΦ(x).
则由达朗贝尔公式即可得出结果。
求解下列初值问题:
Utt=a2△U;
U(0,x)=yz;
Ut(0,x)=xz+x.-∞<
M<
令Φ(M)=yz;
Ψ(M)=xz+x.经过球坐标变换后有:
Φ(M‘)=y‘z‘=(y+rsinθsinφ)(z+rcosθ);
Ψ(M‘)=x‘z‘+x‘=(x+rsinθcosφ)(z+rcosθ)+(x+rsinθcosφ);
因为at=r;
则:
∫∫Φ(M‘)/atds=∫02π∫0πΦ(M‘)rsinθdθdr;
①
∫∫Ψ(M‘)/atds=∫02π∫0πΨ(M‘)rsinθdθdφ;
②
又因为:
∫02πsinθdθ=∫02πcosθdθ=0;
∫0πcosθdθ=∫0πsinθcosθdθ=0;
所以有:
①=4πayz;
②=4πatxz.
因此U(x,t)=(tx+y)z.
求解下列问题:
Utt=a2(Uxx+Uyy);
y<
U(0,x,y)=x2(x+y);
Ut(0,x,y)=0.
由二维的波动方程即可求出。
五.积分变换法
(一)Fourier变换法
1.概念
若f(x)定义在(-∞,+∞),F[f(x)]=f(λ)=∫-∞+∞f(x)e-iλxdx;
逆变换:
f(x)=1/2π∫-∞+∞f(λ)eiλxdλ。
2.基本性质:
线性,卷积,乘积,微分,象导数,积分,延迟,位移……
4.利用Fourier变换解微分方程
(二)Laplace变换法
若f(x)定义在[0,+∞),L[f(x)]=f(p)=∫0+∞f(x)e-pxdx;
f(x)=1/2πi∫σ-i∞σ+i∞f(p)epxdp
L-1[f(x)]=∑Res[f(t)est,sk]
2.存在条件
3.基本性质
4.利用Laplace变换解微分方程
求函数f(x)=1-x2|x|<
1且f(x)=0|x|>
0的Fourier变换。
设a是正数:
1证明e-a|x|=∫-∞+∞1/π*a/(a2+ζ2)*eiζxdζ
2由①结果推导c(λ)使得:
a/(a2+x2)=∫-∞+∞c(λ)eiλxdλ。
证明:
设e-a|x|=1/2π∫-∞+∞F[e-a|x|]eiλxdλ则:
F[e-a|x|]=∫-∞+∞e-a|x|e-iλxdx
=∫-∞+∞e-a|x|cosλxdx-i∫-∞+∞e-a|x|sinλxdx=2∫0+∞e-a|x|cosλxdx
=2Re{∫0+∞e-(a+iλ)xdx}=2Re{1/a+iλ}=2a/(a2+λ2),即证。
②由c(λ)满足a/(a2+x2)=∫-∞+∞c(λ)eiλxdλ,
有c(λ)=1/2πF[a/(a2+x2)]=1/2π∫-∞+∞a/(a2+x2)e-iλxdx
=1/2e-a|λ|.即证。
求解上半平面Dirichlet问题:
△U=0;
U(x,0)=f(x);
Limx->
0,y->
0U=0.
作Fourier变换:
F[U]=∫-∞+∞U(x,y)e-iλxdx;
F[f(x)]=f(λ),对原方程两边作变换:
U’yy-λ2U’=0;
U’(λ,0)=f(λ);
limy->
∞U’=0.
解方程得:
U’(λ,y)=A(λ)eλy+B(λ)e-λy;
由条件可知:
当λ>
0,A(λ)=0,当λ<
0,B(λ)=0,
因此有U’(λ,y)=c(λ)e-|λ|y,代入可知c(λ)=f(λ),
因此U’(λ,y)=f(λ)e-|λ|y,再做逆变换:
U(x,y)=F-1[f(λ)e-|λ|y]=4/π∫-∞+∞f(ζ)/(x-ζ)2+y2dζ.
例四.设L[f(x)]=F[p],证像函数的微分性质的微分性质L[tnf(x)]=(-1)ndnF[p]/dpn.
证:
由F[p]=∫-∞+∞f(t)e-ptdt=dF[p]/dp=
{∫0+∞f(t)e-ptdt}/dp=L[-tf(t)].
例五.求解一维无界空间的运输方程,设初始浓度或温度已知,即
Ut-a2Uxx=f(x,t);
例六.求解一端固定的半无界弦线的自由振动。
Utt-a2Uxx=0;
0.①
U(a,t)=0;
③
Ut(0,x)=Ψ(x).④
对方程①~④做Fourier的正弦变换:
FS[U(s,t)]=∫0+∞U(x,t)sinλxdx=U’(λ,x);
FS[Φ(x)]=∫0+∞Φ(x)sinλxdx=Φ’(λ);
FS[Ψ(x)]=∫0+∞Ψ(x)sinλxdx=Ψ’(x).
则方程为:
d2U’/dt2+a2λ2U’=0;
⑤
U’(λ,0)=Φ’(λ);
⑥
U’t(λ,0)=Ψ’(x).⑦
解⑤~⑦得:
U’(λ,x)=Φ’(λ)cosλat+1/λaΨ’(x)sinλat.
再做逆变换:
U(x,t)=F-1S[U’(λ,x)]
=F-1S[Φ’(λ)cosλat]+F-1S[1/λaΨ’(x)sinλat].
答案略。
例七.求下列函数的Laplace变换。
(1)eat
(2)sinkt(3)sin(t-2π/3)(4)coskt
例八.求零阶Bessel方程:
x2y’’+xy’+x2y=0,y(0)=1,y’(0)=0.
作Laplace变换:
L[y]=∫0+∞y(x)e-pxdx=y’;
L[xy]=-dy’/dp;
L[tnf(t)]=(-1)ndnF(p)/dpn;
L[y’(0)]=py’-y(0)=py’-1;
L[x2y’’]=-[pndy’/dp+2py’-1].
代入即有:
y(p)=1/p(1+1/p2)-1/2.
再做逆变换有:
y(x)=c∑(-1)n/22n(n!
)2*x2n.
六.Green函数及基本解
一.Green公式
1.基本公式
(1)Gauss公式
∫∫∫Ω▽Adv=∮∮Ads=∮∮Ands
(2)Green公式
令A=U▽VU,V∈C2(Ω)∩(Ω)……
(3)Green第二公式
(4)Green第三公式
2.基本解
基本解的概念(保证严格单调,有任意解)
1).椭圆形方程
a.一维△U=δ(M-M0)的解,成为基本解。
b.三维基本解V=1/4π*1/r
c.二维基本解V=1/2π*ln1/r
2).双曲线方程
U(0,M)=0;
Ut(0,M)=δ(M).
三维:
V(M,t)=1/4πarδ(r-at);
二维:
V(M,t)=1/2πarδ(r-at);
一维:
V(M,t)=1/2Πh(a2t2-x2)=1/2a|x|≤at;
=0|x|>
at.
Utt=LU+f(M,t);
若f,Φ,Ψ是连续函数,则U(M,t)=……
3).热传导方程
Ut=LU;
U(0,M)=δ(M);
的解为基本解。
三维基本解:
二维基本解
一维基本解
3.特殊区域内的Green函数的求法,使用Green函数表达椭圆型方程的解
(1)Green函数的概念及性质
定义:
满足△G=-δ(M-M0),G|aΩ=0称为格林函数
a.Green函数与所给区域Ω和边界有关
b.Green函数界有对称性
(2)特殊区域内的Green函数
a.圆内的Green函数
b.球内的Green函数
c.半空间上的Green函数
d.半平面内的Green函数
e.第一象限的Green函数
例一.求解1/4平面的Dirichlet问题
△U=0;
x,y>
U(0,y)=f(y);
U(0,x)=0。
二维Dirichlet问题利用二维Dirichlet问题的积分公式。
例二.求解下列边界问题
△U=f(x,y);
x∈R,y>
U(0,x)=Φ(x)。
利用二维Dirichlet问题积分公式代入有:
U(x,y)=
∫0+∞∫-∞+∞f(x0,y0)G(x,y,x0,y0)dx0dy0-∫-∞+∞Φ(x0)@G/@n|y0dx0
其中G=1/2πln1/r-1/2πln1/r1
@G/@n|y0=-y0/π*(1/(x-x0)2+y02)
代入有:
U(x,y)=(答案略)
七.Bessel函数
(一)Bessel方程及方程的解
(二)Bessel函数及性质
1.Bessel函数及表现形式
2.Bessel函数的母函数
3.Bessel函数的递推关系
(三)Bessel函数的正交性及广义的傅氏级数
1.Bessel函数的正交性
2.Bessel函数的模
3.Bessel函数的傅氏级数
例一.计算I=∫x4J1(x)dx.
法一.由公式d[xmJm(x)]/dx=xmJm-1(x)有:
I=∫x2(x2J1(x))dx=∫x2[dx2J2(x)/dx]dx
=x4J2(x)-2∫x3J2(x)dx
=x4J2(x)-2∫[dx3J3(x)/dx]dx
=x4J2(x)-2
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