第一章常用逻辑用语学案Word下载.docx
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,则x=y
B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则
D.若x<y,则x2<y2
2.若x2=1,则x=1的否命题为( )
A.若x2≠1,则x=1 B.若x2=1,则x≠1
C.若x2≠1,则x≠1D.若x≠1,则x2≠1
3.命题“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”,条件p:
________,结论q:
________,是________命题.(填“真”或“假”)
4.把下列命题改写成“若p,则q的形式”,并判断命题的真假:
(1)奇数不能被2整除;
(2)当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=1;
(3)已知x、y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2.
【典例导航】
题型一判断命题的真假
例1、判断下列语句是否是命题,若不是,说明理由,若是,判断其真假.
(1)f(x)=3x(x∈R)是指数函数;
(2)x-2>
0;
(3)集合{a,b,c}有3个子集;
(4)这盆花长得太好了!
(5)x+y为有理数,则x,y也都是有理数.
【变式训练】
1.判断下列语句是不是命题:
(1)
是无限循环小数;
(2)x2-3x+2=0;
(3)当x=4时,2x>
(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
(5)一个数不是合数就是质数;
(6)作△ABC≌△A′B′C′;
(7)二次函数的抛物线太美了!
(8)4是集合{1,2,3}的元素.
题型二命题的结构
例2、指出下列命题的条件与结论.
(1)负数的平方是正数.
(2)正方形的四条边相等.
(3)质数是奇数.
(4)矩形是两条对角线相等的四边形.
2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式:
(1)各数位数字之和能被9整除的整数,可以被9整除;
(2)斜率相等的两条直线平行;
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除;
(4)钝角的余弦值是负数.
题型三四种命题的关系
例3、写出下列命题的逆命题,否命题和逆否命题,并判断真假.
(1)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形.
(2)如果x>
8,那么x>
0.
(3)当x=-1时,x2-x-2=0.
3.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
(1)当c<0时,若ac>bc,则a<b;
(2)若
+(y+1)2=0,x=2且y=-1;
(3)若四边形是矩形,则其对角线相等.
第二节充分条件与必要条件
1.通过具体实例理解充分条件、必要条件、充要条件.
2.会判断充分条件和必要条件.
3.能证明命题的充要条件.
1.充分条件和必要条件的判断.(重点)
2.充分条件和必要条件的区分.(易混点)
3.充要条件的判断.(重点)
4.证明充要条件时,充分性和必要性的区分.(易混点)
1.命题的基本结构形式是,其中是条件,是结论.
2.原命题和它的命题同真假.
1.充分条件与必要条件
命题真假
“若p则q”是真命题
“若p则q”是假命题
推出关系
条件关系
p是q的条件
q是p的条件
p不是q的条件
q不是p的条件
2.充要条件
(1)如果既有,又有,就记作p⇔q,p是q的充分必要条件,简称条件.
(2)概括地说:
如果,那么p与q互为充要条件.
(3)充要条件的证明:
证明充要条件应从两个方面证明,一是,二是.
1.a>b是a>|b|的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的( )
3.在“x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的充分不必要条件”这句话中,已知条件是________,结论是________.
4.指出下列各题中,p是q的什么条件?
(1)在△ABC中,p:
∠A>
∠B,q:
BC>
AC;
(2)p:
数列{an}是等差数列,q:
数列{an}的通项公式是an=2n+1.
题型一充分条件、必要条件的判断
例1、下面四个条件中,使a>
b成立的充分而不必要的条件是( )
A.a>
b+1 B.a>
b-1
C.a2>
b2D.a3>
b3
例2、“x>1”是“|x|>1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
例3、用“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“既不充分也不必要条件”填空.
(1)“p:
x>
1”是“q:
<
1”的________.
(2)“p:
sinα=
”是“q:
α=
”的________.
(3)“p:
四边形是平行四边形”是“q:
四边形是矩形”的
________.
(4)p:
a=b,q:
直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切,则p是q的________.
1.给出下列四组命题:
(1)p:
x-2=0;
q:
(x-2)(x-3)=0.
两个三角形相似;
两个三角形全等.
(3)p:
m<
-2;
方程x2-x-m=0无实根.
一个四边形是矩形;
四边形的对角线相等.试分别指出p是q的什么条件.
题型二充分条件、必要条件的应用
例4、是否存在实数p,使q:
“4x+p<
0”是r:
“x2-x-2>
0”的充分条件?
如果存在,求出p的取值范围.
2.已知p:
x2-8x-20>
0,q:
x2-2x+1-a2>
0.若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.
题型三充要条件的证明
例5、设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
例6、求证:
方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<
.
3.试证:
一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<
第三节全称量词与全称命题
1.理解全称命题和特称命题.
2.能判定全称命题和特称命题的真假.
3.理解全称命题、特称命题的否定之间的关系.
4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.对全称命题和特称命题的理解.(重点)
2.对不含量词的全称命题和特称命题真假的判断.(易混点)
3.对全称命题和特称命题的否定的理解.(重点)
4.写出全称命题和特称命题的否定.(易混点)
1.“x>
1”是“
1”的______条件(填充分、必要或充要).
2.命题有四种形式,否命题相对于原命题来说否定的什么?
1、量词
一、全称量词
概念:
短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题.
注意以下几点:
(1)将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)…表示,变量x的取值范围用M表示,那么,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,可简记为∀x∈M,p(x);
(2)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题.
例如p:
对所有整数x,x2-1=0,q:
对所有整数x,5x-1是整数,其中命题p、q都是全称命题.
二、存在量词
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示,含有存在量词的命题,叫做特称命题.
(1)特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x).
(2)存在命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
2、全称命题与特称命题
全称命题
特称命题
量词
在一些命题的条件中,“所有”“每一个”“任何一个”“任意一个”“一切”等都是在指定范围内,表示
的含义,这样的词叫作全称量词
在一些命题中,“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示
的含义,这样的词叫作存在量词
含有全称量词的命题
含有存在量词的命题
形式
对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为任意的x∈M,p(x)
存在x0∈M,p(x0),即在M中存在一个元素x0,使p(x0)成立.
否定
存在x0∈M,p(x0)不成立.
的否定是
任意的x∈M,非p(x).
的否定是
3、全称命题与特称命题的不同表述
同一个全称命题、存在命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法.现列表总结于下,在实际应用中可以灵活地选择:
全称命题“∀x∈A,p(x)”
存在命题“∃x∈A,p(x)”
表述方法
所有的x∈A,p(x)成立
存在x∈A,使p(x)成立
对一切x∈A,p(x)成立
至少有一个x∈A,使p(x)成立
对每一个x∈A,p(x)成立
对有些x∈A,使p(x)成立
任选一个x∈A,使p(x)成立
对某个x∈A,使p(x)成立
凡x∈A,都有p(x)成立
有一个x∈A,使p(x)成立
4、含有一个量词的命题的否定.
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
全称命题p:
∀x∈M,p(x),它的否定¬
p:
∃x0∈M,¬
p(x0).
全称命题的否定是特称命题.
含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:
特称命题p:
∃x0∈M,p(x0),它的否定¬
∀x∈M,¬
p(x).
1.下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b
C.存在一条直线与两个相交平面都垂直
D.存在一个实数x0使不等式x02-3x0+6<
0成立
2.命题“有的函数没有解析式”的否定是( )
A.有的函数有解析式
B.任何函数都没有解析式
C.任何函数都有解析式
D.多数函数有解析式
3.下列语句:
①有一个实数a不能取对数;
②所有不等式的解集A,都有A⊆R;
③有的向量方向不定;
④自然数的平方是正数.其中全称命题有________(填序号),特称命题有__________(填序号).
4.指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假:
(1)当a>1时,则对任意x,曲线y=ax与曲线y=logax有交点.
(2)被5整除的整数的末位数字都是0.
(3)有的四边形没有外接圆.
题型一全称命题与特称命题的辨析
例1、判断下列语句是全称命题,还是特称命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°
;
(2)有的向量方向不定;
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;
(4)矩形的对角线不相等;
(5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
1.判断下列语句是否是全称命题或存在性命题:
①有一个实数a,a不能取对数;
③三角函数都是周期函数吗?
④有的向量方向不确定;
⑤自然数的平方是正数.
题型二全称命题特称命题真假的判定
例2、判断下列命题的真假:
所有的单位向量都相等;
任一等比数列{an}的公比q≠0;
存在x0∈R,x02+2x0+3≤0;
存在等差数列{an},其前n项和Sn=n2+2n-1.
2.判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数;
(2)有一个实数,使x2+2x+3=0;
(3)有些整数只有两个正因数;
(4)所有奇数都能被3整除.
题型三含有一个量词的命题的否定
例3、已知命题p:
∃n∈N,2n>1000,则¬
p为( )
A.∀n∈N,2n≤1000 B.∀n∈N,2n>1000
C.∃n∈N,2n≤1000D.∃n∈N,2n<1000
3.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.
(1)三角形的内角和为180°
(2)每个二次函数的图象都开口向下;
(3)存在一个四边形不是平行四边形;
(4)存在一个实数x0,使得3x0<
第一节逻辑联结词“且”“或”“非”
1.通过实例了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.
2.会判断含“且”、“或”、“非”的命题的真假.
1.对含“且”“或”“非”的命题真假的判断.(重点)
2.“且”“或”“非”在逻辑判断中的综合应用.(易混点)
1.命题是指用表达的,可以判断的句.
2.矩形的对角线相等且互相平分;
矩形有外接圆或有内切圆,想一想两者说法有何不同?
1.“p”且“q”
用“且”联结两个命题p和q,构成一个新命题“”.
当两个命题p和q都是真命题时,新命题“p且q”是命题;
在两个命题p和q之中,至少有一个命题是假命题,新命题“p且q”是假命题.
2.“p”或“q”
用“或”联结两个命题p和q,构成一个新命题“”.
在两个命题p和q之中,至少有一个命题是真命题时,新命题“p或q”是真命题;
当两个命题p和q都是假命题时,新命题“p或q”是假命题.
3.非p
对命题p加以否定,就得到一个新命题,记作“”,读作“”.
一个命题p与这个命题的否定,必然一个是命题,一个是命题,一个命题否定的否定仍是.
1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( )
A.简单命题
B.“p或q”形式的复合命题
C.“p且q”形式的复合命题
D.“非p”形式的命题
2.复合命题S具有“p或q”形式,已知“p且r”是真命题,那么命题S是( )
A.真命题
B.假命题
C.与命题q的真假有关
D.与命题r的真假有关
3.用“或”、“且”、“非”填空,使命题成为真命题:
(1)x∈A∪B,则x∈A________x∈B;
(2)x∈A∩B,则x∈A________x∈B;
(3)若ab=0,则a=0________b=0;
(4)a,b∈R,若a>0________b>0,则ab>0.
4.判断下列命题的真假:
(1)2是偶数或者3不是质数;
(2)对应边相等的两个三角形全等或对应角相等的两个三角形全等;
(3)周长相等或者面积相等的两个三角形全等.
题型一含逻辑连接词的命题的构成
例1、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.
(1)96是48与16的倍数;
(2)方程x2-3=0没有有理数解;
(3)不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<-1或x>2}.
1.将下列命题写成“p或q”“p且q”和“¬
p”的形式:
菱形的对角线互相垂直,q:
菱形的对角线互相平分;
能被5整除的整数的个位数一定为5,q:
能被5整除的整数的个位数一定为0.
题型二含逻辑连接词的命题真假的判断
例2、指出下列命题的真假.
“不等式|x+2|≤0没有实数解”;
(2)命题:
“-1是偶数或奇数”;
(3)命题:
“
属于集合Q,也属于集合R”;
(4)命题:
“A
(A∪B)”.
2.分别指出下列各组命题构成的“p且q”“p或q”“¬
p”形式的命题的真假.
6<6,q:
6=6.
梯形的对角线相等,q:
梯形的对角线互相平分.
函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点.
方程x2+x+2=0没有实根.
题型三逻辑联结词“且”“或”“非”的综合应用
例3、若p是真命题,q是假命题,则( )
A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题
C.¬
p是真命题D.¬
q是真命题
例4、写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬
p”形式的命题,并判断其真假:
梯形有一组对边平行,q:
梯形有一组对边相等.
-1是方程x2+4x+3=0的解,q:
-3是方程x2+4x+3=0的解.
集合中元素是确定的,q:
集合中元素是无序的.
3.对于下列各组命题,利用“且”“或”“非”分别构造新命题,并判断新命题的真假.
(1)命题p:
任何集合都有两个子集;
命题q:
任何一个集合都至少有一个真子集;
(2)命题p:
等比数列的公比可以是负数;
等比数列可以是等差数列;
(3)命题p:
7<
7,命题q:
7=7.
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