第四章 曲线运动Word格式文档下载.docx
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式中“+”是指两个速度矢量按平行四边形定则相加.这是质点相
对于两个相对平动的参考系的速度的关系.
质点相对于两个相对平动的参考系的速度的关系,常常简称为
相对速度关系,在大学物理中可以证明这个关系的成立,决定于空
间和时间的性质,这个关系是经典力学的基本关系.
物体A相对物体B平动的速度记为VAB,物体A相对物体C平动的
速度记为VAC,物体B相对物体C平动的速度记为VBC,则
VAC=VAB+VBC
同时VAC=-VCA,VAB=-VBA,VBC=-VCB.
跨过定滑轮的没有分叉的绳子连解的两个物体速度的关系
图4-2中卡车和拖车的速度都是沿着水平路面,分别为u和v.
将u向沿着绳子a的方向和垂直于绳子a的方向分解,将v沿着绳
子b的方向和垂直于绳子b的方向分解.u1度量绳子a长度增加的快
慢,v2度量绳子b长度减少的快慢,两者是相等的:
u1=v1
即ucosα=vcosβ
此式反映了卡车速度u与拖车速度v之间的关系.
一般地,跨过定滑轮的没有分叉的绳子连结的两个物体的速度
沿绳子方向的分量是相等的.
做匀速圆周运动的质点受到的合外力
做匀速圆周运动的质点受到的合外力,总是指向圆心,所以也
称为向心力.
向心力的大小满足牛顿第二定律:
F=ma
将a的表达式分别代入,可以得到四个综合性的等式:
F=mωv
F=mv2/r
F=mω2r
F=4π2mr/T2
变速率圆周运动
变速率圆周运动,和匀速圆周运动一样,速度沿着切线.
变速率圆周运动,加速度不一定指向圆心,相应地,合力不一定
指向圆心.
将加速度沿半径方向和切线方向分解,沿半径指向圆心的分加
速度,称为向心加速度.
将各外力沿半径方向和切线方向分解,半径方向各力的合力指
向圆心,称为向心力.
变速率圆周运动的向心加速度a心,和向心力F心满足以下公式:
a心=ωv=v2/r=ω2r
F心=ma心
飞机作俯冲运动经过最低点时,飞行员受到重力和向上的弹力.
合力的大小(向心力的大小),等于指向圆心的弹力的大小减去背向
圆心的重力的大小:
F心=N-mg
在表演水流星节目时,碗和其中的水构成的系统,在最高点时,
受到向下的重力和向下的拉力,二力的合力大于等于重力:
F心≥mg
又F心=mv2/r
所以mv2/r≥mg
从而v≥√gr.
对碗中的水作类似的考虑,也可得到这个结论.
汽车在拱桥上行驶,经过最高点时,受到向下的重力,向上的支
持力,二力的合力(指向圆心,向下)小于等于重力,所以可以得到
v≤√gr.
例题1雨点以4m/s的速度竖直下落,人以3m/s的速度向东前进,
那么雨点相对人的速度如何?
解:
雨点相对地面的速度记为V雨地,人相对地面的速度记为
V人地,地面相对人的速度记为V地人,雨点相对人的速度记为V雨人
.如图4-3所示,根据相对速度关系有
V雨人=V雨地+V地人
三个速度的大小具有以下关系
v雨人=√v雨地2+v地人2
把v雨地=4m/s,v地人=v人地=3m/s代入,解得
v雨地=5m/s
另外,θ=37°
答:
雨点相对人的速度,沿竖直向下偏西37°
大小为5m/s.雨
点从前面斜向下打向人.
例题2如图4-4所示,河宽l=100m,流速v1=5m/s.一只船在河
的正中航行,行至图示位置(小圆圈表示船),发现下游s=100m处有
瀑布.小船相对水的速度v2至少多大,才能安全靠岸?
如图4-5,船相对河岸的速度与水流方向的夹角α必须大于等
于θ,才能安全靠岸:
sinα>
sinθ
(1)
其中sinθ=50/√502+1002=1/√5
(2)
由正弦定理得
v2/sinα=v1/sinβ
即v2=v1sinα/sinβ(3)
又sinβ≤1(4)
由
(1)(3)(4)得
v2>
v1sinθ
代入数据得v2>
√5
即v2>
2.24m/s
小船相对水的速度应大于2.24m/s,才能安全靠岸.
例题3有两面垂直于地面的光滑墙A、B,两墙间隔为l=1.1m,
从h=19.6m高处A墙附近,以大小为5m/s的速度,水平向右抛出一小
球,小球交替跟B墙和A墙碰撞,最后落地.设小球与墙壁的碰撞是完
全弹性的,则小球落地前与墙壁碰撞多少次?
小球与墙壁作完全弹性碰撞,设碰撞时间极短,那么碰撞前
后,速度的竖直分量不变水平分量方向反过来,大小不变.从抛出到
落地,小球在竖直方向上的分运动是自由落体运动;
在水平方向上
的分运动是若干段向右的和向左的匀速运动,各段匀速运动的速度
大小相等,等于5m/s.
由自由落体运动公式得运动时间为
t=√2h/g=2s
水平分运动的路程为
s=vt=5×
2=10m
即s=9×
1.1m+0.1m
小球落地前与墙壁碰撞9次.
例题4如图4-6所示,在高H处,小球A以速度v1水平抛出,与此
同时,地面上,小球B以速度v2竖直上抛,两球在空中相遇.则
(A)从它们抛出到相遇所需的时间是H/v1
(B)从它们抛出到相遇所需的时间是H/v2
(C)两球抛出时的水平距离为Hv1/v2
(D)两球抛出时的水平距离为Hv2/v1
相遇时A球下降的距离跟B球上升的距离之和应等于H,设从
抛出到相遇经历的时间为t,则
(1/2)gt2+[v2t-(1/2)gt2]=H
即v2t=H
所以t=H/v2
两球抛出时的水平距离x,等于从抛出到相遇甲球水平方向的分位
移:
x=v1t=Hv1/v2
选项(B)(C)正确.
例题5一小球以初速度v0水平抛出,落地速度为v.不计空气阻
力.求小球在此期间位移的大小.
平抛运动中水平分速度保持不变,始终等于v0.如图4-7,
落地速度可分解为水平分速度v0和竖直分速度vy:
v2=v02+vy2
(1)
竖直分运动是自由落体运动,运动时间为
t=vy/g
(2)
竖直方向的分位移为
sy=vy2/(2g)(3)
水平分位移为
sx=v0t(4)
小球的位移s满足:
s2=sx2+sy2(5)
将(3)(4)两式代入(5)式:
s2=v02t2+(vy2)2/(4g2)(6)
将
(2)式代入(6)式:
s2=v02vy2/g2+(vy2)2/(4g2)
即s2=(4v02+vy2)vy2/(4g2)(7)
从
(1)式得vy2=v2-v02(8)
将(8)式代入(7)式:
s2=(3v02+v2)(v2-v02)/(4g2)
于是s=√(3v02+v2)(v2-v02)/(2g)
例题6看电影时,常发现银幕上小轿车虽然在开动,但其车轮
似乎并不转动.设车轮的正面形状如图4-8所示,请通过估算来判断
此时小轿车行进的速度与你百米短跑的平均速度哪个大?
放映电影时,每1秒钟,银幕上依次出现24幅画面,即每隔
1/24秒,更换一幅画面.车轮看起来不动,这意味着,各幅画面基本
相同,意味着在1/24秒钟的时间内,轮子转动了1/3周,或2/3周,1周,
4/3周…….在1/24秒的时间内,轮子至少转到了1/3周,也就是,在
1/8秒的时间内,轮子至少转过了1周.轮子的周长可估计为2米.在
1/8秒的时间内,小轿车至少行进了2米.所以小轿车的速度至少为
v=2m/[(1/8)s]=16m/s
国家级运动员百米短跑大约需要10s,平均速度大约为10m/s,
中学生百米短跑的平均速度为8m/s左右.
本题所述小轿车之速度,大于人们百米短跑的速度.
例题7图4-9表示近似测量子弹速度的装置,在一个水平转轴
的一端焊上薄壁圆筒,圆筒的半径为R,每分钟转n转.一颗子弹沿圆
筒的水平直径方向由A点射入圆筒,在圆筒转过不到半圈时从圆筒
上B点射出.可认为子弹在穿壁时、在飞行中保持匀速直线运动.已
知圆弧AB所对的圆心角为θ.写出子弹速度的计算式.
观察图4-9和图4-10可知,子弹从一边射入,从另一边射出,
在此期间,圆筒转过的角度为(π-θ).根据题意,在60s内,圆筒转
过的角度是2πn.由此可算出经历的时间为
t=60(π-θ)/(2πn)
子弹作匀速直线运动的速度为
v=2R/t
所以v=nπR/[15(π-θ)]
例题8如图4-11,有三个质量均为m的小球A、B、C,固定在轻
杆上,OA=AB=BC=L,杆以O为圆心,以角速度ω在光滑水平面上匀
速旋转.杆OA、AB、BC上的拉力大小之比如何?
小球A、B、C的向心加速度都是指向O,大小分别为
aA=ω2L,
aB=ω2(2L),
aC=ω2(3L).
轻杆OA、AB、BC上的拉力分别记为T1、T2、T3.
对小球A、B、C组成的系统,应用质点组牛顿第二定律,
T1=maA+maB+maC=6mω2L
对小球B、C组成的系统,应用质点组牛顿第二定律,
T2=maB+maC=5mω2L
对小球C应用牛顿第二定律,
T3=maC=3mω2L
所以T1:
T2:
T3=6:
5:
3
例题9质量为2Kg的小球沿竖直平面内的半径为2m的圆轨道做
变速圆周运动,如图4-12所示,经过A点时速度为10m/s.求小球经过
A点时
(1)向心加速度的大小
(2)切向加速度的大小
(3)加速度的大小
(4)合外力的大小
(1)应用向心加速度公式:
a心=v2/r=102/2=50m/s2
(2)如图4-13,将重力沿半径方向和切线方向分解为G1、G2:
G1=mgcos30°
G2=mgsin30°
在切线方向应用牛顿第二定律:
a切=G2/m=5m/s2
(3)a=√a心2+a切2
=√502+52
=√2525=50.25m/s2
(4)应用牛顿第二定律:
F合=ma=2×
50.25=100.5N
例题10如图4-14所示,一物体m从曲面上的Q点自由滑下,滑至
传送带时速度为v,然后沿着粗糙的传送带向右运动,最后落到地面
上.已知在传送带不动的情况下,落地点是P点.
(A)若皮带轮带着传送带以大于v速度向右匀速运动,那么物体
的落地点在P点右边
(B)若皮带轮带着传送带以等于v的速度向右匀速运动,那么物
体的落地点在P点右边
(C)若皮带轮带着传送带以小于v的速度向右匀速运动,那么物
体的落地点在P点左边
(D)若皮带轮带着传送带向左匀速运动,那么物体的落地点在P
点
传送带不动时,对向右运动的物体的滑动摩擦力向左,物体
做匀减速运动.离开传送带时的速度记为u.
如传送带向右运动的速度大于v,那么传送带相对物体向右运
动,对物体施加向右的滑动摩擦力,使物体向右匀加速运动.匀加速
运动进行到物体离开传送带为止,或者进行到物体的速度达到传送
带的速度为止,物体接下去随传送带匀速运动.物体离开传送带时,
速度大于u,落地点在P点右边.选项(A)正确.
如传送带向右的速度等于v,那么物体沿着传送带做匀速运动,
落地点也在P点右边.选项(B)正确.
如传送带向右的速度小于v,那么传送带相对物体向左运动,传
送带对物体的滑动摩擦力向左,使物体做匀减速运动.匀减速运动
进行到物体离开传送带为止,或者进行到物体的速度减至传送带的
速度为止,物体接下去随传送带匀速运动.物体离开传送带时的速
度等于u或者大于u,落地点在P点或者P点右边.选项(C)错误.
如传送带向左运动,那么传送带相对物体向左运动,传送带对
物体的滑动摩擦力向左,使物体向右作匀减速运动,直到离开传送
带.物体离开传送带时的速度等于u,落地点在P点.选项(D)正确.
总之,选项(A)(B)(D)正确.
例题11一个质量m=20Kg的钢件,架在两根完全相同的、平
行的长直圆柱上,如图4-15所示.钢件的重心与两柱等距.两柱
的轴线在同一水平面内.圆柱的半径r=0.025m,钢件与圆柱间的
动摩擦因数μ=0.20.两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动,
角速度ω=40rad/s.若沿平行于柱轴的方向施力,推着钢件作速
度为v0=0.050m/s的匀速运动,推力是多大?
设钢件左右受光滑导
轨限制(图中未画出),不发生横向运动.(第二届全国中学生物理竞
赛预赛试题第二部分第六题)
每根圆柱所受的压力等于mg/2,每根圆柱对钢件的滑动摩
擦力为
f=μmg/2=20N.
f的方向,应该跟圆柱的和钢件接触的部分,相对钢件的速度的方向
相同.以钢件为参照物,圆柱的与钢件接触的部分,一方面有向左的
速度,大小为
v1=0.050m/s,
另一方面有横向速度,大小为
v2=ωr=1m/s,
如图4-16,圆柱的与钢件接触的部分的速度与轴线方向的夹角θ满
足
ctgθ=v1/v2=0.050/1=0.050,
从而cosθ≈0.050.
f跟轴线的夹角也是θ.所以f的沿轴线方向的分量为
f轴=fcosθ=1N.
在地面坐标系中,钢件匀速运动,所以,
F=2f轴=2N.
例题12图4-16中M、N是两个共轴圆筒的横截面,外筒半径为R
内筒半径比R小得多,可以忽略不计,筒的两端是封闭的,两筒之间
抽成真空,两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线(图中垂直于纸面)
作匀速转动.设从N筒内部可以通过窄缝s(与M筒的轴线平行)不断
地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒.从s处射出时的初速度的
方向都是沿筒的半径方向,微粒到达N筒后就附着在N筒上,如果R、
v1和v2都不变,而ω取某一合适的值,则().
(A)有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与s缝平行的
窄条上
(B)有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与s
缝平行的窄条上
(C)有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处
与s缝平行的窄条上
(D)只要时间足够长,N筒上将到处有微粒
(1987年高考全国卷试题)
(设微粒的初速度如果足够大,以至微粒在两筒之间小范围的
运动可以看成直线运动.引者加.)
分析:
微粒从M筒射到N筒的运动,在地面参考系中是直线运动,
在圆筒参考系中不是直线运动,而且不是容易研究的曲线运动.所
以适合采用地面参考系,考虑这个问题.
微粒初速度是沿着半径方向的,如果内外两个圆筒都是静
止的,那么微粒都落在N筒上a处窄条上.
微粒初速度是沿着半径方向的,在某个微粒从M筒运动到N筒的
时间内:
如果N筒正好运动1周、2周、3周等等,那么这个微粒仍将
落在a处,如果N筒运动整数圈加上θ角,那么微粒在N筒上的落点,
跟s点之间的圆弧的圆心角为θ.
速度大小相等的若干微粒,运动时间都相等,各微粒运动期间,
圆筒转过的角度都相同,落点跟s点之间的圆弧的圆心角都相同,将
落在同一窄条上.
如果v1适当,使得以v1射出的微粒运动期间,圆筒转过整数圈,
如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间,圆筒也转过整数圈(两
个整数不相等),那么所有微粒都落在a处.于是选项(A)正确.
如果v1适当,使得以v1射出的微粒运动期间,圆筒转过整数圈
加上角度θ,如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间,圆筒转过
整数圈(两个整数不相等)加上角度θ,那么所有微粒都落在同一窄
条上,比如b处.于是选项(B)正确.
加上角度θ1,如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间,圆筒转
过整数圈(两个整数不相等)加上角度θ2,θ2≠θ1,那么所有微粒
都落在两个不重合的窄条上,比如b处和c处.于是选项(C)正确.
总之,选项(A)(B)(C)正确,选项(D)错误.
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