二次函数的综合练习课docWord格式.docx

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　　1．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标是____．

　　2．函数y＝2x2-12x＋1的最小值是多少？

这时的x值是多少？

（y＝2（x-3）2-17≥-17．所以x＝3时，y有最小值-17）

（二）新课

　　上几节课，我们已学习了二次函数的性质和五个主要问题，那就是：

　　1．y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标公式．

　　2．y＝ax2＋bx＋c图象的画法．

　　3．用待定系数法求二次函数的解析式．

　　4．图象法解ax2＋bx＋c＞0的几何意义．

　　5．有关二次函数的最大值、最小值问题．

　　本节课是要解决这些主要问题综合在一起的题目，要求同学们善于把二次函数的知识灵活运用．

（1）把它配方成y＝a（x＋h）2＋k形式；

（2）写出它的开口方向、顶点M的坐标、对称轴方程和最值；

　　（3）求出图象与y轴、x轴的交点坐标；

　　（4）作出函数图象；

　　（5）x取什么值时y＞0，y＜0；

　　（6）设图象交x轴于A，B两点，求△AMB面积．

（2）开口向下．顶点坐标是M（2，3）．对称轴是x＝2．x＝2时，y最大值＝3；

　　（4）图象见图17；

　　例2k取什么值时，对于任意实数x，二次不等式（4-k）x2-3x＋k＋4＞0都成立．

　　分析：

当k≠4时（4-k）x2-3x＋k＋4是x的二次函数．

　　设y＝（4-k）x2-3x＋k＋4，题目的意思是问：

k取什么值时，当x取任意实数时，y＞0，转化为图象关系，是问k取什么值时，图象上点的横坐标取任何实数时，点的纵坐标都是正值，也就是说，图象都在x轴上方．

　　我们从上面这四个图可见，图18和图21，都不符合要求，因为图象上点的纵坐标不全是正值，而图20的图象上各点纵坐标全是负值也不符合要求，只有图19符合要求．

　　怎样把这个图象的几何条件转化为数量关系（式子），然后计算出k值呢？

因为这个图是开口向上，并且顶点的纵坐标是正值．所以列式为

　　例3已知图22是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．

（1）a；

（2）b；

（3）c；

（4）b2-4ac；

（5）2a＋b；

（6）a＋b＋c；

（7）a-b＋c．

已知的是几何关系（图形的位置、形状），需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．

　　解：

（1）因为抛物线开口向下，所以a＜0；

　　（3）因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是（0，c），而图中这一点在x轴上方，即c＞0；

　　（6）因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·

12＋b·

1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；

　　（7）因为图象上的点的横坐标为（-1）时，点的纵坐标为负值，即a（-1）2＋b（-1）＋c＜0，故a—b＋c＜0．

　　例4利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象回答以下各问：

（1）二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的几何意义是什么？

（2）在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？

　　（3）在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？

　　（4）在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？

本题是二次方程图象解法、二次方程根的判别式性质与二次函数图象紧密联系、数与形相互呼应的典型之一．

（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0，函数式就变成二次方程ax2＋bx＋c＝0．解这个一元二次方程，也就是要找出使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y＝0的x值．从图形上看，方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标；

（2）方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根的几何意义是：

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的公共点，如图23或图24．

　　①，②的结论与二次方程根的判别式性质完全一致；

　　（3）方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等实数根的几何意义是：

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点．如图25，图26．

＝0．③③式的结论与二次方程根的判别式性质完全一致；

　　（4）方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根的几何意义是：

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点．如图27，图28．

　　即b2-4ac＜0．⑤

　　④，⑤的结论与二次方程根的判别式性质完全一致．

　　例5方程2x2-4mx＋（5m2-9m-12）＝0的两个实数根为x1，x2．问：

当m取什

x1，x2是实数，必须满足根的判别式△≥0，即（-4m）2-8（5m2-9m-12）≥0．化简，得m2-3m-4≤0．

　　我们可用图象法来求这个不等式的解．设y＝m2-3m-4．令y＝0，得m1＝-1，m2＝4，又因为二次项系数1＞0，所以开口向上，草图是图29．所以不等式m2-3m-4≤0的解是-1≤m≤4．①

　　由根与系数关系，有

　　请同学们注意，能不能由②式就下结论：

　　这是因为还要结合①式的条件-1≤m≤4．

　　于是本题转化为“自变量在规定范围内求函数的最大值、最小值”，而此前的求函数最大值、最小值是自变量在整个实数范围内．

③这个图是示意图，没有按比例尺寸画）

　　图30中的一段实线，是抛物线的自变量m在-1到4时这一段的弧．这段弧的最高点为（4，32），最低点为（-1，2）．

　　例6已知抛物线y＝x2-2（k＋2）x＋2（k-1）．

（1）试证：

k取任意实数时，此抛物线与x轴有两个交点；

（2）k取何值时，这两个交点在y轴的同侧，并且判定它们同在y轴的左侧，还是同在y轴的右侧；

　　（3）如果此二次函数的对称轴是直线x＝3，求此抛物线与x轴的两个交点及顶点所成的三角形的面积．

（1）抛物线与x轴有两个交点，相当于二次方程有两个不相等的实根．

（2）两个交点在y轴的同侧，相当于方程的两根的正、负号相同．

（1）因为△＝[-2（k＋2）]2-4×

2（k-1）＝4（k＋1）2＋20＞0，所以方程x2-2（k＋2）x＋2（k-1）＝0有两个不相等的实数根，即有两个实数使函数y＝x2-2（k＋2）x＋2（k-1）的函数值为零．转化为图形来看，即图象上有两点的横坐标可使纵坐标为零，即图象上有两点在x轴上；

（2）两交点在y轴同侧，相当于方程x2-2（k＋2）x＋2（k-1）＝0的两根的正、负号相同，由根与系数关系，得x1x2＝2（k-1）＞0，即k＞1．这时两根之和x1＋x2＝2（k＋2）＞6＞0，两根都是正值，所以这两个交点同在y轴的右侧；

　　（三）课堂练习

才能使售出的总金额最大？

设这种服装涨价前每件售价为a，售出服装b件，则涨价后，每件售价为

　　（四）小结

　　1．在解综合题时，问题受各种条件的约束，因此解题时不要疏漏应有的条件，像例5中，m受△≥0的约束，不能忽略．

　　2．某些深层次的数与形的转化，只有在解题实践中才会接触到、得到训练．像例6中的“两个交点在y轴同侧”相当于x1x2＞0这类转化．

　　3．二次函数y＝ax2＋bx＋c，二次方程ax2＋bx＋c＝0，二次不等式ax2＋bx＋c＞0，二次三项式ax2＋bx＋c．这四个“二次”是中学数学里的重要学习内容和解题的工具，它们之间有密切的联系，应熟悉这四者之间的相互转换．还应把它们与图象的数形结合灵活运用，这对于寻找解题途径和检验运算的中间过程和运算结果都很有促进作用．（注二次不等式ax2＋bx＋c＞0用二次函数图象法来解）

　　（五）作业

　　1．某男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是：

（1）画出函数的图象；

（2）观察图象，说出铅球推出的水平距离．

　　2．如图31，一边靠校园院墙，另外三边用50m长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm．

（1）写出长方形场地面积y（m2）与x（m）的函数关系式；

（2）画出函数的图象；

　　（3）观察图象，说出垂直院墙的边长多少时，长方形面积最大．

　　3．如图32有一个半径为R的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径．

（1）写出周长y与腰长x的函数关系及自变量x的范围；

（2）腰长为何值时周长最大，最大值是多少？

　　4．如果二次函数

　　y＝mx2＋（m-3）x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围．

　　5．已知二次函数y＝（m＋1）x2-2（m-1）x＋3（m-1）．问：

m取何值时，图象在x轴上截得的线段长为4？

并求出图象与y轴的交点坐标．

　　作业的答案或提示

　　1．

（1）找出几个特殊点：

顶点，与x轴交点，与y轴交点及它们的轴对称点．

得x1=10，x2=-2．所以与x轴交点（10，0），（-2，0）．把这些点用平滑的曲线连结，得到的图形是图33．由于水平距离实际上不能取负值，所以图象只能画出图中的实

（2）铅球的水平距离是10m．

　　2．

（1）矩形的另一边长为50-2x，y＝x（50-2x）＝-2x2＋50x，（0＜x＜25）；

（2）草图是图34；

（没有按比例尺寸画）

（2）由①可知当x＝R时，y最大值＝5R．即腰长等于半径时，周长最大值为5R．

　　4．因为y＝mx2＋（m-3）x＋1是二次函数，所以m≠0，设抛物线y＝mx2＋（m-3）x＋1与x轴的交点是（x1，0），（x2，0），其中x1≤x2，由于x＝0时，y≠0，所以此抛物线不过原点，所以抛物线与x轴的交点至少有一个在原点右侧应有下面两种情况：

（1）两个交点分别在原点的两侧，即x1＜0，x2＞0，此时有

　　所以当两个交点分别在原点两侧时，有m＜0；

（2）交点都在原点右侧，即0＜x1≤x2，此时有

　　综上所述，当这个二次函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧时，m的取值范围是：

m＜0，0＜m＜1．

　　5．分析：

根据题意，抛物线与x轴应有两个交点，而且这两个交点间距离为4，为此m必须满足以下三个条件：

（1）m＋1≠0；

（这是保证函数是二次函数）

（2）△＝4（m-1）2-12（m＋1）（m-1）＞0；

（这是保证抛物线与x轴有两个支点）

　　（3）设两个交点分别为（x1，0），（x2，0），应该有|x1-x2|＝4．

设方程（m＋1）x2-2（m-1）x＋3（m-1）＝0的两个根为x1，x2，根据题意，有

m＋1≠0，①

△＝4（m-1）2-12（m＋1）（m-1）＞0．②

　　由①，②，③得方程组

　　m1＝0时，二次函数为y＝x2＋2x-3，它与y轴交点为（0，-3）；