八年级上数学几何专题训练.docx
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八年级上数学几何专题训练
期末几何压轴题训练
一、解答题
1.如图,A(6,0),B(0,4),点B关于x轴的对称点为C点,点D在x轴的负半轴上,△ABD的面积是30.
(1)求点D坐标.
(2)若动点P从点B出发,沿射线BC运动,速度为每秒1个单位,设P的运动时间为t秒,△APC的面积为S,求S与t的关系式.
(3)在
(2)的条件下,同时点Q从D点出发沿x轴正方向以每秒2个单位速度匀速运动,若点R在过A点且平行于y轴的直线上,当△PQR为以PQ为直角边的等腰直角三角形时,求满足条件的t值,并直接写出点R的坐标.
2.在中,,,点在直线上(,除外),的垂线与的垂线交于点,研究和的数量关系.
(1)在探究,的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点是的中点时,只需要取边的中点(如图),通过推理证明就可以得到的数量关系,请你按照这种思路直接写出和的数量关系:
_____________________
(2)当点是线段上(,除外)任意一点(其它条件不变),上面得到的结论是否仍然成立呢?
证明你的结论;
(3)点在线段的延长线上,上面得到的结论是否仍然成立呢?
在下图中画出图形,并证明你的结论.
3.如图1,为等腰三角形,,点在线段上(不与重合),以为腰长作等腰直角,于.
(1)求证:
;
(2)连接交于,若,求的值.
(3)如图2,过作于的延长线于点,过点作交于,连接,当点在线段上运动时(不与重合),式子的值会变化吗?
若不变,求出该值;若变化,请说明理由..
4.已知在中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,联结AD,以AD为腰在AD的右侧作等腰直角,∠DAE=90°,解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°
①如图1,当点D在线段BC上时(与点B不重合),线段CE、BD之间的位置关系为_______
②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,①的结论是否仍然成立,如果不成立请说明理由,如果成立请加以证明
(2)如图3,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,当点D在线段BC的延长线上时,试探究:
当∠ACB=45°时(点C与点E重合除外),求:
∠ECA的度数?
5.在中,,,为边的中点,,绕点旋转,它的两边分别交和(或它们的延长线)于,.
(1)当于时(如图1),可得______________.
(2)当与不垂直时(如图2),第
(1)小题得到的结论成立吗?
若成立,请给予证明;若不成立,请直接给出,,的关系.
(3)当点在延长线上时(如图3),第
(1)小题得到的结论成立吗?
若成立,请给予证明;若不成立,请直接给出,,的关系.
6.如图1,等腰△ABC中,AC=BC=,∠ACB=45˚,AO是BC边上的高,D为线段AO上一动点,以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚,连结BE.
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)如图2,在图1的基础上,延长BE至Q,P为BQ上一点,连结CP、CQ,若CP=CQ=5,求PQ的长.
(3)连接OE,直接写出线段OE的最小值.
7.(问题探索)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E分别在AC、BC边上,DC=EC,连接DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN.探索BE与MN的数量关系。
聪明的小华推理发现PM与PN的关系为__________________________________, 最后推理得到BE与MN的数量关系为__________________________.
(深入探究)将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置,判断
(1)中的BE与MN的数量关系是否仍然成立,如果成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
(解决问题)若CB=8,CE=2,在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中,当B、E、D三点在一条直线上时,求MN的长度.
8.问题提出
(1)如图1,将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC于点E,线段PB和线段PE相等吗?
请证明;
问题探究
(2)如图2,移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
问题解决
(3)继续移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
9.如图所示,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作,垂足分别为点D、点E,连接DE.求证:
.
10.在直角三角形ABC中,,分别以AB、AC为边在外侧作等边和等边,DE交AB于点F,求证:
.
11.如图1所示,已知点在上,和都是等腰直角三角形,点为的中点.
(1)求证:
为等腰直角三角形;
(2)将绕点逆时针旋转,如图2所示,
(1)中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立?
请说明理由;
(3)将绕点逆时针旋转一定的角度,如图3所示,
(1)中的“为等腰直角三角形”成立吗?
请说明理由.
12.如图,在四边形中,,,,,分别是、上的点,且,,,则______.
13.如图所示,分别是以AB、AC为边的等边三角形,连接CD、BE,它们相交于点O,再连接OA.求证:
OA是的角平分线.
14.已知等边三角形,为外一点,,.射线与直线相交于点,射线与直线相交于点,
(1)当点、在边、上,且时,直接写出、、之间的数量关系.
(2)当点、在边、上,且时,猜想①中的结论还成立吗?
若成立,请证明.
(3)当点、在边、的延长线上时,请画出图形,并写出、、之间的数量关系.
参考答案
1.
(1)(-9,0);
(2)当0<t≤8时,S=×(8-t)×6=-3t+24;当t>8时,S=×(t-8)×6=3t-24;(3)t=10秒或11秒或17秒时,△PQR是等腰直角三角形.
【解析】
【分析】
(1)根据三角形面积公式求出AD即可.
(2)分两种情形①当0<t≤8时,②当t>8时,求出△PAC面积即可.
(3)分三种情形①如图1中,当∠QPR=90°,PQ=PR时,作RH⊥OP于H,②如图2中,当∠PQR=90°,QR=PQ时,③如图3中,当∠QRP=90°,QR=PR,利用全等三角形的性质列出方程即可解决.
【详解】
解:
(1)∵A(6,0),B(0,4),△ABD的面积是30,
∴•AD•BO=30,
∴•AD•4=30,
∴AD=15,
∴OD=9,
∴点D坐标为(-9,0).
(2)∵点B(0,4)关于x轴的对称点为C点,
∴点C坐标(0,-4),
∴当0<t≤8时,S=×(8-t)×6=-3t+24,
当t>8时,S=×(t-8)×6=3t-24.
(3)①如图1中,
图1
当∠QPR=90°,PQ=PR时,作RH⊥OP于H,
∵∠QPO+∠RPH=90°,∠QPO+∠PQO=90°,
∴∠PQO=∠RPH,
在△PQO和△RPH中,
∴△PQO≌RPH,
∴RH=PO,
∵四边形AOHR是矩形,
∴RH=AO=6,
∴OP=6,
∴t-4=6,
∴t=10.
②如图2中,
图2
当∠PQR=90°,QR=PQ时,
∵∠RQA+∠OQP=90°,∠OQP+∠OPQ=90°,
∴∠RQA=∠OPQ,
在△ARQ和△OQP中,
∴△ARQ≌△OQP,
∴OP=AQ,
∴t-4=2t-15,
∴t=11.
③如图3中,
图3
当∠QRP=90°,QR=PR,
∵∠RQA+∠PRH=90°,∠PRH+∠RPH=90°,
∴∠QRA=∠RPH,
在△AQR和△HRP中,
∠QRA=∠RPH
∠QAR=∠RHP
QR=PR
∴△AQR≌△HRP,
∴AQ=RH,AR=PH=AO=6,
∴OP=AH=RH-AR=AQ-AR=AQ-6
∴t-4=2t-15-6,
∴t=17.
综上所述t=10秒或11秒或17秒时,△PQR是等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确画出图形,利用全等三角形性质解决问题,学会分类讨论,用方程的思想去思考问题,属于中考压轴题.
2.
(1)AE=EF;
(2)成立,证明见详解;(3)成立,画图、证明见详解.
【解析】
【分析】
(1)证△AGE≌△EBF即可;
(2)在AC上截取点G使AG=EB,再证△AGE≌△EBF即可;
(3)在AC延长线上截取点G使AG=EB,再证△AGE≌△EBF即可.
【详解】
证明:
(1)∵AB=AC,∠C=90°,G、E分别是AC、BC的中点
∴AG=BE,CG=CE,∠CAB=∠CBA=45°,∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB+∠ABF=135°
∠AGE=180°-∠CGE=135°
∴∠EBF=∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC+∠FEB=90°
∵∠CAE+∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
(2)成立;在AC上截取点G使AG=EB,
∵AB=AC,∠C=90°AG=BE
∴CG=CE,∠CAB=∠CBA=45°,∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB+∠ABF=135°
∠AGE=180°-∠CGE=135°
∴∠EBF=∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC+∠FEB=90°
∵∠CAE+∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
(3)成立,如下图:
在AC延长线上截取点G使AG=EB
∵AB=AC,∠C=90°AG=BE
∴CG=CE,∠CAB=∠CBA=45°,∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=90°-∠CBA=45°
∴∠CGE=∠EBF
∵AE⊥EF
∴∠AEC+∠FEB=90°
∵∠CAE+∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定,读懂材料构造全等三角形是解决此题的关键.
3.
(1)证明见详解;
(2)2;(3)式子值不变,理由见详解.
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的信息可以得到AQ=AP,∠QEA与∠ABP之间的关系,∠QAE与∠APB之间的关系,从而可以解答本题;
(2)由第一问中的两个三角形全等,可以得到各边之间的关系,然后根据题目中的信息找到PC与MB的关系,从而可以解答本题;
(3)作合适的辅助线,构造直角三角形,通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系,从而可以解答本题.
【详解】
(1)证明:
∵△ACB为等腰三角形,∠ABC=90°,点P在线段BC上(不与B,C重合),以AP为腰长作等腰直角△PAQ,QE⊥AB于E.
∴AP=AQ,∠ABQ=∠QEA=90°,∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°,
∴∠QAE=∠APB,
在△PAB和△AQE中,
∴△PAB≌△AQE(AAS);
(2)∵△PAB≌△AQE,
∴AE=PB,
∵AB=CB,
∴QE=CB.
在△QEM和△CBM中,
∴△QEM≌△CBM(AAS),
∴ME=MB,
∵AB=CB,AE=PB,PC=2PB,
∴BE=PC,
∵PC=2PB,
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