版高中数学第一章计数原理11分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时两个计数原理学案新人教A版选Word下载.docx
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=1表示焦点位于x轴上的椭圆的有( )
A.6个B.8个
C.12个D.16个
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 A
解析 因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>
n.当m=4时,n=1,2,3;
当m=3时,n=1,2;
当m=2时,n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6(个).
反思与感悟
(1)应用分类加法计数原理时,完成这件事的n类方法是互不干扰的,无论哪种方案中的哪种方法,都可以独立完成这件事.
(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路
跟踪训练1 满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )
A.14B.13C.12D.10
答案 B
解析 由已知得ab≤1.
若a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能;
若a=0时,b=-1,0,1,2,有4种可能;
若a=1时,b=-1,0,1,有3种可能;
若a=2时,b=-1,0,有2种可能.
∴共有(a,b)的个数为4+4+3+2=13.
类型二 分步乘法计数原理
例2 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?
(各位上的数字允许重复)
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:
第一步,有10种拨号方式,所以m1=10;
第二步,有10种拨号方式,所以m2=10;
第三步,有10种拨号方式,所以m3=10;
第四步,有10种拨号方式,所以m4=10.
根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×
10×
10=10000(个)四位数的号码.
引申探究
若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?
第一步,有10种拨号方式,即m1=10;
第二步,去掉第一步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9;
第三步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8;
第四步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.
9×
8×
7=5040(个)四位数的号码.
反思与感悟
(1)应用分步乘法计数原理时,完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可.
(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路
①分步:
将完成这件事的过程分成若干步;
②计数:
求出每一步中的方法数;
③结论:
将每一步中的方法数相乘得最终结果.
跟踪训练2 从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共______个,其中不同的偶函数共________个.(用数字作答)
答案 18 6
解析 一个二次函数对应着a,b,c(a≠0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数3×
3×
2=18(个).
若二次函数为偶函数,则b=0.a的取法有3种,c的取法有2种,则由分步乘法计数原理知,共有不同的偶函数3×
2=6(个).
类型三 辨析两个计数原理
例3 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解
(1)分为三类:
从国画中选,有5种不同的选法;
从油画中选,有2种不同的选法;
从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14(种)不同的选法.
(2)分为三步:
国画、油画、水彩画各有5种,2种,7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×
2×
7=70(种)不同的选法.
(3)分为三类:
第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×
2=10(种)不同的选法;
第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×
7=35(种)不同的选法;
第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×
7=14(种)不同的选法.
所以共有10+35+14=59(种)不同的选法.
反思与感悟
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.
(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.
(3)混合问题一般是先分类再分步.
跟踪训练3 在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋,现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法?
解 选参加象棋比赛的学生有两种方法,在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选;
选参加围棋比赛的学生也有两种选法;
在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选.互相搭配,可得四类不同的选法.
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×
2=6(种)选法;
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×
从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×
2=4(种)选法;
2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法.
所以共有6+6+4+2=18(种)选法.所以共有18种不同的选法.
1.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A.1+1+1=3B.3+4+2=9
C.3×
4×
2=24D.以上都不对
解析 分三类:
第一类,乘汽车,从3次中选1次有3种走法;
第二类,乘火车,从4次中选1次有4种走法;
第三类乘轮船,从2次中选1次有2种走法,所以共有3+4+2=9(种)不同的走法.
2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )
A.7B.12C.64D.81
解析 要完成配套,分两步:
第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;
第2步,选长裤,从3条长裤中任选一条,有3种不同的选法.故共有4×
3=12(种)不同的配法.
3.若x,y∈N*,且x+y≤5,则有序自然数对(x,y)的个数为( )
A.6B.8C.9D.10
答案 D
解析 当x=1时,y=1,2,3,4,共构成4个有序自然数对;
当x=2时,y=1,2,3,共构成3个有序自然数对;
当x=3时,y=1,2,共构成2个有序自然数对;
当x=4时,y=1,共构成1个有序自然数对.
根据分类加法计数原理,共有N=4+3+2+1=10(个)有序自然数对.
4.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种.(用数字作答)
答案 9
解析 分为两类:
两名老队员、一名新队员时,有3种选法;
两名新队员、一名老队员时,有2×
3=6(种)选法,即共有9种不同选法.
5.某校高中三年级一班有优秀团员8人,二班有优秀团员10人,三班有优秀团员6人,学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.
(1)推选1人为总负责人,有多少种不同的选法?
(2)每班选1人为小组长,有多少种不同的选法?
(3)从他们中选出2个人管理生活,要求这2个人不同班,有多少种不同的选法?
解
(1)分三类,第一类是从一班的8名优秀团员中产生,有8种不同的选法;
第二类是从二班的10名优秀团员中产生,有10种不同的选法;
第三类是从三班的6名优秀团员中产生,有6种不同的选法.由分类加法计数原理可得,共有N=8+10+6=24(种)不同的选法.
(2)分三步,第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长,有8种不同的选法,第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长,有10种不同的选法.第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长,有6种不同的选法.由分步乘法计数原理可得,共有N=8×
6=480(种)不同的选法.
(3)分三类:
每一类又分两步,第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人,有8×
10种不同的选法;
第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人,有10×
6种不同的选法;
第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人,有8×
6种不同的选法.因此,共有N=8×
10+10×
6+8×
6=188(种)不同的选法.
1.使用两个原理解题的本质
―→
2.利用两个计数原理解决实际问题的常用方法
一、选择题
1.图书馆的书架有3层,第1层有3本不同的数学书,第2层有5本不同的语文书,第3层有8本不同的英语书,现从中任取1本书,不同的取法共有( )
A.120种B.16种C.64种D.39种
解析 由于书架上有3+5+8=16(本)书,则从中任取1本书,共有16种不同的取法.
2.已知a∈{3,4,6},b∈{1,2},r∈{1,4,9,16},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示的不同圆的个数是( )
A.6B.9C.16D.24
解析 确定一个圆的方程可分为三个步骤:
第一步,确定a,有3种选法;
第二步,确定b,有2种选法;
第三步,确定r,有4种选法.由分步乘法计数原理得,不同圆的个数为3×
4=24.
3.从集合{1,2,3,…,8}中任意选出3个不同的数,使这3个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )
A.3B.4C.6D.8
解析 以1为首项的等比数列为1,2,4;
以2为首项的等比数列为2,4,8.把这两个数列的顺序颠倒,又得到2个数列,∴所求数列为4个.
4.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )
A.56B.65
C.
D.6×
5×
2
解析 每位同学都有5种选择,共有5×
5=56(种).
5.如果x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<
7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是( )
A.5B.12C.15D.4
答案 C
解析 当x=1时,y的取值范围可能为0,1,2,3,4,5,有6种情况;
当x=2时,y的取值可能为0,1,2,3,4,有5种情况;
当x=3时,y的取值范围可能为0,1,2,3,有4种情况;
根据分类加法计数原理可得,满足条件的(x,y)的个数为6+5+4=15.
6.定义集合A与B的运算A*B如下:
A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则集合A*B的元素个数为( )
A.34B.43
C.12D.以下都不对
解析 由分步乘法计数原理可知,A*B中共有3×
4=12(个)元素.
7.从甲地到乙地有2种走法,从乙地到丙地有4种走法,从甲地不经过乙地到丙地有3种走法,则从甲地到丙地的不同走法种数为( )
A.2+4+3B.2×
4+3
C.2×
3+4D.2×
3
解析 分两类,一是从甲地经乙地到丙地,有2×
4种,二是直接从甲地到丙地,有3种,所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×
4+3.
8.已知集合M∈{1,-2,3},N∈{-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A.18B.17C.16D.14
解析 分两类.
第一类:
M中的元素作横坐标,N中的元素作纵坐标,则在第一、二象限内的点有3×
2=6(个);
第二类:
N中的元素作横坐标,M中的元素作纵坐标,则在第一、二象限内的点有4×
2=8(个).
由分类加法计数原理可知,共有6+8=14(个)点在第一、二象限.
二、填空题
9.一个礼堂有4个门,若从任一个门进,从任一门出,共有不同走法________种.
答案 16
解析 由分步乘法计数原理得4×
4=16.
10.若在如图1的电路中,只合上一个开关可以接通电路,有________种不同的方法;
在如图2的电路中,合上两个开关可以接通电路,有________种不同的方法.
答案 5 6
解析 对于图1,按要求接通电路,只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可,故有2+3=5(种)不同的方法.
对于图2,按要求接通电路必须分两步进行:
第一步,合上A中的一个开关;
第二步,合上B中的一个开关,
故有2×
3=6(种)不同的方法.
11.直线方程Ax+By=0,若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示________条不同的直线.
答案 22
解析 若A或B中有一个为零时,有2条;
当AB≠0时有5×
4=20(条),故共有20+2=22(条)不同的直线.
12.某运动会上,8名男运动员参加100米决赛,其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.
答案 2880
解析 分两步安排这8名运动员.
第一步,安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排,所以共有4×
2=24(种)方法;
第二步,安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,共有5×
1=120(种).
所以安排这8人的方式共有24×
120=2880(种).
三、解答题
13.现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一个为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
解
(1)分四类:
第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;
第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;
第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;
第四类,从四班学生中选1人,有10种选法,所以共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).
(2)分四步:
第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.所以共有不同的选法N=7×
10=5040(种).
(3)分六类,每类又分两步:
从一、二班学生中各选1人,有7×
8种不同的选法;
从一、三班学生中各选1人,有7×
9种不同的选法;
从一、四班学生中各选1人,有7×
10种不同的选法,从二、三班学生中各选1人,有8×
从二、四班学生中各选1人,有8×
从三、四班学生中各选1人,有9×
10种不同的选法.
所以,共有不同的选法N=7×
8+7×
9+7×
10+8×
9+8×
10+9×
10=431(种).
四、探究与拓展
14.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,求由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数.
解 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×
6=36(个),另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×
2=12(个),所以共有36+12=48(个).
15.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从A,B中各取1个元素,作为点P(x,y)的坐标.
(1)可以得到多少个不同的点?
(2)这些点中,位于第一象限的有几个?
解
(1)可分为两类:
A中元素为x,B中元素为y或A中元素为y,B中元素为x,则共得到3×
4+4×
3=24(个)不同的点.
(2)第一象限内的点,即x,y均为正数,所以只能取A,B中的正数,共有2×
2+2×
2=8(个)不同的点.
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