中考冲刺方案设计与决策型问题知识讲解提高.docx
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中考冲刺方案设计与决策型问题知识讲解提高
中考冲刺:
方案设计与决策型问题—知识讲解(提高)
【中考展望】
方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要.如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点,题目多以解答题为主.
方案设计与决策型问题是近几年的热点试题,主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题.题型主要包括:
1.根据实际问题拼接或分割图形;
2.利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等.
方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境,要求解题者利用所学的数学知识解决问题,这类问题既考查动手操作的实践能力,又培养创新品质,应该引起高度重视.
【方法点拨】
解答决策型问题的一般思路,是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣,从中寻找到适合题意的最佳方案.
解题策略:
建立数学模型,如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等,依据所建的数学模型求解,从而设计方案,科学决策.
【典型例题】
类型一、利用方程(组)进行方案设计
1.国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议,会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区.现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地,用大、小两种货车共18辆,恰好能一次性运完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆,运往甲、乙两地的运费如表:
运往地
车型
甲地(元/辆)
乙地(元/辆)
大货车
720
800
小货车
500
650
(1)求这两种货车各多少辆?
(2)如果安排9辆货车前往甲地,其余货车前往乙地,设前往甲地的大货车为a辆,前往甲、乙两地的总运费为w元,求出w与a的函数关系式(写出自变量的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,若运往甲地的物资不少于120吨,请你设计出使总运费最少的货车调配方案,并求出最少总运费.
【思路点拨】
(1)设大货车用x辆,则小货车用18-x辆,根据运输228吨物资,列方程求解;
(2)设前往甲地的大货车为a辆,则前往乙地的大货车为(8-a)辆,前往甲地的小货车为(9-a)辆,前往乙地的小货车为[10-(9-a)]辆,根据表格所给运费,求出w与a的函数关系式;
(3)结合已知条件,求a的取值范围,由
(2)的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.
【答案与解析】
解:
(1)设大货车用x辆,小货车用y辆,根据题意得,
解得
答:
大货车用8辆,小货车用10辆.
(2)根据题意,得w=720a+800(8-a)+500(9-a)+650[10-(9-a)]
=70a+11550,
∴w=70a+11550(0≤a≤8且为整数).
(3)16a+10(9-a)≥120,解得a≥5,又∵0≤a≤8,∴5≤a≤8且为整数,
而w=70a+11550,k=70>0,w随a的增大而增大,
∴当a=5时,w最小,最小值为W=70×5+11550=11900(元)
答:
使总运费最少的调配方案是:
5辆大货车,4辆小货车前往甲地;3辆大货车,6辆小货车前往乙地.最少运费为11900元.
【总结升华】
这是一道典型的三个“一次”携手结伴的中考试题,把一元一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数有机地结合起来,和谐搭配,形成知识系统化、习题系列化,可谓“一石三鸟”.
类型二、利用不等式(组)进行方案设计
2.为美化市容,园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A,B两种园艺造型共50个,摆放在文庙广场,搭配每个造型所需花卉情况如表,解答问题:
造型
甲
乙
A
90盆
30盆
B
40盆
100盆
(1)符合题意的搭配方案有哪几种?
(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元,搭配一个B种造型的成本为1200元,试说明选用哪种方案成本最低?
【思路点拨】
(1)设需要搭配x个A种造型,则需要搭配B种造型(50﹣x)个,根据题意列不等式组求解,取整数值即可;
(2)通过计算比较得出那种方案成本最低.
【答案与解析】
解:
(1)设需要搭配x个A种造型,则需要搭配B种造型(50﹣x)个,
则有,
解得:
30≤x≤32,
所以x=30或31或32.
第一方案:
A种造型32个,B种造型18个;
第二种方案:
A种造型31个,B种造型19个;
第三种方案:
A种造型30个,B种造型20个.
(2)分别计算三种方案的成本为:
32×1000+18×1200=53600,
31×1000+19×1200=53800,
30×1000+20×1200=54000,
通过比较可知第一种方案成本最低.
【总结升华】
此题考查一元一次不等式组的实际运用,找出题目蕴含的不等关系是解决问题的关键.
举一反三:
【变式】荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售,经与春晨运输公司协商,计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆,用这6辆汽车一次将货物全部运走,其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨,每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨.已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元;租用2辆甲型汽车和l辆乙型汽车共需费用2450元.且同一种型号汽车每辆租车费用相同.
(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?
(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元.通过计算求出该公司有几种租车方案?
请你设计出来,并求出最低的租车费用.
【答案】
(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元,租用一辆乙型汽车的费用是y元.
由题意得解得
答:
租用一辆甲型汽车的费用是800元,租用一辆乙型汽车的费用是850元.
(2)设租用甲型汽车z辆,则租用乙型汽车(6-z)辆.
由题意得
解得2≤x≤4.
由题意知,z为整数,∴z=2或z=3或z=4.
∴共有3种方案,分别是:
方案一:
租用甲型汽车2辆,租用乙型汽车4辆;方案二:
租用甲型汽车3辆,租用乙型汽车3辆;方案三:
租用甲型汽车4辆,租用乙型汽车2辆.
方案一的费用是800×2+850×4=5000(元);
方案二的费用是800×3+850×3=4950(元);
方案三的费用是800×4+850×2=4900(元).
5000>4950>4900,所以最低运费是4900元.
答:
共有3种方案,分别是:
方案一:
租用甲型汽车2辆,租用乙型汽车4辆;
方案二:
租用甲型汽车3辆,租用乙型汽车3辆;
方案三:
租用甲型汽车4辆,租用乙型汽车2辆.
最低运费是4900元.
类型三、利用方程(组)、不等式(组)综合知识进行方案设计
3.为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要950元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要800元.
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第
(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?
最大利润是多少元?
【思路点拨】
这是一道融三个“一次”为一体的综合性应用题,体现了任何数学知识不是片面、孤立存在的,而是相互依赖、相互联系和相互作用的数学意识.
【答案与解析】
解:
(1)设该商店购进一件A种纪念品需要a元,购进一件B种纪念品需要b元.
根据题意得方程组解方程组,得
∴购进一件A种纪念品需要100元,购进一件B种纪念品需要50元.
(2)设该商店购进A种纪念品x件,则购进B种纪念品有(100—x)件.
∴解得50≤x≤53.
∵x为正整数,∴x可取50,51,52,53.∴共有4种进货方案.
(3)设所获利润为y元,根据题意,有y=20x+30(100-x)=-10x+3000.
∵-10<0,∴y随x的增大而减小,∴x=50时,y最大值=-50×10+3000=2500(元).
∴当购进A种纪念品50件,B种纪念品50件时,可获最大利润,最大利润是2500元.
【总结升华】
只要我们弄清了三个“一次”之间的内在联系,构建其模型,把握题型规律,梳理相关信息,就会轻松、有效地解决这类问题.
举一反三:
【变式】为了解决农民工子女就近入学问题,我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模.学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑,要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20∶1,购买电脑的资金不低于16000元,但不超过24000元.已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元,用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进).
(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元?
(2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案.
【答案】
解:
(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元,
则,解得.
答:
一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元,200元.
(2)设购买办公桌椅m套,则购买课桌凳20m套,由题意有
16000≤80000-120×20m-200×m≤24000,
解得,21≤m≤24,
∵m为整数,
∴m=22、23、24,有三种购买方案,具体方案如下表:
方案一
方案二
方案三
课桌凳(套)
440
460
480
办公桌椅(套)
22
23
24
类型四、利用函数知识进行方案设计
4.某花店准备购进甲、乙两种花卉,若购进甲种花卉20盆,乙种花卉50盆,需要720元;若购进甲种花卉40盆,乙种花卉30盆,需要880元.
(1)求购进甲、乙两种花卉,每盆各需多少元?
(2)该花店销售甲种花卉每盆可获利6元,销售乙种花卉每盆可获利1元,现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉,设购进甲种花卉x盆,全部销售后获得的利润为W元,求W与x之间的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,考虑到顾客需求,要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍,且不超过甲种花卉数量的8倍,那么该花店共有几种购进方案?
在所有的购进方案中,哪种方案获利最大?
最大利润是多少元?
【思路点拨】
(1)根据题意可以列出相应的二元一次方程组,从而可以求得购进甲、乙两种花卉,每盆各需多少元;
(2)根据题意可以写出W与x的函数关系式;
(3)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以得到有几种购进方案,哪种方案获利最大,最大利润是多少.
【答案与解析】
解:
(1)设购进甲种花卉每盆x元,乙种花卉每盆y元,
,解得,,
即购进甲种花卉每盆16元,乙种花卉每盆8元;
(2)由题意可得,
W=6x+,
化简,得W=4x+100,
即W与x之间的函数关系式是:
W=4x+100;
(3),
解得,10≤x≤12.5,
故有三种购买方案,
由W=4x+100可知,W随x的增大而增大,
故当x=12时,,
即购买甲种花卉12盆,乙种花卉76盆时,获得最大利润,此时W=4×12+100=148,
即该花店共有三种购进方案,在所有的购进方案中,购买甲种花卉12盆,乙种花卉76盆时,获利最大,最大利润是148元.
【总结升华】
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用,解题的关键是明确题意、列出相应的方程组或不等式组.
类型五、利用几何知识进行方案设计
5.某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所饮水站,由供水站直接铺设管道到另外两处.
如图所示,甲、乙两村坐落在夹角为30
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