高三理科数学复习教案三角函数总复习教学案Word格式文档下载.docx
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运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系,考查考生的数学应用意识,体现以能力立意的高考命题原则.
知识网络
5.1任意角的三角函数的概念
典例精析
题型一象限角与终边相同的角
【例1】若是第二象限角,试分别确定2、的终边所在的象限.
【解析】因为是第二象限角,
所以k360+90
因为2k360+18022k360+360(kZ),故2是第三或第四象限角,或角的终边在y轴的负半轴上.
因为k180+452
当k=2n(nZ)时,n360+452
当k=2n+1(nZ)时,n360+2252
所以2是第一或第三象限角.
【点拨】已知角所在象限,应熟练地确定2所在象限.
如果用1、2、3、4分别表示第一、二、三、四象限角,则12、22、32、42分布如图,即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略),熟记右图,解有关问题就方便多了.
【变式训练1】若角2的终边在x轴上方,那么角是()
A.第一象限角B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角
【解析】由题意2k22k,kZ,
得k
当k是奇数时,是第三象限角.
当k是偶数时,是第一象限角.故选C.
题型二弧长公式,面积公式的应用
【例2】已知一扇形的中心角是,所在圆的半径是R.
(1)若=60,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;
(2)若扇形的周长是一定值C(C0),当为多少弧度时,该扇形的面积有最大值?
并求出这个最大值.
【解析】
(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,
因为=603,R=10cm,所以l=103cm,
S弓=S扇-S=1210103-12102sin60=50(3-32)cm2.
(2)因为C=2R+l=2R+R,所以R=C2+,
S扇=12R2=12(C2+)2=C222+4+4=C221+4+4C216,
当且仅当=4时,即=2(=-2舍去)时,扇形的面积有最大值为C216.
【点拨】用弧长公式l=||R与扇形面积公式S=12lR=12R2||时,的单位必须是弧度.
【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S,当圆心角为多少弧度时,该扇形的周长C有最小值?
并求出最小值.
【解析】因为S=12Rl,所以Rl=2S,
所以周长C=l+2R22Rl=24S=4S,
当且仅当l=2R时,C=4S,
所以当=lR=2时,周长C有最小值4S.
题型三三角函数的定义,三角函数线的应用
【例3】
(1)已知角的终边与函数y=2x的图象重合,求sin
(2)求满足sinx32的角x的集合.
(1)由交点为(-55,-255)或(55,255),
所以sin=255.
(2)①找终边:
在y轴正半轴上找出点(0,32),过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点,连接OP1、OP2,则为角x的终边,并写出对应的角.
②画区域:
画出角x的终边所在位置的阴影部分.
③写集合:
所求角x的集合是{x|2k32k3,kZ}.
【点拨】三角函数是用角的终边与单位圆交点的坐标来定义的,因此,用定义求值,转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.
【变式训练3】函数y=lgsinx+cosx-12的定义域为.
所以函数的定义域为{x|2k
总结提高
1.确定一个角的象限位置,不仅要看角的三角函数值的符号,还要考虑它的函数值的大小.
2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致,防止出现诸如k3603的错误书写.
3.三角函数线具有较好的几何直观性,是研究和理解三角函数的一把钥匙.
5.2同角三角函数的关系、诱导公式
题型一三角函数式的化简问题
【点拨】运用诱导公式的关键是符号,前提是将视为锐角后,再判断所求角的象限.
【变式训练1】已知f(x)=1-x,4,),则f(sin2)+f(-sin2)=.
【解析】f(sin2)+f(-sin2)=1-sin2+1+sin2=(sin-cos)2+(sin+cos)2=|sin-cos|+|sin+cos|.
因为4,),所以sin-cos0,sin+cos0.
所以|sin-cos|+|sin+cos|=sin-cos-sin-cos=-2cos.
题型二三角函数式的求值问题
【例2】已知向量a=(sin,cos-2sin),b=(1,2).
(1)若a∥b,求tan的值;
(2)若|a|=|b|,0,求的值.
(1)因为a∥b,所以2sin=cos-2sin,
于是4sin=cos,故tan=14.
(2)由|a|=|b|知,sin2+(cos-2sin)2=5,
所以1-2sin2+4sin2=5.
从而-2sin2+2(1-cos2)=4,即sin2+cos2=-1,
于是sin(24)=-22.
又由0知,244,
所以24=54或24=74.
因此2或=34.
【变式训练2】已知tan=12,则2sincos+cos2等于()
A.45B.85C.65D.2
【解析】原式=2sincos+cos2sin2+cos2=2tan+11+tan2=85.故选B.
题型三三角函数式的简单应用问题
【例3】已知-2
(1)sinx-cosx的值;
(2)sin3(2-x)+cos3(2+x)的值.
(1)由已知得2sinxcosx=-2425,且sinx0
所以sinx-cosx=-(sinx-cosx)2=-1-2sinxcosx=-1+2425=-75.
(2)sin3(2-x)+cos3(2+x)=cos3x-sin3x=(cosx-sinx)(cos2x+cosxsinx+sin2x)
=75(1-1225)=91125.
【点拨】求形如sinxcosx的值,一般先平方后利用基本关系式,再求sinxcosx取值符号.
【变式训练3】化简1-cos4-sin41-cos6-sin6.
【解析】原式=1-[(cos2+sin2)2-2sin2cos2]1-[(cos2+sin2)(cos4+sin4-sin2cos2)]
=2sin2cos21-[(cos2+sin2)2-3sin2cos2]=23.
1.对于同角三角函数基本关系式中同角的含义,只要是同一个角,那么基本关系式就成立,如:
sin2(-2)+cos2(-2)=1是恒成立的.
2.诱导公式的重要作用在于:
它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系,从而可化负为正,化复杂为简单.
5.3两角和与差、二倍角的三角函数
题型一三角函数式的化简
【例1】化简(0).
【解析】因为0,所以022,
所以原式=
==-cos.
【点拨】先从角度统一入手,将化成2,然后再观察结构特征,如此题中sin22-cos22=-cos.
【变式训练1】化简2cos4x-2cos2x+122tan(4-x)sin2(4+x).
【解析】原式=12(2cos2x-1)22tan(4-x)cos2(4-x)=cos22x4cos(4-x)sin(4-x)=cos22x2sin(2-2x)=12cos2x.
题型二三角函数式的求值
【例2】已知sinx2-2cosx2=0.
(1)求tanx的值;
(2)求cos2x2cos(4+x)sinx的值.
(1)由sinx2-2cosx2=0tanx2=2,所以tanx==221-22=-43.
(2)原式=cos2x-sin2x2(22cosx-22sinx)sinx
=(cosx-sinx)(cosx+sinx)(cosx-sinx)sinx=cosx+sinxsinx=1tanx+1=(-34)+1=14.
【变式训练2】2cos5-sin25sin65=.
【解析】原式=2cos(30-25)-sin25cos25=3cos25cos25=3.
题型三已知三角函数值求解
【例3】已知tan(-)=12,tan=-17,且,(0,),求2-的值.
【解析】因为tan2(-)=2tan(-)1-tan2(-)=43,
所以tan(2-)=tan[2(-)+]=tan2(-)+tan1-tan2(-)tan=1,
又tan=tan[(-)+]=tan(-)+tan1-tan(-)tan=13,
因为(0,),所以04,
又,所以-2-0,所以2-=-34.
【点拨】由三角函数值求角时,要注意角度范围,有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.
【变式训练3】若与是两锐角,且sin(+)=2sin,则与的大小关系是()
A.=B.
C.D.以上都有可能
【解析】方法一:
因为2sin=sin(+1,所以sin12,又是锐角,所以30.
又当=30,=60时符合题意,故选B.
方法二:
因为2sin=sin(+)=sincos+cossin
所以sin
又因为、是锐角,所以,故选B.
1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.
(1)它能够解答三类基本题型:
求值题,化简题,证明题;
(2)对公式会正用、逆用、变形使用
(3)掌握角的演变规律,如2=(+)+(-)等.
2.通过运用公式,实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化,以达到求解的目的,在运用公式时,注意公式成立的条件.
5.4三角恒等变换
题型一三角函数的求值
【例1】已知04,04,3sin=sin(2+),4tan2=1-tan22,求+的值.
【解析】由4tan2=1-tan22,得tan==12.
由3sin=sin(2+)得3sin[(+)-]=sin[(+)+],
所以3sin(+)cos-3cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin,
即2sin(+)cos=4cos(+)sin,所以tan(+)=2tan=1.
又因为、(0,4),所以+4.
【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.
【变式训练1】如果tan(+)=35,tan(4)=14,那么tan(4)等于()
A.1318B.1322C.723D.318
【解析】因为4=(+)-(4),
所以tan(4)=tan[(+)-(4)]=tan(+)-tan(4)1+tan(+)tan(4)=723.
故选C.
题型二等式的证明
【例2】求证:
sinsin=sin(2+)sin-2cos(+).
【证明】证法一:
右边=sin[(+)+]-2cos(+)sinsin=sin(+)cos-cos(+)sinsin
=sin[(+)-]sin=sinsin=左边.
证法二:
sin(2+)sin-sinsin=sin(2+)-sinsin=2cos(+)sinsin=2cos(+),
所以sin(2+)sin-2cos(+)=sinsin.
【点拨】证法一将2+写成(+)+,使右端的角形式上一致,易于共同运算;
证法二把握结构特征,用变更问题法证明,简捷而新颖.
【变式训练2】已知5sin=3sin(-2),求证:
tan(-)+4tan=0.
【证明】因为5sin=3sin(-2),所以5sin[(-)+]=3sin[(-)-],
所以5sin(-)cos+5cos(-)sin=3sin(-)cos-3cos(-)sin,
所以2sin(-)cos+8cos(-)sin=0.
即tan(-)+4tan=0.
题型三三角恒等变换的应用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求证:
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;
(2)若AB且tanA=-2tanB,求证:
tanC=sin2B3-cos2B;
(3)在
(2)的条件下,求tanC的最大值.
(1)因为C=-(A+B),
所以tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)1-tanAtanB,
所以tanC-tanAtanBtanC=-tanA-tanB,
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
(2)由
(1)知tanC=-(tanA+tanB)1-tanAtanB=tanB1+2tan2B=sinBcosBcos2B+2sin2B=
=sin2B2(2-1+cos2B2)=sin2B3-cos2B.
(3)由
(2)知tanC=tanB1+2tan2B=12tanB+1tanB122=24,
当且仅当2tanB=1tanB,即tanB=22时,等号成立.
所以tanC的最大值为24.
【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题,要有较明确的目标意识.
【变式训练3】在△ABC中,tanB+tanC+3tanBtanC=3,3tanA+3tanB+1=tanAtanB,试判断△ABC的形状.
【解析】由已知得tanB+tanC=3(1-tanBtanC),
3(tanA+tanB)=-(1-tanAtanB),
即tanB+tanC1-tanBtanC=3,tanA+tanB1-tanAtanB=-33.
所以tan(B+C)=3,tan(A+B)=-33.
因为0
又A+B+C=,故A=23,B=C=6.
所以△ABC是顶角为23的等腰三角形.
三角恒等式的证明,一般考虑三个统一:
①统一角度,即化为同一个角的三角函数;
②统一名称,即化为同一种三角函数;
③统一结构形式.
5.5三角函数的图象和性质
题型一三角函数的周期性与奇偶性
【例1】已知函数f(x)=2sinx4cosx4+3cosx2.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)令g(x)=f(x+3),判断g(x)的奇偶性.
(1)f(x)=2sinx4cosx4+3cosx2=sinx2+3cosx2=2sin(x2+3),
所以f(x)的最小正周期T=2.
(2)g(x)=f(x+3)=2sin[12(x+3]=2sin(x2+2)=2cosx2.
所以g(x)为偶函数.
【点拨】解决三角函数的有关性质问题,常常要化简三角函数.
【变式训练1】函数y=sin2x+sinxcosx的最小正周期T等于()
A.2C.3
【解析】y=1-cos2x2+12sin2x=22(22sin2x-22cos2x)+12
=22sin(2x-4)+12,所以T=2.故选B.
题型二求函数的值域
【例2】求下列函数的值域:
(1)f(x)=sin2xsinx1-cosx;
(2)f(x)=2cos(3+x)+2cosx.
(1)f(x)=2sinxcosxsinx1-cosx=2cosx(1-cos2x)1-cosx=2cos2x+2cosx
=2(cosx+12)2-12,
当cosx=1时,f(x)max=4,但cosx1,所以f(x)4,
当cosx=-12时,f(x)min=-12,所以函数的值域为[-12,4).
(2)f(x)=2(cos3cosx-sin3sinx)+2cosx
=3cosx-3sinx=23cos(x+6),
所以函数的值域为[-23,23].
【点拨】求函数的值域是一个难点,分析函数式的特点,具体问题具体分析,是突破这一难点的关键.
【变式训练2】求y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.
【解析】令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=t2-12.
所以y=f(t)=t+t2-12=12(t+1)2-1.
又t=sinx+cosx=2sin(x+4),所以-22.
故y=f(t)=12(t+1)2-1(-22),
从而f(-1)f
(2),即-12+12.
所以函数的值域为[-1,2+12].
题型三三角函数的单调性
【例3】已知函数f(x)=sin(x+0,|)的部分图象如图所示.
(1)求,
(2)设g(x)=f(x)f(x-4),求函数g(x)的单调递增区间.
(1)由图可知,T=4(4)=,=2T=2.
又由f
(2)=1知,sin()=1,又f(0)=-1,所以sin=-1.
因为|,所以2.
(2)f(x)=sin(2x-2)=-cos2x.
所以g(x)=(-cos2x)[-cos(2x-2)]=cos2xsin2x=12sin4x.
所以当2k22k2,即k8k8(kZ)时g(x)单调递增.
故函数g(x)的单调增区间为[k8,k8](kZ).
【点拨】观察图象,获得T的值,然后再确定的值,体现了数形结合的思想与方法.
【变式训练3】使函数y=sin(6-2x)(x[0,])为增函数的区间是()
A.[0,3]B.[12,712]
C.[3,56]D.[5]
【解析】利用复合函数单调性同增异减的原则判定,选C.
1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.
2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的,因而特别要注意题设中所给的区间.
3.求三角函数的最小正周期时,要尽可能地化为三角函数的一般形式,要注意绝对值、定义域对周期的影响.
4.判断三角函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性.
5.6函数y=Asin(x+)的图象和性质
题型一五点法作函数图象
【例1】设函数f(x)=sinx+3cosx(0)的周期为.
(1)求它的振幅、初相;
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;
(3)说明函数f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到.
(1)f(x)=sinx+3cosx=2(12sinx+32cosx)=2sin(x+3),
又因为T=,所以2=,即=2,所以f(x)=2sin(2x+3),
所以函数f(x)=sinx+3cosx(0)的振幅为2,初相为3.
(2)列出下表,并描点画出图象如图所示.
(3)把y=sinx图象上的所有点向左平移3个单位,得到y=sin(x+3)的图象,再把
y=sin(x+3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(2x+3)的图象,然后把y=sin(2x+3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin(2x+3)的图象.
【点拨】用五点法作图,先将原函数化为y=Asin(x+0,0)形式,再令x+=0,,32,2求出相应的x值及相应的y值,就可以得到函数图象上一个周期内的五个点,用平滑的曲线连接五个点,再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.
【变式训练1】函数
的图象如图所示,则()
A.k=12,=12,6
B.k=12,=12,3
C.k=12,=2,6
D.k=-2,=12,3
【解析】本题的函数是一个分段函数,其中一个是一次函数,其图象是一条直线,由图象可判断该直线的斜率k=12.另一个函数是三角函数,三角函数解析式中的参数由三角函数的周期决定,由图象可知函数的周期为T=4(83)=4,故=12.将点(53,0)代入解析式y=2sin(12x+),得123+,kZ,所以-56,kZ.结合各选项可知,选项A正确.
题型二三角函数的单调性与值域
【例2】已知函数f(x)=sin2x+3sinxsin(x+2)+2cos2x,xR(0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6.
(1)求的值;
(2)若将函数f(x)的图象向右平移6个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
(1)f(x)=32sin2x+12cos2x+32=sin(2x+6)+32.
令2x+2,将x=6代入可得=1.
(2)由
(1)得f(x)=sin(2x+6)+32,经过题设的变化得到函数g(x)=sin(12x-6)+32,
当x=4k,kZ时,函数g(x)取得最大值52.
令2k26+32,
即[4k3,4k](kZ)为函数的单调递
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