届山东省威海市高三上学期期末考试一模文科数学试题含答案.docx
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届山东省威海市高三上学期期末考试一模文科数学试题含答案
2018-2019学年高三(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题(本题共12个小题)
1.若集合A={x|x2﹣3x+2>0},B={x||x﹣1|<2},则A∩B=( )
A.(﹣1,1)B.(2,3)
C.(﹣1,3)D.(﹣1,1)U(2,3)
2.若复数z满足z(1+2i)=4+3i,则=( )
A.2+iB.2﹣iC.1+2iD.1﹣2i
3.命题“∃x≤0,x2﹣x>0”的否定是( )
A.∀x>0,x2﹣x≤0B.∀x≤0,x2﹣x≤0
C.∃x>0,x2﹣x≤0D.∃x≤0,x2﹣x≤0
4.已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,对称轴与准线的交点为T,P为C上任意一点,若|PT|=2|PF|,则∠PTF=( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
5.如图所示函数图象经过何种变换可以得到y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
6.已知变量x,y满足不等式组,则2x﹣y的最小值为( )
A.﹣4B.﹣2C.0D.4
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.48+12B.60+12C.72+12D.84
8.已知cos(﹣α)=,α∈(,π),则sinα﹣cosα=( )
A.B.﹣C.D.﹣
9.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据(x,y)分别为(2,1.5),(3,4.5),(4,5.5),(5,6.5),由最小二乘法得到回归直线方程为=1.6x+,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为( )
A.8年B.9年C.10年D.11年
10.公比为2的等比数列{an}中存在两项am,an,满足aman=32a12,则的最小值为( )
A.B.C.D.
11.函数f(x)=2x3﹣ax2+1在(0,+∞)内有且只有一个零点,则a的值为( )
A.3B.﹣3C.2D.﹣2
12.设F1,F2分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1作圆x2+y2=b2的切线与双曲线的左支交于点P,若|PF2|=2|PF1|,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a5=﹣2,S3=a2+3a1,则a1= .
14.已知半径为R的圆周上有一定点A,在圆周上等可能地任取一点与点A连接,则所得弦长介于R与R之间的概率为 .
15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列{an},则a100= .
16.在△ABC中,∠BAC=60°,AD为∠BAC的角平分线,且=+,若AB=2,则BC= .
三、解答题:
本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,sin(A+B)=4.
(Ⅰ)求cosC;
(Ⅱ)若b=7,D是BC边上的点,且△ACD的面积为6,求sin∠ADB.
18.改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.
(Ⅰ)求a的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;
(Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:
1,完成下列2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;
(Ⅲ)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人,再从6人中随机选取2人,对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查,求至少有1人得分低于40分的概率.
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
附:
,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k)
0.010
0.005
0.001
k
6.635
7.879
10.828
19.在以ABCDEF为顶点的五面体中,底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EF∥AB,点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:
BD⊥EG;
(Ⅱ)若三棱锥VE﹣FBC=,求菱形ABCD的边长.
20.已知抛物线y2=4x的准线过椭圆C:
(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:
x=(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若|PQ|=2|AB|,求直线AB的方程.
21.设函数f(x)=ex﹣ax﹣1(a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若关于x的方程ln(ax+a+1)﹣x=1有唯一的实数解,求a的取值范围.
四、解答题(共2小题,满分10分)
22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=10cosθ.
(Ⅰ)设直线l与曲线C交于M,N两点,求|MN|;
(Ⅱ)若点P(x,y)为曲线C上任意一点,求|x+y﹣10|的取值范围.
23.已知函数f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)若存在x∈R满足不等式f(x)<4,求实数a的取值范围.
参考答案
1.选:
D.
2.
选:
B.
3.
选:
B.
4.
选:
C.
5.
选:
D.
6.
选:
B.
7.
选:
B.
8.
选:
C.
9.
选:
C.
10.
选:
D.
11.
选:
A.
12.
选:
C.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.
答案为:
﹣.
14.
答案为:
.
15.
答案为:
5252.
16.
答案为:
2
三、解答题:
本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,sin(A+B)=4.
(Ⅰ)求cosC;
(Ⅱ)若b=7,D是BC边上的点,且△ACD的面积为6,求sin∠ADB.
【分析】(I)由已知结合二倍角及诱导公式进行化简可求cosC,
(II)结合三角形的面积可求CD,然后由余弦定理可求AD,再由正弦定理及诱导公式求解
解:
(I)∵sin(A+B)=4,
∴=4×,
即+2cosC=2,
∴7cos2C﹣8cosC+1=0,
∵C∈(0,π),
∴cosC=1(舍)或cosC=,
(II)b=7,△ACD的面积为6,舍CD=m,
结合
(1)可得sinC=,
∴=6,
∴m=CD=3,
由余弦定理可得,AD2=9=52,
∴AD=2,
由正弦定理可得,,
∴sin∠ADB=sin∠ADC=
18.改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.
(Ⅰ)求a的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;
(Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:
1,完成下列2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;
(Ⅲ)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人,再从6人中随机选取2人,对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查,求至少有1人得分低于40分的概率.
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
附:
,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k)
0.010
0.005
0.001
k
6.635
7.879
10.828
【分析】(Ⅰ)根据频率和为1列方程求得a的值,计算得分在80分以上的频率即可;
(Ⅱ)根据题意填写列联表,计算K2,对照临界值得出结论;
(Ⅲ)用分层抽样法求得抽取各分数段人数,用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.
解:
(Ⅰ)根据频率和为1,得(0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004)×10=1,
解得a=0.016;
计算得分在80分以上的频率为(0.016+0.004)×10=0.20,
所以估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率为0.20;
(Ⅱ)根据题意知,安全意识强的人数有100×0.2=20,
其中男性为20×=16(人),女性为4人,
填写列联表如下;
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
16
34
50
女性
4
46
50
合计
20
80
100
计算K2==9>7.879,
所以有超过99.5%的把握认为“交通安全意识与性别有关”;
(Ⅲ)用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人,其中[30,40)内有2人,记为A、B,
[40,50)内有4人,分别记为c、d、e、f;
从这6人中随机选取2人,基本事件为:
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同取法;
则至少有1人得分低于40分的基本事件为
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种不同取法;
故所求的概率为P==.
19.在以ABCDEF为顶点的五面体中,底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EF∥AB,点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:
BD⊥EG;
(Ⅱ)若三棱锥VE﹣FBC=,求菱形ABCD的边长.
【分析】(Ⅰ)取AD中点O,连结EO、GO、AC,推导出OG⊥BD,EO⊥AD,从而EO⊥平面ABCD,进而EO⊥BD,BD⊥平面EOG,由此能证明BD⊥EG.
(Ⅱ)设菱形ABCD的边长为a,则AB=AE=ED=2EF=a,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出菱形ABCD的边长.
解:
(Ⅰ)证明:
取AD中点O,连结EO、GO、AC,
∵底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EF∥AB,
点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD.
∴OG⊥BD,EO⊥AD,∴EO⊥平面ABCD,
∵BD⊂平面ABCD,∴EO⊥BD,
∵OE∩OG=O,∴BD⊥平面EOG,
∵EG⊂平面EOG,∴BD⊥EG.
(Ⅱ)解:
设菱形ABCD的边长为a,则AB=AE=ED=2EF=a,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,
则E(0,0,),F(,,),B(0,,0),C(﹣2a,,0),
=(,,0),=(0,,﹣),=(﹣2a,,﹣),
设平面EFB的法向量=(x,y,z),
则,取x=,得=(),
∴C到平面EFB的距离d==,
cos<>===,
∴sin<>==,
S△BEF=
==.
∵三棱锥VE﹣FBC=,
∴VE﹣FBC==×a=,
解得a=.
∴菱形ABCD的边长为.
20.已知抛物线y2=4x的准线过椭圆C:
(a>b>0)的左焦点
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