五年级下册数学专项训练奥数第四讲最大公约数和最小公倍数全国版 含答案Word文档格式.docx

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要练说||，得练听。

听是说的前提||，听得准确||，才有条件正确模仿||，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中||，注意听说结合||，训练幼儿听的能力||，课堂上||，我特别重视教师的语言||，我对幼儿说话||，注意声音清楚||，高低起伏||，抑扬有致||，富有吸引力||，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听别人发言时||，就随时表扬那些静听的幼儿||，或是让他重复别人说过的内容||，抓住教育时机||，要求他们专心听||，用心记。

平时我还通过各种趣味活动||，培养幼儿边听边记||，边听边想||，边听边说的能力||，如听词对词||，听词句说意思||，听句子辩正误||，听故事讲述故事||，听谜语猜谜底||，听智力故事||，动脑筋||，出主意||，听儿歌上句||，接儿歌下句等||，这样幼儿学得生动活泼||，轻松愉快||，既训练了听的能力||，强化了记忆||，又发展了思维||，为说打下了基础。

　　证明：

设a÷

d=a1||，b÷

d=b1||，那么a＝a1d||，b=b1d。

　　假设（a1||，b1）≠1||，可设（a1||，b1）＝m（m＞1）||，于是有a1=a2m||，b1＝b2m.（a2||，b2是整数）

　　所以a=a1d＝a2md||，b＝b1d＝b2md。

　　那么md是a、b的公约数。

　　又∵m＞1||，∵md＞d。

　　这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此||，（a1||，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1||，b1）=1||，也就是（a÷

　　定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）

　　定理3两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）

　　下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例1甲数是36||，甲、乙两数的最大公约数是4||，最小公倍数是288||，求乙数.

　　解法1：

由甲数×

乙数=甲、乙两数的最大公约数×

两数的最小公倍数||，可得

　　36×

乙数=4×

288||，

　　乙数=4×

288÷

36||，

　　解出乙数=32。

　　答：

乙数是32。

　　解法2：

因为甲、乙两数的最大公约数为4||，则甲数=4×

9||，设乙数=4×

b1||，且（b1||，9）=1。

　　因为甲、乙两数的最小公倍数是288||，

　　则288＝4×

9×

b1||，

　　b1＝288÷

　　解出b1＝8。

　　所以||，乙数=4×

8=32。

例2已知两数的最大公约数是21||，最小公倍数是126||，求这两个数的和是多少？

　　解：

要求这两个数的和||，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b||，a＜b。

　　因为这两个数的最大公约数是21||，故设a=21a1||，b＝21b1||，且（a1||，b1）＝1。

　　因为这两个数的最小公倍数是126||，

　　所以126=21×

a1×

　　于是a1×

b1=6||，

　　因此||，这两个数的和为21＋126=147||，或42＋63=105。

这两个数的和为147或105。

例3已知两个自然数的和是50||，它们的最大公约数是5||，求这两个自然数。

设这两个自然数分别为a与b||，a＜b.因为这两个自然数的最大公约数是5||，故设a=5a1||，b=5b1||，且（a1||，b1）=1||，a1＜b1。

　　因为a＋b=50||，所以有5a1+5b1=50||，

　　a1+b1=10。

　　满足（a1||，b1）=1||，a1＜b1的解有：

这两个数为5与45或15与35。

例4已知两个自然数的积为240||，最小公倍数为60||，求这两个数。

设这两个数为a与b||，a＜b||，且设（a||，b）＝d||，a＝da1||，b＝db1||，其中（a1||，b1）＝1。

　　因为两个自然数的积=两数的最大公约数×

两数的最小公倍数||，

　　所以240=d×

60||，

　　解出d＝4||，

　　所以a=4a1||，b=4b1.

　　因为a与b的最小公倍数为60||，

　　所以4×

b1＝60||，

　　于是有a1×

b1＝15。

这两个数为4与60或12与20。

例5已知两个自然数的和为54||，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114||，求这两个自然数。

设这两个自然数分别为a与b||，a＜b||，（a||，b）＝d||，a＝da1||，b＝db1||，其中（a1||，b1）＝1。

　　因为a+b＝54||，所以da1+db1=54。

　　于是有d×

（a1＋b1）＝54||，因此||，d是54的约数。

　　又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114||，

　　所以da1b1-d=114||，

（a1b1-1）=114||，

　　因此||，d是114的约数。

　　故d为54与114的公约数。

　　由于（54||，114）＝6||，6的约数有：

1、2、3、6||，根据定理3||，d可能取1、2、3、6这四个值。

　　如果d＝1||，由d×

（a1+b1）＝54||，有a1＋b1=54||；

又由d×

（a1b1-1）＝114||，有a1b1=115。

　　115=1×

115=5×

23||，但是1＋115=116≠54||，5＋23=28≠54||，所以d≠1.

　　如果d＝2||，由d×

（a1＋b1）＝54||，有a1+b1=27||；

（a1b1-1）=114||，有a1b1=58。

　　58＝1×

58＝2×

29||，但是1＋58＝59≠27||，2+29＝31≠27||，所以d≠2。

　　如果d=3||，由d×

（a1＋b1）=54||，有a1+b1＝18||；

（a1b1-1）=114||，有a1b1=39。

　　39＝1×

39＝3×

13||，但是1＋39＝40≠18||，3＋13＝16≠18||，所以d≠3。

　　如果d=6||，由d×

（a1＋b1）=54||，有a1＋b1=9||；

（a1b1-1）=114||，有a1b1=20。

　　20表示成两个互质数的乘积有两种形式：

20=1×

20＝4×

5||，虽然1＋20=21≠9||，但是有4＋5＝9||，所以取d＝6是合适的||，并有a1=4||，b1＝5。

　　a＝6×

4＝24||，b＝6×

5＝30。

这两个数为24和30。

例6已知两个自然数的差为4||，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252||，求这两个自然数。

设这两个自然数分别为a与b||，且a＞b||，a＝da1||，b=db1||，（a1||，b1）＝1。

　　因为a-b=4||，所以da1-db1=4||，于是有d×

（a1-b1）=4||，因此d为4的约数。

　　因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252||，所以d×

da1b1＝252||，于是有d2×

a1b1=（2×

3）2×

7||，因此d为2×

3的约数。

　　故d为4与2×

3的公约数。

　　由于（4||，2×

3）＝2||，2的约数有1和2两个||，所以d可能取1、2这两个值。

　　如果d=1||，由d×

（a1-b1）=4||，有a1-b1=4||；

又由d2×

a1b1=252||，有a1b1=252。

　　252表示成两个互质数的乘积有4种形式：

252=1×

252=4×

63=7×

36＝9×

28||，但是252-1＝251≠4||，63-4＝59≠4||，36-7=29≠4||，28-9＝19≠4||，所以d≠1。

　　如果d=2||，由d×

（a1-b1）=4||，有a1-b1=2||；

a1b1＝252||，有a1b1=63。

　　63表示为两个互质数的乘积有两种形式：

63＝1×

9||，但63-1＝62≠2||，而9-7＝2||，且（9||，7）=1||，所以d=2||，并且a1＝9||，b1＝7。

　　因此a=2×

9＝18||，b＝2×

7＝14。

这两个数为18和14。

　　在例2～例5的解答中之所以可以在假设中排除a=b这种情形（在各例中都只假设了a＜b）||，分别是由于：

例2和例5||，若a＝b||，则（a||，b）＝[a||，b]＝a||，与条件（a||，b）≠[a||，b]矛盾||；

例3||，若a=b||，则a＝b=（a||，b）=5||，因此a＋b＝10≠50||，与条件矛盾||；

例4||，a×

b=240不是平方数。

　　从例题的解答中可以看出||，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中||，经常用到的基本关系是：

若两数为a、b||，那么a=a1d||，b＝b1d||，其中d=（a||，b）||，（a1||，b1）＝1||，因此[a||，b]＝da1b1||，有时为了确定起见||，可设a≤b.对于很多情形||，可以排除a=b的情形（如上述所示）||，而只假设a＜b.

习题四

　　1.已知某数与24的最大公约数为4||，最小公倍数为168||，求此数。

　　2.已知两个自然数的最大公约数为4||，最小公倍数为120||，求这两个数。

　　3.已知两个自然数的和为165||，它们的最大公约数为15||，求这两个数。

　　4.已知两个自然数的差为48||，它们的最小公倍数为60||，求这两个数。

　　5.已知两个自然数的差为30||，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450||，求这两个自然数。

　　6.已知两个自然数的平方和为900||，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432||，求这两个自然数.