电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答Word文档格式.docx
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II
F
4“
斗d一
题6.3图
则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为
Qphyg21TP--2二a2(;
-;
0)B0
2
Qps=2二a1匚P=ZaG-0)B0
6.3平行双线传输线与一矩形回路共面,如题6.3图所示。
设a=0∙2m、b=c=d=o.1m、i=1.0cos(2hx10t)A,求
回路中的感应电动势。
6.4
供应电压
解
有一个环形线圈,导线的长度为I,分别通过以直流电源供应电压
U(t)。
讨论这两种情况下导线内的电场强度
设导线材料的电导率为,横截面积为S,则导线的电阻为
R=丄
YS
而环形线圈的电感为L,故电压方程为
U=RiLdi
dt
diC
当U=U0时,电流i也为直流,dt
U0和时变电源
。
故
U。
=RiSJS=丄J=IE
此时导线内的切向电场为
d‰o
当U=U(t)时,dt,故
U(t)=Ri(t)L警=RE(t)SL⅛(E(t)S)
dtdt
二丄E(t)SLS^
Sdt
dE(t)IE(t)U(t)dtLS-LS
求解此微分方程就可得到E(t)O
6.5一圆柱形电容器,内导体半径为a,外导体内半径为b,长为I。
设外加电压为
UoSin「t,试计算电容器极板间的总位移电流,证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时,圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压
时的电场分布可视为相同(准静态电场),即
LU0Sin联
E=
rln(ba)
故电容器两极板间的位移电流密度为
.DU0Cost
er
.:
trln(ba)
id=Jd
S
2二;
d-:
0Xererrddz
ωU0CoS们t=CeoU0CoSeOtln(ba)
l
C=
式中,In(ba)是长为I的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为
CdUIII
IC=CCU0costdt
可见
id=IC
6.6由麦克斯韦方程组出发,导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程
'
、E=0和「D='
由D=卜得
据散度定理,上式即为
L-DdS=q
利用球对称性,得
故得点电荷的电场表示式
E=e—q—
r.2
4二;
r
由于'
E=O,可取E--I,则得
、、D-E--Ni--N2
即得泊松方程
P
6.7试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程:
(1)在直角坐标中;
(2)在圆柱
坐标中;
(3)在球坐标中。
(2)
-Z
=Jy
=JZ
iDy
2Dz
t
J^HX
Ct
汨y
=—卩一y
=μj
=JriD
eDφ
J屮Ct
1仁Hrl
一(rH)-…=JZ
r;
rr:
.:
Dz
在圆柱坐标中
解
(1)在直角坐标中
1垄一IEjiH
-(rE)r:
仁Er
CHZ
rZt
rt
_JL[亠(Sin^Hj一匕]JΞD
rSin
11:
H
E(rH)]=J-
rSInr…rft
知(7豹」耳F⅛⅛(Eej-1[
Gt
1也卞)]…斗
α
rSin^一r
1'
(r2BrΓ-「(sin汨Q」—=0
r2;
rrSin一rSinv:
1;
21;
1:
D
齐(B)乔石(Sin心亦
6.8已知在空气中EFyOHsin10TXCOS仲"
09t-Pz),求H和0。
提示:
将E代入直角坐标中的波方程,可求得:
电场E应满足波动方程
▽E」。
「E=0
将已知的
E"
eyEy代入方程,得
-222.
Ey:
EyI:
Ey
--一=0
-X:
Z:
式中
2E
-E^=-0.1(10)2Sin10二xcos(6109t-IZ)
-X
2E
TL=0.1sin10二x[∕2cos(6109t-:
z)]
Z
%;
0—√=0.1%;
sin10「:
x[—(6二109)2cos(6109t-1z)]
故得
-(10二)2-I2」O;
0(6二109)2=0
则
=二.300=54.41rad∕m
由
EjOH
0吐
得
.H
√t
丄∖E「丄[七互ez当]
丄0j0-Z:
[-ex0.1:
Sin10二XSin(6二109t--z)
9f∖
ez0.110二cos10二xcos(6二10t--z)]
将上式对时间t积分,得
H9[ex0.1:
Sin10二xcos(6二109t--z]
.-06二10
9∩
ez二cos10二XSin(6二10t—:
Z)
49
=-ex2.310Sin10二xcos(6二10t-54.41z)-ez1.3310^cos10二XSin(6二109t-54.41z)A∕m
6.9已知自由空间中球面波的电场为
E=e寸EQSinrcos(t-kr)
求H和k。
解可以和前题一样将E代入波动方程来确定k,也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。
而此磁场又要产生与之相伴的电场,同样据麦克斯韦方程求得。
将两个电场比较,即可确定k的值。
两种方法本质上是一样的。
EjOlH
1"
E
1:
e[E°
sin^cos(-kr)]
%r:
T
k
=eE0sin^Sin(t-kr)
%r
H=eE0sinvcos(,t「kr)
呱r
(1)
将式
(1)代入
CE
工丄H
■t;
=-[er
1:
0_r」0「
L、ΛL、
2(rsin^H)-e1(rsin^H)]
rSin--rSin.r
2kE0“IXk2E0Sin日.ZIJl
02COS(Bt_kr)_e^Sin^t-kr)叫一
12kE
Eer-2
=一丄iB丄IB
J2.ι
k2E
2,^^㈣一B+%^⅛s"
θc0s^^kr)
J
因此,麦克斯韦第一方程
—半J疳
=J晋
变为
7<
B=Jy^E丄门…:
B
Ct卩
ID=I(;
E)=E^-∙λE=T
故麦克斯韦第四方程
、、EE
ZZ
则在非均匀媒质中,用E和B表示的麦克斯韦方程组为
∖^UIiE丄ZB
Ctμ
B=Ij
∖E=---V;
6.11写出在空气和"
=的理想磁介质之间分界面上的边界条件。
解空气和理想导体分界面的边界条件为
nE=O
nH=JS
根据电磁对偶原理,采用以下对偶形式
ETH.HT—E.JSTJms
即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件
nH=0
n況E=-Jms
式中,JmS为表面磁流密度。
6.12提出推导nHI=JS的详细步骤。
γ-OO
abcda,ab=cd=I,bc=da=hr0
C
bC
HdlHdlH
a-b
对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得
da
dlHdlHdl
fCJd
A-
H
-
JrdS)
解如题6.12图所示,设第2区为理想导体(2--)o在分界面上取闭合路径
因为讥为有限值,故上式中忑D
IimdS=0
巾:
0S:
而
(1)式中的另一项
IhmOJJds
为闭合路径所包围的传导电流。
取N为闭合路径所围面积的单位矢量(其指向与闭合路径
的绕行方向成右手螺旋关系),则有
IimJdS=JSNI
因
故式
(1)可表示为
l=(Nn)I
(HI-H2)(Nn)l=JSNI
应用矢量运算公式A(BC)=(CA)B,式
(2)变为
[nHI-H2]N=JSN
、H=JjD=Ej‘;
E=j√;
-j-)Eω
即把海水视为等效介电常数为
Y
C=;
-j-
B的电介质。
代入给定的参数,得
10-94
E=j2二109(81Lj-9)E
36兀2兀汶10
=j(4.5-j4)E=(4j-.5)E
36二
对于铜,传导电流的幅度为E,位移电流的幅度∙∙;
E。
故位移电流与传导电流的幅度
之比为
2二f;
-7~~
=9.7510~13f
2二f—10^9
36兀
5.7107
H的微分方程
可见,即使在微波频率下,铜中的位移电流也是可以忽略不计的。
故对于铜,为
、HJE-5.7IO7E
6.15计算题6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。
解瞬时能流密度矢量为
S=EH=eyEy(eχHχqHz)=eχEyH^ezEyHχ
=exHo■∙asin(—x)cos(-x)sin(kz-t)cos(kz-t)πaa
-ezH2^-<
k(a)2Sin2(-x)Sin2(kz-t)
江a
=ex1Hq■asin(—x)cos(-x)sin2(kz-,t)
2二aa
12a22"
x
-ez—H討,k(—)2Sin2()[1-cos2(kz-,t)]
2兀a
为求平均能流密度矢量,先将电磁场各个分量写成复数形式
a.兀X->
k^j-2r
Ey=Ho∙±
()sin()e
πa
a兀X4kz4j专
HX=Hok()sin()e2
兀a
Xjkz
Hz=H0cos()e
a
故平均能流密度矢量为
11**
SaVSRe[EH*]^Re[eχEyHzYzEyHx]
12a「x二Xj亏
Re[exH0sin()cos()e2]
2二aa
2∣a22二X12∣a22二X
-ezH^k(-)2sin2(—)—。
乙;
H汁∙k(_)2sin2(_)兀a2兀a
6.16写出存在电荷'
和电流密度J的无损耗媒质中E和H的波动方程。
解存在外加源'
和J时,麦克斯韦方程组为
LCE
(3)
H=J
∖H=0
对式
(1)两边取旋度,得
八J•;
-InE)
∖CE-^2H=-
将式(7)和式(10)代入式(12),
∖'
2E+•.2.1;
(5)
7<
E=」—H
Cti
按库仑规范,令
、2「•:
CA)一
A=O,将其代入式
(1)
和式
(2)得
V2-■■■-■('
)
t2
式(3)和式(4)就是采用库仑规范时,电磁场A和'
所满足的微分方程。
(4)
此即E满足的微分方程,亦称非齐次亥姆霍兹方程。
■:
利用矢量恒等式
A=2A)2A
又由
∖E='
、甘:
ft
6.18设电场强度和磁场强度分别为
E=Eocos@t+H\)
H=H0cos^t+屮m)
证明其坡印廷矢量的平均值为
SaVE0HOCoSCe』m)
解坡印廷矢量的瞬时值为
S=EH=E0COS,rt*e)H0cos(,t'
-m)
E0H0[COS^t'
-e7"
tm)]■COS['
t∙'
-e-'
t-'
Vm]2
E0Ho[COS(2^'
-∖'
-m)COSe∖-'
-m)]
故平均坡印廷矢量为
1T
SaV=TOSdt
1T1
=TJ0;
EH°
[cOS(2E+%+fm)+COS^e』m)]dt
—EoH°
COS(e」m)
B=0
ID=0
据矢量恒等式可VXA=0和式(4),知D可表示为一个矢量的旋度,故令
D=-WAm
将式(5)代入式
(1),得
-■
IHCAm)
-t
即
VH+Am=0
ICtJ
根据矢量恒等式'
V'
=0和式(6),知
(6)
H^Am
從可表示为一个标量的梯度,故令
H^-Am=P;
.
m
将式(5)和式(7)代入式
(2),得
(7)
PXE=——VXVxAm=-II
£
Am);
t)
6.19证明在无源空间(J=0,P=O),可以引入一个矢量位Am和标量位CPm,定义为
7×
v×
Am=吓Am)-可2Al
故式(8)变为
又将式(7)
CAm「2Am=m
代入式(3),得
2Am
(9)
将它代入式(9)
■>
宀m"
σAmH0
(10)
V-Amm
和式(10),即得Am和CPm的微分方程
-2A
Il2AmC
VAm2-=0
2m=0
建2
XA=eX(t)
6.20给定标量位=X-Ct及矢量位C,式中
jo;
oo
(1)试证明:
A—i'
0"
0讥;
(2)B、H、E和D;
(3)证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方
程。
:
AX√X1
(1):
X(C^t^√^0'
(X-…
t;
0'
「A—"
Bi^e∕A^-e^Az=0
JZJy
H=H=0
E=_
一氐二-e^(--t)
√x√tC
ex
—(x_ct)ex=0-X
D=e°
E=0
(3)这是无源自由空间的零场,自然满足麦克斯韦方程。
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