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随机过程与排队论
随机过程与排队论
任课教师:
魏静萱副教授
wjx@
曾勇副教授
第一节排队现象
例一:
电话系统:
主叫用户和被叫用户之间提供语音服务,该服务承载于某条通信信道之上,即两个用户需要一条通道,3个用户需要3个通道,4个用户需要6个通道。
一般的,n个用户需要个通道。
地球人口60亿,需要?
通道。
海量通信接近天文数字。
解决:
信道“公用”导致拥挤排队现象
例二:
排队现象举例
服务系统
公共资源
排队现象
电话
交换机
呼叫等待
机场
跑道
飞机等待起飞
火车售票处
售票员
售票大厅人满为患
加工车间
机床
零件
2.顾客是怎样排队的
服务窗
服务规则
排队
排队规则
顾客源
排队系统
1.顾客是怎样到达的
3.顾客是怎样接受服务
排队系统的三大要素:
1.输入过程2.排队规则:
队列允许的最大长度3.服务窗:
顾客是怎样接受服务的
1.输入过程:
顾客按什么规则进入系统?
一个个?
成批?
到达过程和到达时间间隔符合一定的分布,称到达分布。
假设:
到达过程和到达时间是独立同分布的。
到达过程假定为平稳的,对时间是齐次的。
注:
Markov齐次过程如果一个过程只依赖于现在,而不是过去。
。
。
。
表1输入过程的三种随机过程描述
名称
含义
在时间间隔(0,t)内到达系统的顾客人数
{,n=1,2,,,}
Sn表示第n个到达系统的顾客的到达时间
{,n=1,2,…}
表示第n个顾客与前一个顾客的到达时间间隔
按顾客到达过程的不同概率特性分类:
定长输入(D):
顾客等间隔到达,
的分布函数为
Poisson流输入(M):
系统的输入过程{M(t)>0}是Poission流
满足4个条件:
a)M(t)取值为非负数
b)P(M(0)=0)=1,即时间间隔为0时到达系统的人数为0
c)过程{M(t)}具有平稳独立增量性
d)每一个增量M(a+t)-M(a)非负,且服从参数为的泊松分布
k阶Erlang输入(Ek)
一般独立输入(G):
顾客的到达过程{}是独立同分布的随机变量序列,其分布函数可以是任意函数。
成批到达系统:
顾客一批批到达系统,每批相继到达的时间间隔为上述各种分布之一。
2.排队与服务规则
损失制(无排队队列):
顾客到达时,系统被占用,顾客离去,不再回来。
例:
?
排队制(等待制)先到先服务、先到后服务、随机服务、优先服务(VIP)、多服务台(?
)
混合制:
✓排队长度有限:
✓等待时间有限:
血浆生物制剂
✓逗留时间有限(等待时间语):
药品的有效期
3.服务机构
服务机构包括:
✓服务员个数
✓服务机构的结构形式:
串联、并联、混联
✓服务过程:
即服务时间
3.1详解
服务机构的结构形式:
单队列单服务员(图)
多服务员
服务过程:
第n个顾客在系统里接受服务的时间
✓定长分布(D):
每个顾客被服务的时间是常数C,其分布函数为:
✓负指数分布(M):
每个顾客的服务时间v1,v2,….vn都是独立同负指数分布
✓Erlang服务分布()
✓一般独立服务分布(G):
顾客接受服务时间是独立同分布的非负随机变量,分布函数任意。
4.排队系统的分类与符号
1953年由英国数学家肯达尔提出------肯达尔模型。
组成:
A/B/C/D/E/F
A:
顾客到达间隔时间的分布(输入过程)
B:
服务窗服务时间的分布(服务过程)
C:
服务窗个数
D:
系统中允许的最大顾客数,默认无穷
E:
顾客源中顾客数,默认无穷
F:
服务规则:
先来先服务时刻省略不写
例:
M/M/C/K排队系统意义
例:
G/E3/2/排队系统意义
2.4排队论的特性指标
1.瞬态特性指标:
对于任意时刻的t的对长(系统内的顾客数,包括排队等服务员的顾客数加上接受服务的顾客数)、顾客在系统中的等待时间、逗留时间等。
上述指标绝大多数都是随机变量或随机过程,因此主要关注他们的概率特性分布与期望特性。
表2.3排队论的瞬态特性指标
t时刻系统的队长(总顾客数)
t时刻系统的等待队长(顾客排队的人数)
t时刻系统忙的服务员个数(接受服务的顾客数目)
t时刻系统队长为j的概率
t时刻系统的平均队长
t时刻系统的平均等待队长
t时刻系统忙的服务员平均个数
t时刻到达系统的顾客在系统中的逗留时间
t时刻到达系统的顾客在系统中的等待时间(排队时间)
t时刻到达系统的顾客在系统中接受服务时间
t时刻到达系统的顾客在系统中的平均逗留时间
t时刻到达系统的顾客在系统中的平均等待时间(排队平均时间)
t时刻到达系统的顾客在系统中接受服务平均时间
由上表可得以下公式:
2.稳态特性指标
一个排队系统,在其运行的初始阶段,各个特性指标和t密切相关,受初始条件的影响较大(瞬态过程)。
但在经过足够长的运行时间后,系统地工作状态趋于平稳,各特性指标不再和实间t有关,受初始条件影响较弱,则称排队系统已由过渡阶段进入平稳状态(重点)
表2.4排队论的稳态特性指标
系统队长(总顾客数)
系统的等待队长(顾客排队的人数)
系统忙的服务员个数(接受服务的顾客数目)
系统队长为j的概率
系统的平均队长
系统的平均等待队长
系统忙的服务员平均个数
到达系统的任一顾客在系统中的逗留时间
到达系统的任一顾客在系统中的等待时间(排队时间)
到达系统的任一顾客在系统中接受服务时间
到达系统的任一顾客在系统中的平均逗留时间
到达系统的任一顾客唉系统中的平均等待时间(排队平均时间)
到达系统的任一顾客在系统中接受服务平均时间
绝对通过能力:
单位时间内被服务完成顾客的均值
相对通过能力:
单位时间内被服务完顾客数与请求顾客数之比值
系统的损失概率,即系统满员的概率
由上表得出:
当系统趋于稳定时:
=到达率
顾客到达
队列
分配规则
服务员
离开
图2.6单服务员队列稳态指标
2.6LIttLe公式
对一个排队系统,一般假定满足以下3个条件:
(1)排队系统能够进入稳定状态
(2)服务员的忙期与闲期交替出现,即系统不总会处于盲期
(3)系统中任意顾客不会永远等待,系统也不会永无顾客到达
若上述假设成立,则有little公式:
注意:
1。
只关注三个量的平均统计值
2.对顾客的到达时间间隔分布、服务时间分布、排队规则不做要求
3.必须针对同一顾客群
直观的解释
综上两个公式和little公式,得知,只要求得或,再知道四个指标中的任一个,其他3个就可以立即求出,从而解得排队系统。
通常容易从统计中获得,而容易从理论中获得。
●概率论回顾
Markov过程:
当随机过程在时刻所处的状态为已知,过程在大于的时刻所处的概率只与有关,而于以前的时刻无关,此性质为无后效性。
MarkovChain(MC)
Discrete-timeMarkovChain(DTMC)
Continuous-timeMarkovChain(CTMC)
马尔科夫链n时刻的k步转移概率:
n时刻MC处于状态i,经过k步时间,系统处于j状态的概率:
转移概率特点:
特别的,当k=1时,得到一步转移概率
其一步转移概率矩阵P
(1)为:
的状态
的
状
态
K步转移概率矩阵记为P(k)
本课程研究时间齐次马尔可夫过程:
系统行为不依赖于观测时间,即马尔科夫过程中的条件分布函数不随观察起始时刻的变化而变化,我们可以任选时间轴为起点。
N时刻的k步转移概率:
从状态i到状态j的概率和时刻n无关,称这类MC为时齐马尔科夫链。
例1.1只传输数字0和1的串联系统。
如下图所示,设每一级的传真率为p,误码率为q=1-p,设一个单位时间传输一级,X0是第一级的输入,Xn是第n级的输出。
0-1传输系统
分析:
是一个随机过程,状态空间I={0,1}是一个齐次马尔科夫过程,转移概率和一步转移概率矩阵为:
一步转移概率矩阵
例1.2一维随机游动设一质点在如图所示的直线的点集I={1,2,3,4,5}上随机游动,并仅在1秒、2秒等整秒时刻发生游动。
一维随机游动
游动规则是:
如果Q现在位于点i(1
1和5这两点称为反射壁,上述现象为带有两个反射壁的随机游动。
分析:
表示时刻n时Q的位置,不同的位置就是的状态。
所处的状态的概率分布只与=i有关,而与Q在时刻n之前如何到达状态i无关,因此该过程是马尔科夫过程,并是齐次的。
一步转移概率:
例1.3初始时Z0=(1,0),状态转移概率,问n步后的状态?
问题:
一步转移矩阵最终收敛到稳态,且收敛有快有慢,这与矩阵的什么有关?
?
例1.4排队模型设服务系统由一个服务员和只可容纳2人的等候室组成,服务规则是:
先到先服务,后来者须在等候室依次排队。
假定一个需要服务的顾客到达系统时发现系统内已有3个顾客(一个正在接受服务,两个在等待时排队),则该顾客离去。
设时间间隔内将有一个顾客进入系统的概率为q,有一原来被服务的顾客离开系统(服务完毕)的概率为p.又设当充分小时,在这一时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际上是不可能的。
该系统是马尔科夫链。
设表示时刻时,系统内的顾客数,即系统的状态。
是一个随机过程,状态空间I={0,1,2,3}.下面来计算此马尔可夫链的一步转移概率。
?
?
?
?
例1.9某计算机机房的一台计算机经常出现故障,研究者每隔15分钟观察一次计算机的运行状态,收集了24小时的数据(共作97次观察),用1表示正常状态,用0表示不正常状态,所得的数据序列如下:
111001*********0011110111111001111111110001101101
111011*********101110111101111110011011111100111
设Xn为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态,可以认为它是一个齐次马尔可夫链,状态空间I={0,1},96次状态转移的情况是:
因此,一步转移概率可用频率近似地表示为:
马尔可夫特性隐含的重要结论:
过程在任何状态的逗留时间(SojournTime,ST)的分布必定具有无记忆性(MemorylessProperty)。
若过程未来的演化只依赖于过程当前的状态,则状态的剩余逗留时间必定与过程在该状态已经花费的时间无关。
在例1.9中,若计算机在前一时段(15分钟)的状态为0,问从本时段起此计算机能够连续正常工作一个小时的概率是多少?
1.4离散事件马尔科夫链的性质
五个基本性质:
互通性、周期性、常反性、遍历性和稳定状态的分布。
1.互通性
互通性:
若有两个状态i和j,ij同时ji则称i和j状态相通,记为
可达性:
某俩个状态i和j的n步转移概率大于0,即
,则称状态i可以到达j,记为
图1所示。
互通性满足三条性质:
(1)自反性:
ii每个状态0步转移到自己
(2)对称性:
ij当且仅当ji
(3)传递性:
若ik且kj,则ij
例1:
例1.2一维随机游动设一质点在如图所示的直线的点集I={1,2,3,4,5}上随机游动,并仅在
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- 随机 过程 排队