高考数学总复习立体几何专项训练附解析Word文档格式.docx
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,PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为( )
A.B.2C.D.2
3.(2019·
珠海摸底)如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,过轴PO的截面△PAB,C为PA中点,PA=4,PO=6,则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为( )
A.2B.2
C.6D.2
4.(2019·
湛江调研)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为( )
A.B.C.D.8π
5.已知正四面体P-ABC的棱长为2,若M,N分别是PA,BC的中点,则三棱锥P-BMN的体积为________.
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,线段EF,GH分别在AB,CC1上移动,且EF+GH=,则三棱锥F-HGE的体积最大值为________.
答案精析
基础保分练
1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.C 9.4 10.
能力提升练
1.C [∵圆锥的轴截面是边长为2的正△ABC,
∴圆锥的底面半径r=1,
母线长l=2,
表面积S=πr2+×
2πr×
l=π+2π=3π.]
2.B [取AB的中点O1,连接OO1,如图,
在△ABC中,AB=2,∠ACB=90°
,所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆,所以O1A=,且OO1⊥AO1,又球O的直径PA=4,所以OA=2,所以OO1==,且OO1⊥底面ABC,所以点P到平面ABC的距离为PB=2OO1=2.]
3.A [先作出圆锥的侧面展开图如图所示,
由题得圆锥底面圆的半径为=2,
所以AA1=2π·
2=4π,
所以∠APA1==π,
所以∠APB=,
所以BC==2.]
4.B [根据题意知,△ABC是一个等边三角形,其面积为,外接圆的半径为1,小圆的圆心为Q,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,所以DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为S△ABC×
DQ=,∴DQ=4,设球心为O,半径为R,则在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(4-R)2,∴R=,则这个球的表面积为S=4π2
=.]
5.
解析 连接AN,作MD⊥PN,交PN于D,
∵正四面体P-ABC的棱长为2,M,N分别是PA,BC的中点,
∴AN⊥BC,PN⊥BC,MN⊥AP,且AN=PN=,
∵AN∩PN=N,AN,PN⊂平面PNA,
∴BC⊥平面PNA,
∵MD⊂平面PNA,∴MD⊥BC,
∵BC∩PN=N,BC,PN⊂平面PBN,
∴MD⊥平面PBN,
MN==,
∵PN·
MD=PM·
MN,
∴MD===,
∴三棱锥P-BMN的体积
VP-BMN=VM-PBN=×
S△PBN×
MD=×
×
1×
=.
6.
解析 连接CE,CF,C1E,C1F,HE,HF,GE,GF,
设EF=m,GH=n(m>
0,n>
0),
则m+n=.
因为S△HGE∶S△C1CE=n∶2,
所以V三棱锥F-HGE∶
=n∶2.
又因为
=
=×
2×
m=m,
所以V三棱锥F-HGE=mn.
因为m+n=,
所以m·
n≤=,
故V三棱锥F-HGE≤
.
空间点、线、面的位置关系
1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c( )
A.一定平行B.一定相交
C.一定是异面直线D.一定垂直
2.已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=c.
①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;
②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;
③若a∥b,则必有a∥c;
④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β.
其中正确的命题的个数是( )
3.已知E,F,G,H是空间内四个点,条件p:
E,F,G,H四点不共面,条件q:
直线EF和GH不相交.则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是BD的中点,直线AC1与平面A1BD相交于点M,则下列结论正确的是( )
A.A1,M,O三点共线
B.A,O,M,A1不共面
C.A1,M,C1,O不共面
D.B1,B,O,M共面
5.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且==,则下列说法正确的是( )
A.EF与GH平行
B.EF与GH异面
C.EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
D.EF与GH的交点M一定在直线AC上
6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A.B.C.D.
7.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,且PQ∥AC,QM∥BD,则下列命题中,错误的是( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )
A.直线AA1
B.直线A1B1
C.直线A1D1
D.直线B1C1
9.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条.
10.给出下列四个说法:
①经过三点确定一个平面;
②梯形可以确定一个平面;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
其中正确说法的是________.(填序号)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )
A.不存在B.有且只有两条
C.有且只有三条D.有无数条
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么过P,Q,R的平面被正方体所截得的图形是( )
A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形
3.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是( )
A.(0,)B.(0,)C.(1,)D.(1,)
4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( )
5.如图所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=________.
6.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.
1.D 2.C 3.A 4.A 5.D 6.A 7.C
8.D 9.5 10.②③
1.D [如图所示,在EF上任意取一点M,
则直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点.]
2.D [如图所示,连接QP并延长与CB的延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE,
则PE,RE为截面的两条边.作RG∥PQ交C1D1于G,
同理延长PQ交CD的延长线于N,连接NG交DD1于F,连接QF.
故截面为六边形PQFGRE.]
3.A [此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,易知a大于0且小于.]
4.D [A,B,C中四点一定共面,D中四点不共面.]
5.8
解析 观察知,直线CE与正方体的前后左右四个面所在的平面相交,所以m=4;
直线EF与正方体的上下前后四个面所在的平面相交,所以n=4.
所以m+n=8.
解析 如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.
∵M为AD的中点,
∴MK∥AN,
∴∠KMC为异面直线AN,CM所成的角.
∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点,
由勾股定理易求得AN=DN=CM=2,
∴MK=.
在Rt△CKN中,CK=
在△CKM中,由余弦定理,得
cos∠KMC==.
平行的判定与性质
1.若a,b表示直线,α表示平面,且b⊂α,则“a∥b”是“a∥α”的( )
2.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为BC,CD的中点,则( )
A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形
3.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A.不存在B.有1条
C.有2条D.有无数条
5.下列说法正确的是( )
A.若直线l⊥平面α,直线l⊥平面β,则α∥β
B.若直线l∥平面α,直线l∥平面β,则α∥β
C.若两直线l1,l2与平面α所成的角相等,则l1∥l2
D.若直线l上两个不同的点A,B到平面α的距离相等,则l∥α
6.有下列命题:
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,b∥α,则a∥α;
④若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α内的无数条直线.
A.1B.2C.3D.4
7.直线a∥平面α,则a平行于平面α内的( )
A.一条确定直线B.所有直线
C.无数条平行直线D.任意一条直线
8.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线l的直线( )
A.只有一条,不在平面α内
B.只有一条,且在平面α内
C.有无数条,不一定在平面α内
D.有无数条,一定在平面α内
9.如图所示是某长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.
第9题图 第10题图
10.如图是一个正方体的表面展开图,B,N,Q都是所在棱的中点,则在原正方体中有以下命题:
①AB与CD相交;
②MN∥PQ;
③AB∥PE;
④MN与CD异面;
⑤MN∥平面PQC.其中为真命题的是________.(填序号)
1.下列说法中正确的是( )
①如果一条直线和一个平面平行,那么它和这个平面内的无数条直线平行;
②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点;
③过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行.
A.①②③B.①③C.②③D.①②
2.如图,下列正三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则不能得出AB∥平面MNP的是( )
3.已知直线a,b异面,给出以下命题:
①一定存在平行于a的平面α使b⊥α;
②一定存在平行于a的平面α使b∥α;
③一定存在平行于a的平面α使b⊂α;
④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点.
则其中正确的命题是( )
A.①④B.②③C.①②③D.②③④
4.在四棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为( )
A.B.C.45D.45
5.α,β,γ是三个平面,a,b是两条直线,有下列三个条件:
①a∥γ,b⊂β;
②a∥γ,b∥β;
③b∥β,a⊂γ.
如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________.(把所有正确条件的序号都填上)
6.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD=________.
1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C
8.B 9.平行四边形 10.①②④⑤
1.D [由线面平行的性质定理知①正确;
由直线与平面平行的定义知②正确;
③错误,经过直线外一点可作一条直线与已知直线平行,而经过这条直线可作无数个平面与原直线平行.]
2.C [在A,B中,易知AB∥A1B1∥MN,所以AB∥平面MNP;
在D中,易知AB∥PN,所以AB∥平面MNP,故选C.]
3.D [对于①,若存在平面α使得b⊥α,则有b⊥a,而直线a,b未必垂直,因此①不正确;
对于②,注意到过直线a,b外一点M分别引直线a,b的平行线a1,b1,显然由直线a1,b1可确定平面α,此时平面α与直线a,b均平行,因此②正确;
对于③,注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行,显然由直线b与a2可确定平面α,此时平面α与直线a平行,且b⊂α,因此③正确;
对于④,在直线b上取一定点N,过点N作直线c与直线a平行,经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行,且与直线b相交于一定点N,因此④正确.]
4.A [如图所示,取AC的中点G,连接SG,BG.
易知SG⊥AC,BG⊥AC,
故AC⊥平面SGB,
所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,
则SB∥HD.同理SB∥FE.
又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF∥AC且HF=AC,
DE∥AC且DE=AC,
所以四边形DEFH为平行四边形.
又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,
所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,
其面积S=HF·
HD=·
5.①③
解析 ①中,由b⊂β,b⊂γ,得β∩γ=b,
又a∥γ,a⊂β,所以a∥b(线面平行的性质定理).③中,由α∩β=a,a⊂γ得β∩γ=a,又b∥β,b⊂γ,所以a∥b(线面平行的性质定理).
6.24或
解析 设BD=x,由α∥β可得AB∥CD,则△PAB∽△PCD,即=.
①当点P在两平面之间时,如图
(1)所示,则有=,∴x=24;
②当点P在两平面外侧时,如图
(2),则有=,∴x=.
垂直的判定与性质
1.已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是不同的直线,下列命题不正确的是( )
A.若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥α
B.若l∥m,l⊄α,m⊂α,则l∥α
C.若α⊥β,α∩β=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥β
D.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n
2.已知两个平面垂直,下列命题:
①一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;
②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC中共有直角三角形个数为( )
A.4B.3C.2D.1
4.“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是( )
A.直线l与平面α内的任意一条直线垂直
B.过直线l的任意一个平面与平面α垂直
C.存在平行于直线l的直线与平面α垂直
D.经过直线l的某一个平面与平面α垂直
5.已知直线l,m和平面α,则下列结论正确的是( )
A.若l∥m,m⊂α,则l∥αB.若l⊥α,m⊂α,则l⊥m
C.若l⊥m,l⊥α,则m⊥αD.若l∥α,m⊂α,则l∥m
6.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
①若m⊥α,α⊥β,则m∥β;
②若m⊥α,α∥β,n⊂β,则m⊥n;
③若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β;
④若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α.
A.①②B.③④C.①③D.②④
7.(2019·
沈阳东北育才学校联考)设m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中不正确的是( )
A.m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n
B.m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n
C.m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n
D.m⊥α,n⊥β且α∥β,则m∥n
8.已知在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不正确的是( )
A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC
9.如图,PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:
①AE⊥BC;
②EF⊥PB;
③AF⊥BC;
④AE⊥平面PBC.
其中真命题的序号是________.
10.设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若a∥α且b∥α,则a∥b;
②若a⊥α且a⊥β,则α∥β;
③若α⊥β,则一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β;
④若α⊥β,则一定存在直线l,使得l⊥α,l∥β.
上面命题中,所有真命题的序号是________.
1.已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论:
①β⊥γ;
②l⊥α;
③m⊥β;
④α⊥β.
其中正确的是( )
A.①④B.②④C.②③D.③④
2.如图所示,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是( )
A.A1DB.AA1
C.A1D1D.A1C1
3.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有( )
A.平面ABD⊥平面ADC
B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BDC
D.平面ABC⊥平面BDC
4.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直
5.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;
②若m⊥α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
③如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交;
④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.
其中的真命题是________.(填序号)
6.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为和,过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,则AB∶A′B′=________.
1.A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.D 7.B
8.C 9.①②④ 10.②③④
1.B 2.D
3.C [∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,BC,BD⊂平面BDC,
∴AD⊥平面BDC,
又AD⊂平面ADC,
∴平面ADC⊥平面BDC.]
4.B [在矩形ABCD中,作AE⊥BD于E,连接CE.在翻折过程中,AE⊥BD,假设存在某个位置使AC⊥BD,则BD⊥平面AEC,则BD⊥CE,由条件知BD与CE不垂直,故A错误;
对于C,在翻折过程中,若AD⊥BC,则AD⊥平面ABC,得AD⊥AC,从而△ACD为直角三角形,得∠CAD=90°
,而CD<
AD,这种情况是不可能的,故C错误;
若AB⊥CD,由BC⊥CD,可得CD⊥平面ACB,则CD⊥AC,则AB=CD=1,BC=AD=,可得AC=1,那么存在AC=1这样的位置,使得AB⊥CD成立,故B正确,D错误.]
5.①④
解析 若m⊥α,m⊂β,由线面垂直的相关性质可得面面垂直,即α⊥β,①正确;
若m⊥α,n⊂α,m∥β,n∥β,由线面垂直与线面平行的相关性质可得α⊥β,②错误;
如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,也可出现n与α平行,
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