函数的递归调用与分治策略Word下载.docx
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intf(intx){
return(f(x-1));
}
main(){
cout<
<
f(10);
它没有规定递归边界,运行时将无限循环,会导致错误。
[步骤3]写出递归函数并译为代码将步骤1和步骤2中的递归关系与边界统一起来用数学语言来表示,即
N*(N-1)!
当N>
=1时
n!
=
1当N=0时
再将这种关系翻译为代码,即一个函数:
longf(intn){
if(n==0)
return
(1);
else
return(n*f(n-1));
[步骤4]完善程序主要的递归函数已经完成,将程序依题意补充完整即可。
//ex1.cpp
intn;
cin>
>
n;
endl<
f(n);
综上,得出构造一个递归方法基本步骤,即描述递归关系、确定递归边界、写出递归函数并译为代码,最后将程序完善。
以下继续引用一些例子来讨论递归方法的应用。
经典递归问题
以下讨论两个十分经典的递归问题。
它们的算法构造同样遵循刚刚得出的四个步骤。
了解这两个问题可加深对递归方法的理解。
[例2]Fibonacci数列(兔子繁殖)问题:
已知无穷数列A,满足:
A
(1)=A
(2)=1,A(N)=A(N-1)+A(N-2)(N>
=3)。
从键盘输入N,输出A(N)。
[分析]递归关系十分明显,由A(N)的表达式给出。
需要注意的是本例中对于N>
=3,A(N)的值与A(N-1)和A(N-2)都有关。
[代码]
//ex2.cpp
longfibonacci(intx)
{
if((x==1)||(x==2))
return(fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2));
cout>
endl>
fibonacci(n);
[例3]Hanoi塔问题。
[问题描述]在霍比特人的圣庙里,有一块黄铜板,上面插着3根宝石针(分别为A号,B号和C号)。
在A号针上从下到上套着从大到小的n个圆形金片。
现要将A针上的金片全部移到C针上,且仍按照原来的顺序叠置。
移动的规则如下:
这些金片只能在3根针间移动,一次只能一片,且任何时候都不允许将较大的金片压在较小的上面。
从键盘输入n,要求给出移动的次数和方案。
[分析]由金片的个数建立递归关系。
当n=1时,只要将唯一的金片从A移到C即可。
当n>
1时,只要把较小的(n-1)片按移动规则从A移到B,再将剩下的最大的从A移到C(即中间“借助”B把金片从A移到C),再将B上的(n-1)个金片按照规则从B移到C(中间“借助”A)。
本题的特点在于不容易用数学语言写出具体的递归函数,但递归关系明显,仍可用递归方法求解。
//ex3.cpp
hanoi(intn,chart1,chart2,chart3){
if(n==1)
"
1"
t1<
"
t3<
endl;
{
hanoi(n-1,t1,t3,t2);
n<
hanoi(n-1,t2,t1,t3);
}
PleaseenterthenumberofHanoi:
;
Answer:
hanoi(n,'
A'
'
B'
C'
);
函数递归调用的应用与分治策略
许多算法都采用了分治策略求解,而可以说分治与递归是一对孪生兄弟,它们经常同时被应用于算法的设计中。
下面讨论著名的Catalan数问题,人们在对它的研究中充分应用了分治策略。
[例4]Catalan数问题。
[问题描述]一个凸多边形,通过不相交于n边形内部的对角线,剖分为若干个三角形。
求不同的剖分方案总数H(n)。
H(n)即为Catalan数。
例如,n=5时H(5)=5。
[分析]Catalan数问题有着明显的递归子问题特征。
在计算Catalan数时虽然可以推导出只关于n的一般公式,但在推导过程中却要用到递归公式。
下面讨论三种不同的解法,其中第三种解法没有使用递归,它是由前两种解法推导而出的。
[解法1]对于多边形V1V2…Vn,对角线V1Vi(i=3,4,…,n-1)将其分为两部分,一部分是i边形,另一部分是n-i+1边形。
因此,以对角线V1Vi为一个剖分方案的剖分方案数为H(i)*H(n-i+1)。
还有一种的特殊情形,是对角线V2Vn将其分为一个三角形V1V2Vn和一个n-2+1边形。
为了让它同样符合粗体字给出的公式,规定H
(2)=1。
于是得到公式:
H(n)=∑H(i)*H(n-i+1)(i=2,3,…,n-1)----公式
(1)
H
(2)=1
有了这个递归关系式,就可以用递推法或递归法解出H(n)。
[解法2]从V1向除了V2和Vn外的n-3个顶点可作n-3条对角线。
每一条对角线V1Vi把多边形剖分成两部分,剖分方案数为H(i)*H(n-i+2),由于Vi可以是V3V4…Vn-1中的任一点,且V1可换成V2,V3,…,Vn中任一点也有同样的结果。
考虑到同一条对角线在2个顶点被重复计算了一次,于是对每个由顶点和对角线确定的剖分方案都乘以1/2,故有
H(n)=n∑(1/2)H(i)*H(n-i+2)(i=3,4,…,n-1)
把(1/2)提到∑外面,
H(n)=n/(2*(n-3))∑H(i)*H(n-i+2)(i=3,4,…,n-1)----公式
(2)
规定H
(2)=H(3)=1,这是合理的。
由公式
(2)和H
(2)=1,同样可以用递推法或递归法解出H(n)。
[解法3]把公式
(1)中的自变量改为n+1,再将刚刚得出的公式
(2)代入公式
(1),得到
H(n+1)=∑H(i)*H(n-i+2)(i=2,3,…,n)由公式
(1)
H(n+1)=2*H(n)+∑H(i)*H(n-i+2)(i=3,4,…,n-1)由H
(2)=1
H(n+1)=(4n-6)/n*H(n)由公式
(2)
H(n)=(4n-10)/(n-1)*H(n-1)----公式(3)
这是一个较之前两种解法更为简单的递归公式,还可以继续简化为
H(n)=1/(n-1)*C(n-2,2n-4)----公式(4)
这就不需要再使用递归算法了。
然而在程序设计上,公式(4)反而显得更加复杂,因为要计算阶乘。
因此最后给出由公式(3)作为理论依据范例程序代码。
代码相当简单,这都归功于刚才的推导。
如果用前两种解法中的递归关系,程序会变得复杂且容易写错。
因此,有时对具体问题将递归关系公式进行必要的化简也是至关重要的。
//ex4.cpp
#defineMAXN100
longf(intx){
if(x==3)
return((4*x-10)*f(x-1)/(x-1));
\nPleaseinputNforaCatalannumber:
if((n<
=MAXN)&
&
(n>
=3))
Theansweris:
本例编程时还有一个细节问题需要注意。
注意函数f中的斜体部分,按照公式(4)计算时一定要先进行乘法再进行除法运算,因为(4*x-10)并不总能整除(x-1),如果先进行除法则除出的小数部分将自动被舍去,从而导致得到不正确的解。
数学上许多有重要意义的计数问题都可以归结为对Catalan数的研究。
可以看到,本例中的递归关系经简化还是相当简单的。
下面讨论一个递归关系略为复杂的例子。
[例5]快速排序问题。
快速排序是程序设计中经常涉及的一种排序算法。
它的最好时间复杂度为O(nlog2n),最差为O(n2),是一种不稳定的排序方法(大小相同的数在排序后可能交换位置)。
[算法描述]快速排序的一种基本思想是:
要将n个数按由小到大排列,在待排序的n个数中选取任一个数(在本例中取第一个),称为基准数,在每一次快速排序过程中设置两个指示器i和j,对基准数左边和右边的数同时从最左(i)和最右(j)开始进行扫描(i逐1递增,j逐1递减),直到找到从左边开始的某个i大于或等于基准数,从右边开始的某个j小于或等于基准数。
一旦发现这样的i和j(暂且称之为一个“逆序对”),则把第i个数和第j个数交换位置,这样它们就不再是逆序对了,紧接着再将i递增1,j递减1。
如此反复,在交换过有限个逆序对后,i和j将越来越靠近,最后“相遇”,即i和j指向同一个数,暂且称之为相遇数(极端情况下,如果一开始就不存在逆序对,i和j将直接“相遇”)。
相遇后就保证数列中没有逆序对了(除了在上述的极端情况下基准数和自身也算构成一个逆序对,注意粗体字给出的逆序对的定义)。
继续扫描,非极端情况下,由于数列中已经没有逆序对,i递增1(如果相遇数小于基准数)或者j递减1(如果相遇数大于基准数)后即算完成了一趟快速排序,这时第1到第j个数中的每个都保证小于或等于基准数,第i到第n个数中的每个保证大于或等于基准数。
此时,递归调用函数,对第1到第j个数和第i到第n个数分别再进行一趟快速排序。
如果在极端情况下,程序认为基准数和自身构成逆序对,则将基准数与自身交换(这其实没有作用)之后i递增1,j递减1(注意斜体字给出的对逆序对的处理方法),同样对第1到第j个数和第i到第n个数分别再进行一趟快速排序。
最后的问题就是确定递归边界。
由于被排序的数列将不断被划分为两个至少含一个数的子列(因为在每趟排序最后进行递归调用函数时i<
j),最后子列的长度将变为1。
这就是递归的边界。
在程序实现是,本着“能排则排”的原则,只要第一个数小于j(或者第i个数小于最后一个数),即进行递归。
[主程序(递归函数体)]
voidQuickSort(RecTypeR[],ints,intt)
inti=s,j=t,k;
RecTypetemp;
if(s<
t)
temp=R[s]//用区间第1个记录作为基准
while(i!
=j)//从两端向中间交替扫描,直至i=j;
while(j>
i&
R[j].key>
temp.key)
j--;
if(i<
j)
R[i]=R[j];
i++;
while(i<
j&
R[i].key<
R[j]=R[i];
R[i]=temp;
QuickSort(R,s,i-1);
QuickSort(R,i+1,t);
[例6]“九宫阵”智力游戏。
[问题描述]一个9×
9方阵,由9个“九宫格”组成,每个九宫格又由3×
3共9个小格子组成。
请在每个空白小格子里面填上1~9的数字,使每个数字在每个九宫格内以及在整个九宫阵中的每行、每列上均出现一次。
(1)编程将下面图中的九宫阵补充完整。
(2)讨论是否可能给出“九宫阵”的全部解?
[分析]本题可利用回溯法解决,其基本思想为深度优先搜索(DFS),这也是一种以分治策略为基础的算法。
回溯法与纯粹的DFS不同的是,它在搜索过程中不断杀死不合题意的结点。
这一点保证了解法的效率。
首先考虑如何得出全部解的情况。
解空间树容易构造,只需按顺序(从第一行第一个数字开始到第一行最后一个,然后第二行……,一直到最后一行最后一个数字)“尝试”填入数字即可。
为了解决这个问题,我们需要先编写一个函数check,其原型为intcheck(inti,intj,intk),用于求第i行第j列能否填上数字k。
如果可以,返回1,否则返回0。
由于我们是按顺序填入数字的,看起来一个数字后面的数字并不在判断能否填的范围内。
但为了解决题中某个特解问题的方便,还是引入较为严谨的判断方法。
函数check代码如下:
intcheck(inti,intj,intk){
intl,m,pi,pj;
//1.Checktheline
for(l=1;
l<
=9;
l++)
if((l!
=j)&
(a[i][l]!
=0)&
(a[i][l]==k))
return(0);
//2.Checkthecolumn
=i)&
(a[l][j]!
(a[l][j]==k))
//3.Checkthe3x3matrix
//3.1Firstlywewillhavetochecktheparent_i(pi)andparent_j(pj)
if(i<
=3)pi=1;
elseif(i<
=6)pi=4;
elsepi=7;
if(j<
=3)pj=1;
elseif(j<
=6)pj=4;
elsepj=7;
//3.2Nowwecancheckit
for(l=0;
=2;
for(m=0;
m<
m++){
if(((pi+l)!
((pj+m)!
=j))
if((a[pi+l][pj+m]!
=0)&
(a[pi+l][pj+m]==k))
结合注释很容易就能接受函数的思想,不予过多说明。
下面考虑程序最重要的部分,即递归函数。
思路是这样的:
假设某一格能填入某数,把这个格子看成解空间树的一个结点,由它可以扩展出9个儿子,即下一格填什么数(由1到9逐个尝试)。
对下一格,同样这样考虑。
不断用函数check函数考察某一个能否填入某数,一旦函数check返回0,则杀死这个结点。
如果能一直填到最后一个数,结点仍未被杀死,则这是一个解。
这种思想可用伪代码表示如下:
procedurebacktrack(i,j,k:
integer);
ifcheck(i,j,k)=truethen
begin
a[i,j]=k;
Generate_next_i_and_j;
ifi<
10then
forl:
=1to9do
backtrack(i,j,l);
end
else
Do_Output;
a[i,j]:
=0;
end;
注意斜体的“a[i,j]:
=0”必不可少!
当对某个结点(x,y)扩展的过程中,可能在扩展到(x+m,y+n)时它的子树被完全杀死(每个结点都被杀死,亦即按照(x,y)及之前的填数方案填数,无解)。
这时需要保证(x,y)以后所填的数被重新置零,这个语句的作用即在每个结点被杀死时都将其置零。
将伪代码翻译为C++代码:
backtrack(inti,intj,intk)
intl;
if(check(i,j,k)==1)
a[i][j]=k;
//Fillintheokaysolution
//Generatenexti,j
9)j++;
else{i++;
j=1;
}//EndofGeneratenexti,j
10)
output();
a[i][j]=0;
/*Whenfailsandgoesupperwards,thevaluemustbecleared*/
函数output()用双重循环完成输出。
在主函数main()对backtrack(1,1,i)进行一个循环,i从1取到9,即可完成整个程序。
运行时发现九宫格的解相当多,即使保存到文件中也不现实。
这就回答了第2个问题。
对于第1个问题,将这个程序略加改动,即赋予全局数组a以初值,并在过程backtrack中产生下一个i和j时跳过有初值的部分,即可将程序转化为求填有部分空缺的九宫格程序。
最后给出填充有部分空缺的九宫格的完整源代码。
iostream>
usingnamespacestd;
inta[11][11]={0};
voidoutput(){
inti,j;
Onesolutionis:
for(i=1;
i<
i++)
for(j=1;
j<
j++)
a[i][j]<
voidbacktrack(inti,intj,intk){
do{
}while(a[i][j]!
=0);
//EndofGeneratenexti,j
voidinit(){
a[1][2]=9;
a[1][6]=4;
a[1][7]=5;
a[1][9]=7;
a[2][3]=3;
a[2][5]=7;
a[2][6]=9;
a[2][7]=4;
a[3][4]=3;
a[3][5]=6;
a[3][8]=8;
a[3][9]=9;
a[4][1]=3;
a[4][4]=1;
a[5][3]=4;
a[5][8]=2;
a[5][9]=3;
a[6][2]=1;
a[6][3]=2;
a[6][6]=3;
a[7][1]=8;
a[7][8]=5;
a[8][2]=6;
a[8][4]=2;
a[8][5]=9;
a[9][2]=2;
a[9][3]=1;
a[9][7]=8;
//memset(a,0,sizeof(a));
intmain(){
inti;
i++){
init();
backtrack(1,1,i);
system("
PAUSE"
return0;
递归方法在算法与数据结构中的应用无所不在,如动态规划(状态方程)、回溯法(深度优先搜索)等等,以上两例只是冰山一角。
只有熟悉掌握函数递归调用的编程方法,深入理解分治策略的重要思想,才能编写出功能强大、高效简明的程序。
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- 函数 递归 调用 分治 策略