三角形与四边形提高题Word文档格式.docx
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,点B、E、F按逆时针排列),点P为DE的中点,连PC,PF
(1)如图①,点E在BC上,则线段PC、PF的数量关系为 _________ ,位置关系为 _________ (不证明).
(2)如图②,将△BEF绕点B顺时针旋转a(O<a<45°
),则线段PC,PF有何数量关系和位置关系?
请写出你的结论,并证明.
(3)如图③,△AEF为等腰直角三角形,且∠AEF=90°
,△AEF绕点A逆时针旋转过程中,能使点F落在BC上,且AB平分EF,直接写出AE的值是 _________ .
5.如图,在△ABC中,AB=AC,点E为BC边上一动点(不与点B、C重合),过点E作射线EF交AC于点F,使∠AEF=∠B.
(1)判断∠BAE与∠CEF的大小关系,并说明理由;
(2)请你探索:
当△AEF为直角三角形时,求∠AEF与∠BAE的数量关系.
6.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°
,BC=2,E为AB上任意一动点,以CE为斜边作等腰直角△CDE,连接AD,
(1)当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是 _________ .
(2)AD与BC有什么位置关系?
说明理由.
(3)四边形ABCD的面积是否有最大值?
如果有,最大值是多少?
如果没有,说明理由.
7.直角三角形ABC中,∠C=90°
,AC=BC,点P是三角形ABC内一点,且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA,
(1)判断PC与PB的位置关系,并对你的判断加以说明.
(2)△ABP与△APC的面积比.
8.(2010•内江)如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°
,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由.
9.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°
,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)证明:
△BDF是等腰直角三角形.
(2)猜想线段AD与CF之间的关系并证明.
10.如图,等腰直角三角形ABC中,AC=BC,将△ABC绕斜边AB的中点O旋转至△DEF的位置,DF交AB于点P,DE交BC于点Q.请猜想OQ与OP有怎样的数量关系?
并证明你的结论.
11.
(1)如图甲,直角三角形ABC中,∠C=90°
,分别以AB,AC,BC为边作正方形ABEF,ACMN,BCGH,面积分别设为S,P,Q,则S,P,Q满足怎样的等量关系?
(直接写出结果,不需证明)
(2)如图乙,直角三角形ABC中,∠C=90°
,分别以AB,AC,BC为边作等边三角形ABE,ACM,BCH,面积分别设为S,P,Q,则S,P,Q满足怎样的等量关系?
并证明;
(3)如图丙,锐角三角形ABC中,分别以AC,BC为边作任意平行四边形ACMN,BCGH,面积分别设为P,Q,NM和HG的延长线相交于点D,连接CD,在AB外侧作平行四边形ABEF,使得BE,AF平行且等于CD,面积设为S,则S,P,Q满足怎样的等量关系?
并证明.
12.如图所示,四边形ABCD为正方形,△BEF为等腰直角三角形(∠BFE=90°
,点B、E、F按逆时针顺序),P为DE的中点,连接PC、PF.
(1)如图
(1),E点在边BC上,则线段PC、PF的数量关系为 _________ ,位置关系为 _________ (不需要证明).
(2)如图
(2),将△BEF绕B点顺时针旋转α°
(0<α<45),则线段PC、PF有何数量关系和位置关系?
请写出你的结论并证明.
(3)如图(3),E点旋转到图中的位置,其它条件不变,完成图(3),则线段PC、PF有何数量关系和位置关系?
直接写出你的结论,不需要证明.
13.(2013•富宁县模拟)将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°
,∠A=∠D=30°
,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:
AF+EF=DE;
(2)若将图①中的直角三角形ABC绕点B顺时针方向旋转,且∠ABD=30°
,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在
(1)中猜想的结论是否仍然成立;
(3)若将图①中的直角三角形DBE绕点B顺时针方向旋转,且∠ABD=65°
,其它条件不变,如图③,你认为
(1)中猜想的结论还成立吗?
若成立,写出证明过程;
若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
14.(2013•营口)如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°
,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论;
②将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、图3的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90°
,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=
,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD2+AF2的值.
15.(2010•石家庄二模)在图1到图3中,点O是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,∠MPN=90°
.正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上,且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.
(1)如图1,当点P与点O重合时,OE与OF的数量关系为 _________ ;
(2)如图2,当P在线段OC上时,猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系?
并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,OE与OF的数量关系为 _________ ;
位置关系为 _________ .
16.己知:
正方形ABCD.
(1)如图①,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?
请直接写出结论.
(2)如图②,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当0°
<α<90°
时,连接BE、DF,此时
(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;
如果不成立,请说明理由.
(3)如图③,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当90°
<α<180°
时,连接BD、DE、EF、FB,得到四边形BDEF,则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形?
17.(2012•葫芦岛二模)已知:
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°
,点M是CE的中点,连接BM.
(1)如图①,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与BM的数量关系为 _________ ;
(2)如图②,点D不在AB上,
(1)中的结论还成立吗?
如果成立,请证明;
如果不成立,说明理由.
18.(2011•南通)如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2).
(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明;
(2)当α=30°
时,求证:
△AOE1为直角三角形.
19.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°
,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为多少?
20.如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°
,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M.
△EGM为等腰三角形;
(2)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论.
21.(2011•辽阳)已知直角梯形ABCD,AB∥CD,∠C=90°
,AB=BC=
CD,E为CD的中点.
(1)如图
(1)当点M在线段DE上时,以AM为腰作等腰直角三角形AMN,判断NE与MB的位置关系和数量关系,请直接写出你的结论;
(2)如图
(2)当点M在线段EC上时,其他条件不变,
(1)中的结论是否成立?
请说明理由.
22.如图,△ABC与△DEC是两个全等的直角三角形,∠ACB=∠CDE=90°
,∠CAB=∠DCE,AB=4,BC=2,△DEC绕点C旋转,CD、CE分别与AB相交于点F、G(都不与A、B点重合),设BG=x.回答下列问题:
(1)设CG=y1,请探究y1与x的函数关系,并直接写出y1的最小值;
(2)设AF=y2,请探究y2与x的函数关系.
23.(2012•丰台区一模)已知:
△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,连接EC,取EC的中点M,连接BM和DM.
(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系是 _________ ;
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
24.若直角三角形三边长为正整数,且周长与面积数值相等,则称此三角形为“完美直角三角形”,求“完美直角三角形”的三边长.
25.以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE,∠BAD=∠CAE=90°
,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当△ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 _________ ,线段AM与DE的数量关系是 _________ ;
(2)将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°
(0<θ<90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
26.(2011•邯郸一模)
(1)如图1,四边形ACDG与四边形ECBH都是正方形,且B,C,D在一条直线上,连接DE并延长交线段AB于点F.
求证:
AB=DE,AB⊥DE;
(2)如果将
(1)中的两个正方形换成两个矩形,如图2,且
=
,则AB与DE的数量关系与位置关系会发生什么变化?
请说明你的看法和理由.
(3)如果将
(1)中的两个正方形换成两个直角三角形,如图3,∠BCE=∠ACD=90°
,且
=k,且请直接写出AB与DE的数量关系与位置关系.
27.锐角为45°
的直角三角形的两直角边长也相等,这样的三角形称为等腰直角三角形.我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形,也可称它为等腰直角三角板.把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置,其中边BC、FP均在直线l上,边EF与边AC重合.
(1)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为
(1)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若不成立,请说明理由.
28.如图1,E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点(点E与A、C不重合),以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE,连接AD,BE.我们探究下列图中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系:
(1)①猜想如图1中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系;
②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中等腰直角三角形改为直角三角形(如图6),且AC=a,BC=b,CD=ka,CE=kb(a≠b,k>0),第
(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?
若成立,以图5为例简要说明理由.
(3)在第
(2)题图5中,连接BD、AE,且a=4,b=3,k=
,求BD2+AE2的值.
29.如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.
(1)若AB=AC,∠BAC=90°
.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),试探讨CF与BD的数量关系和位置关系;
②当点D在线段BC的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中画出相应图形并说明理由;
(2)如图3,若AB≠AC,∠BAC≠90°
,∠BCA=45°
点D在线段BC上运动,试探究CF与BC位置关系.
30.已知△ABC和△ADE分别是以AB.AE为底的等腰直角三角形,以CE,CB为边作平行四边形CEHB,连DC,CH.
(1)如图1,当D点在AB上时,则∠DEH的度数为 _________ ;
CH与CD的数量关系是 _________ ,并说明理由;
(2)将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45°
得图2:
则∠DEH的度数为 _________ ,CH与CD之间的数量关系为 _________ ;
(3)将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转α(O°
<α<45°
)得图3,请探究CH与CD之间的数量关系,并给予证明.
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