高考数学理大一轮讲义第八章+立体几何32份苏教Word文件下载.docx
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1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ×
)
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ×
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°
,则在直观图中,∠A=45°
.( ×
(4)圆柱的侧面展开图是矩形.( √ )
(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )
2.给出下列命题:
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.
其中正确命题的序号是________.
答案 ①
3.表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________.
答案 2
解析 设圆锥的母线为l,圆锥底面半径为r.
则πl2+πr2=3π,πl=2πr,
∴r=1,即圆锥的底面直径为2.
4.(2013·
课标全国Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个
球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为
6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为________cm3.
答案
解析 作出该球轴截面的图象如图所示,依题意BE=2,AE=CE=4,
设DE=x,故AD=2+x,因为AD2=AE2+DE2,解得x=3,故该球
的半径AD=5,
所以V=πR3=.
5.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形,原三角形的
面积为________.
解析 由斜二测画法,知直观图是边长为1的正三角形,其原图是一个底为1,高为的三角形,所以原三角形的面积为.
题型一 空间几何体的结构特征
例1
(1)下列说法正确的是________.(填序号)
①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱;
②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;
③有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
④棱台的各侧棱延长后不一定交于一点.
(2)给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是________.
思维启迪 从多面体、旋转体的定义入手,可以借助实例或几何模型理解几何体的结构特征.
答案
(1)②
(2)0
解析
(1)①错,如图1;
②正确,如图2,其中底面ABCD是矩形,可证明∠PAB,∠PCB都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;
③错,如图3;
④错,由棱台的定义知,其侧棱必相交于同一点.
(2)①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图1所示;
③不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图2所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
思维升华
(1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.
(2)既然棱台是由棱锥定义的,所以在解决棱台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.
(3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到,还要看旋转轴是哪条直线.
下列结论正确的是________.(填序号)
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥;
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥;
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥;
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.
答案 ④
题型二 几何体的直观图
例2
(1)关于斜二测画法所得直观图的说法正确的序号为________.
①直角三角形的直观图仍是直角三角形;
②梯形的直观图是平行四边形;
③正方形的直观图是菱形;
④平行四边形的直观图仍是平行四边形.
(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一
个正方形,则原来的图形是________.
思维启迪 解决有关“斜二测画法”问题时,一般在已知图形中建立直角坐标系,尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中关键线段长度的关系.
答案
(1)④
(2)①
解析
(1)由斜二测画法规则可知,平行于y轴的线段长度减半,直角坐标系变成了斜坐标系,而平行性没有改变,因此,只有④正确.
(2)由直观图可知,在直观图中四边形为正方形,对角线长为,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2.
思维升华
(1)注意原图与直观图中的“三变、三不变”;
“三变”
“三不变”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:
S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.
(1)正三角形AOB的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是________.
(2)
如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其
中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形的形状为________.
答案
(1)a2
(2)菱形
解析
(1)
画出坐标系x′O′y′,作出△OAB的直观图
O′A′B′(如图).D′为O′A′的中点.
易知D′B′=DB(D为OA的中点),
∴S△O′A′B′=×
S△OAB=×
a2=a2.
(2)如图,在原图形OABC中,
应有OD=2O′D′=2×
2
=4cm,
CD=C′D′=2cm.
∴OC=
==6cm,
∴OA=OC,故四边形OABC是菱形.
题型三 几何体的表面积
例3 如图,斜三棱柱ABC—A′B′C′中,底面是边长为a的正三角
形,侧棱长为b,侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°
角,
求此斜三棱柱的表面积.
思维启迪 由题意,可知A′在平面ABC内的射影D在∠BAC的角
平分线上,从而可证得四边形BCC′B′是矩形.
解
如图,过A′作A′D⊥平面ABC于D,过D作DE⊥AB于E,
DF⊥AC于F,
连结A′E,A′F,AD.
则由∠A′AE=∠A′AF,
AA′=AA′,
得Rt△A′AE≌Rt△A′AF,
∴A′E=A′F,∴DE=DF,∴AD平分∠BAC,
又∵AB=AC,∴BC⊥AD,∴BC⊥AA′,
而AA′∥BB′,∴BC⊥BB′,
∴四边形BCC′B′是矩形,
∴斜三棱柱的侧面积为2×
a×
bsin45°
+ab=(+1)ab.
又∵斜三棱柱的底面积为2×
a2=a2,
∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.
思维升华
(1)在求多面体的侧面积时,应对每一侧面分别求解后再相加,对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm,高是cm.
(1)求三棱台的斜高;
(2)求三棱台的侧面积和表面积.
解
(1)设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角
形的中心,如图所示,则O1O=,过O1作O1D1⊥B1C1,OD⊥BC,
则D1D为三棱台的斜高;
过D1作D1E⊥AD于E,则D1E=O1O=,
因O1D1=×
3=,OD=×
6=,
则DE=OD-O1D1=-=.
在Rt△D1DE中,
D1D===(cm).
故三棱台斜高为cm.
(2)设c、c′分别为上、下底的周长,h′为斜高,
S侧=(c+c′)h′=(3×
3+3×
6)×
=(cm2),
S表=S侧+S上+S下=+×
32+×
62=(cm2).
故三棱台的侧面积为cm2,
表面积为cm2.
题型四 空间几何体的体积
例4 如图所示,已知E、F分别是棱长为a的正方体
ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点,求四棱锥C1—B1EDF
的体积.
思维启迪 思路一,先求出四棱锥C1—B1EDF的高及其底面积,
再利用棱锥的体积公式求出其体积;
思路二,先将四棱锥C1—B1EDF化为两个三棱锥B1—C1EF与D—C1EF,再求四棱锥
C1—B1EDF的体积.
解 方法一 连结A1C1,B1D1交于点O1,连结B1D,EF,过O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1,且A1C1⊄平面B1EDF,∴A1C1∥平面B1EDF.
∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.
∵平面B1D1D⊥平面B1EDF,
平面B1D1D∩平面B1EDF=B1D,
∴O1H⊥平面B1EDF,
即O1H为棱锥的高.
∵△B1O1H∽△B1DD1,∴O1H==a.
∴=·
O1H=·
·
EF·
B1D·
a·
a=a3.
方法二 连结EF,B1D.
设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1=a.
由题意得,=
=·
(h1+h2)=a3.
思维升华 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时,常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时,若有一部分为不规则几何体,则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.
(2012·
课标全国改编)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为_________.
解析 由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC底面都是△ABC,O是SC的中点,因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍,
所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的2倍.
在三棱锥O-ABC中,其棱长都是1,如图所示,
S△ABC=×
AB2=,高OD==,
∴VS-ABC=2VO-ABC=2×
×
=.
转化思想在立体几何计算中的应用
典例:
(14分)
如图,在直棱柱ABC—A′B′C′中,底面是边长为3的等
边三角形,AA′=4,M为AA′的中点,P是BC上一点,且由P沿棱
柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC′
的交点为N,求:
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2)PC与NC的长;
(3)三棱锥C—MNP的体积.
思维启迪
(1)侧面展开图从哪里剪开展平;
(2)MN+NP最短在展开图上呈现怎样的形式;
(3)三棱锥以谁做底好.
规范解答
解
(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形,故对角线长为=.
[4分]
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开,如下图,设PC=x,则MP2=MA2+(AC+x)2.
∵MP=,MA=2,AC=3,
∴x=2,即PC=2.
又NC∥AM,故=,即=.
∴NC=.[9分]
(3)S△PCN=×
CP×
CN=×
2×
在三棱锥M—PCN中,M到面PCN的距离,
即h=×
3=.
∴VC—MNP=VM—PCN=·
h·
S△PCN
=×
=.[14分]
温馨提醒
(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”,即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上,将问题转化为平面上的最值问题.
(2)如果已知的空间几何体是多面体,则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开,把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.
如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开,把曲面上的问题转化为平面上的问题.
(3)本题的易错点是,不知道从哪条侧棱剪开展平,不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图形向平面图形的转化意识.
方法与技巧
1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面及展开图形状.
2.要注意将空间问题转化为平面问题.
3.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.
4.一些几何体表面上的最短距离问题,常常利用几何体的展开图解决.
失误与防范
1.几何体展开、折叠问题,要抓住前后两个图形间的联系,找出其中的量的关系.
2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;
球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
A组 专项基础训练
(时间:
40分钟)
一、填空题
1.下列叙述中正确的个数是________.
①相等的角,在直观图中仍相等;
②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等;
③若两条线平行,在直观图中对应的线段仍平行;
④若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直;
⑤全等的三角形的直观图仍全等.
答案 1
解析 由斜二测画法知③正确,其余均错误.
2.
已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如
图所示),则三棱锥B′—ABC的体积为________.
解析 VB′—ABC=×
BB′×
S△ABC
3×
12=.
3.
如图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于O,剪
去△AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠,使OA、OB重合,则以A、B、
C、D、O为顶点的四面体的体积为________.
解析 折叠后的四面体如图所示.
OA、OC、OD两两相互垂直,且OA=OC=OD=2,体积V=
S△OCD·
OA=×
(2)3=.
4.(2012·
山东改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F
分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为________.
解析
AB=×
1×
1=.
5.
已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为120°
,底面圆的
半径为1,则该圆锥的体积为________.
解析 因为扇形弧长为2π,所以圆锥母线长为3,高为2,所求体积V=×
π×
12×
2=.
6.如图所示,E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面
BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投
影是________.(填序号)
答案 ②
解析 四边形在面DCC1D1上的投影为②:
B在面DCC1D1上的投影为C,F、E在面DCC1D1上的投影应在边CC1与DD1上,而不在四边形的内部,故①③④错误.
7.已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________.
答案 3π
如图,构造正方体ANDM—FBEC.因为三棱锥A—BCD的所有棱
长都为,所以正方体ANDM—FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接
球的半径为.
易知三棱锥A—BCD的外接球就是正方体ANDM—FBEC的外接球,所
以三棱锥A—BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为S球=4π2=3π.
8.(2013·
江苏)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=________.
答案 1∶24
解析 设三棱锥F-ADE的高为h,
则==.
二、解答题
9.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,
以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O
为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.
解 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,
由已知条件,
解得r=,l=4,S=πrl+πr2=10π,
h==,V=πr2h=π.
10.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.
解 如图所示,三棱台ABC—A1B1C1中,O、O1分别为两底面中心,D、D1分别为BC和
B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.
由题意知A1B1=20,AB=30,
则OD=5,O1D1=,
由S侧=S上+S下,得
(20+30)×
3DD1=×
(202+302),
解得DD1=,在直角梯形O1ODD1中,
O1O==4,
所以棱台的高为4cm.
B组 专项能力提升
(时间:
35分钟)
1.(2012·
江苏)
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,
AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为________cm3.
答案 6
解析 连结AC交BD于O,在长方体中,
∵AB=AD=3,∴BD=3且AC⊥BD.
又∵BB1⊥底面ABCD,∴BB1⊥AC.
又DB∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D1D,
∴AO为四棱锥A-BB1D1D的高且AO=BD=.
∵=BD×
BB1=3×
2=6,
AO
6×
=6(cm3).
如图所示,已知三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面
ABC,则三棱锥B1—ABC1的体积为________.
解析 三棱锥B1—ABC1的体积等于三棱锥A—B1BC1的体积,三棱锥
A—B1BC1的高为,底面积为,故其体积为×
3.在四棱锥E—ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M为AE的中点,设E—ABCD的体积为V,那么三棱锥M—EBC的体积为________.
答案 V
解析 设点B到平面EMC的距离为h1,点D到平面EMC的距离为h2.
连结MD.
因为M是AE的中点,
所以VM—ABCD=V.
所以VE—MBC=V-VE—MDC.
而VE—MBC=VB—EMC,VE—MDC=VD—EMC,
所以==.
因为B,D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离,而AB∥CD,且2AB=3CD,所以=.
所以VE—MBC=VM-EBC=V.
4.
如图,已知球O的面上有四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,
DA=AB=BC=,则球O的体积等于________.
答案 π
解析 以DA,AB,BC为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O
的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,所以
=2R,所以R=,故球O的体积V==π.
已知正方形ABCD的边长为2,将△ABC沿对角线AC折起,使平
面ABC⊥平面ACD,得到如图所示的三棱锥B-ACD.若O为AC边
的中点,M,N分别为线段DC,BO上的动点(不包括端点),且BN
=CM.设BN=x,则三棱锥N-AMC的体积y=f(x)的最大值为________.
解析 由平面ABC⊥平面ACD,且O为AC的中点可知BO⊥平面ACD,易知BO=2,故三棱锥N-AMC的高为ON=2-x,S△AMC=·
MC·
AD=x,故三棱锥N-AMC的体积为y=f(x)=·
(2-x)·
x=(-x2+2x)(0<
x<
2)=-(x-1)2+,
∴x=1时,ymax=.
6.已知圆台的母线长为4cm,母线与轴的夹角为30°
,上底面半径是下底面半径的,求这个圆台的侧面积.
解 如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面,
由题意知AC=4cm,∠ASO=30°
,
O1C=OA,设O1C=r,则OA=2r,
又==sin30°
∴SC=2r,SA=4r,
∴AC=SA-SC=2r=4cm,∴r=2cm.
所以圆台的侧面积为S=π(r+2r)×
4=24πcm2.
7.已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其内部有一个高为x的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?
解
(1)作圆锥的轴截面,如图所示.
因为=,所以r=R-x,
所以S圆柱侧=2πrx
=2πRx-(0<
H).
(2)因为-<
0,
所以当x==时,S圆柱侧最大.
故当x=,
即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大.
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- 高考 学理 一轮 讲义 第八 立体几何 32 份苏教
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