贾哥高等数值分析第一次实验Word文档格式.docx
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w=eye(1,1000);
I=eye(1000);
H=I-w*w'
;
A=H'
*D*H;
%生成1000阶的对称矩阵
b=rand(1000,1);
x=zeros(1000,1);
%初始解
r=b-A*x;
%初始残量
p=r;
%初始搜索方向
k=0;
semilogy(0,norm(r),'
r-'
);
holdon;
whilek<
1000
alpha=r'
*p/(p'
*A*p);
x=x+alpha*p;
rold=r;
r=rold-alpha*A*p;
beta=r'
*r/(rold'
*rold);
p=r+beta*p;
semilogy(k,norm(r),'
holdon;
k=k+1;
end
%条件数k=100
D=diag(linspace(1,100,1000));
b-'
%条件数k=10
D=diag(linspace(1,10,1000));
black-'
title('
条件数的大小对CG法收敛特性的影响'
xlabel('
迭代步数'
)
ylabel('
残差对数log(||rk||)'
2.构造特殊特征值分布
构造对称正定矩阵A1和A2。
D1=diag(linspace(1,1000,1000))时,条件数k=1000,特征值均匀分布;
D2=diag([1,linspace(500,600,998),1000])时,条件数仍为k=1000,最大特征值1000远大于第二个最大特征值600,最小特征值1远小于第二个最小特征值500。
图2:
矩阵特征值分布对CG算法收敛性的影响
图2
如图2所示,A1和A2的条件数均为1000,但A2的收敛速度远高于A1。
这是因为,在CG算法中,系数矩阵的中间特征值分布对CG的收敛速度有巨大的影响。
经过几步后,CG的收敛因子将是:
=0.046
而非:
=0.939
因此,A2矩阵的收敛速度快得多。
附matlab程序1-2:
%条件数k=1000,特征值均匀分布
%条件数k=1000,最大特征值远大于第二个最大特征值,最小特征值远小于第二个最小特征值
D=diag([1,linspace(500,600,998),1000]);
特征值分布对CG法收敛特性的影响'
第二题
对于同样的例子,比较CG和Lanczos的计算结果
采用和第一题相同的构造方法,构造三个1000阶正定对称矩阵,使条件数k分别为:
1000,100,10。
分别采用CG和Lanczos方法计算Ax=b,且都设置停机准则为:
norm(rk)<
1e-8。
图3,图4,图5分别为3种条件数下的CG法与Lanczos法比较。
图3
图4
图5
两种算法的收敛情况见表1。
表1
对比
Lanczos
CG
条件数
迭代步数
时间/s
243
0.82
267
0.41
100
124
0.43
134
0.21
10
41
0.24
43
0.07
可以看到,Lanczos的迭代步数比CG小,说明Lanczos收敛更快,但是其运算时间却明显大于CG,因此总体上CG的收敛效率要比Lanczos高。
因此在计算对称正定问题时,优先选用CG算法。
附matlab程序2:
n=1000;
D=diag(linspace(1,10,n));
%条件数分别取1000,100,10
w=eye(1,n);
I=eye(n);
b=rand(n,1);
X0=zeros(n,1);
x=X0;
r0=b-A*X0;
R0=r0;
%======Lanczos解法========
tic
y=norm(r0);
F
(1)=norm(r0);
Q(:
1)=r0/norm(r0);
r0=A*Q(:
1);
alpha
(1)=Q(:
1)'
*r0;
r0=r0-alpha
(1)*Q(:
bita
(1)=norm(r0);
2)=r0/bita
(1);
%给各变量赋初始值
forj=2:
nr0=A*Q(:
j)-bita(j-1)*Q(:
j-1);
alpha(j)=Q(:
j)'
r0=r0-alpha(j)*Q(:
j);
ifnorm(r0)>
1
bita(j)=norm(r0);
Q(:
j+1)=r0/bita(j);
end
fork=1:
j
T(k,k)=alpha(k);
j-1
T(k+1,k)=bita(k);
T(k,k+1)=bita(k);
%生成三对角阵T
e
(1)=1;
e(2:
j)=0;
y1=T\(y*e)'
W=Q(:
1:
j);
X=X0+W*y1;
r=norm(b-A*X);
%求解第k步生成的X及r
F(j)=r;
ifr/norm(b)<
1e-8
break;
end%r的精度达到要求后停止迭代,得到最终X
end
semilogy(F,'
r'
j%迭代步数
toc
%=======CG算法======
p=R0;
fori=1:
n
R=R0;
a=(R'
*R)/(p'
*(A*p));
x=x+a*p;
R=R-a*(A*p);
G(i)=norm(R);
ifG(i)/norm(b)<
=1e-8
beta=(R'
*R)/(R0'
*R0);
p=R+beta*p;
R0=R;
semilogy(G,'
b'
i%迭代步数
legend('
Lanczos'
'
CG'
Lanczos与CG算法收敛性对比,条件数k=10'
第三题
当A只有m个不同特征值时,对于大的m和小的m,观察有限精度下Lanczos方法如何收敛。
分别构建m=10、50、100、1000四个矩阵A,设置停机准则为:
sqrt(eps),分别计算Ax=b的解,如图6所示。
图6
各个m值达到收敛时迭代步数如表2所示。
表2
m
500
800
950
990
16
28
56
119
242
可见,相同的特征值个数越多,Lanczos收敛速度越快,而且只要m值稍小于矩阵阶数,收敛速度就明显提高,如图中m=990比m=1000的收敛速度快了一倍。
事实上,由于所构造的矩阵条件数都不坏(最大为1000),因此算法的收敛步数远小于m值。
附matlab程序3:
5
M=[500,800,950,990,1000];
m=M(i);
%m=500、800、950、990、1000
D=diag([(1001-m)*ones(1,n-m),linspace(1001-m,1000,m)]);
F(j,i)=r;
sqrt(eps)
clearey1WXrT
semilogy(F(:
1),'
2),'
3),'
y'
4),'
black'
5),'
g'
m=500'
m=800'
m=950'
m=990'
m=1000'
不同特征值个数的Lanczos收敛性'
第四题
取初始值近似解为零向量,右端项b仅由A的m个不同特征向量的线性组合表示时,Lanczos方法的收敛性如何?
数值计算中方法的收敛性和m的大小关系如何?
对任意一个随机的矩阵P进行QR分解,可以得到一个正交阵Q,再令A=QT*D*Q得到系数矩阵A。
则b可以由Q的前m个列向量相加得到。
停机标准:
其matlab程序与第三题基本相同,只是前面构造A和b的方式略有不同,附matlab程序5中只写出了不同的部分。
b由m个不同特征向量组成时的Lanczos收敛情况如图7所示。
图7
m取不同值时的收敛步数见表3。
表3
50
65
80
300
6
8
68
129
169
188
192
可见,随着m的增大,迭代步数逐渐增加。
理论上,当b仅由A的m个不同特征向量的线性组合表示时,Lanczos方法必至多m步收敛。
但实际上,当m较大时,由于精度等方面的限制,m个特征向量并不都线性无关,所以,当m较大时,迭代步数可能比m小的多,比如本例中m>
300后,迭代步数远小于m。
而同样由于计算精度限制,在m较小时,迭代步数可能溢出m步,比如本例m=65和80的情形。
另外,m值大于一定值后,随着m的增加,收敛步数逐渐趋于定值,可能的原因是:
随着m的增大,特征向量线性相关性逐渐增强。
附matlab程序4:
D=diag(linspace(1,1000,n));
P1=rand(n);
[Q1,R]=qr(P1);
A=Q1'
*D*Q1;
[V,D1]=eig(A);
7
M=[10,50,65,80,300,800,1000];
b=m*mean(V(:
m),2);
ifr<
clearey1XrT
6),'
m'
7),'
c'
m=10'
m=50'
m=65'
m=80'
m=300'
b由不同特征向量个数组成时Lanczos的收敛性'
第五题
构造对称不定矩阵,验证Lanczos方法的近似中断,观察收敛曲线中的峰点个数和特征值的分布关系;
观测当出现峰点时,MINRES方法的收敛形态怎样。
分别构建负特征值个数为m=0、10、100、500矩阵1000阶系数矩阵A,用Lanczos算法和MINRES算法求解Ax=b,设置停机准则:
1e-6。
图8,9,10,11分别为m取0,10,100,500时的对比图。
图8
图9
图10
图11
通过以上实验可以看到,当负特征值个数不超过特征值总个数一半的时候,负特征值越多,峰点个数越多。
实际上,更一般的结论是,当正负特征值个数相差较多时,峰点个数较少,当正负特征值个数相当时,峰点个数最多。
Lanczos算法收敛曲线发生了非常大的波动,存在多个峰点,但相应的MINRES算法的收敛曲线却十分稳定,没有震荡。
两种算法所需的迭代次数相近(注:
m=500时均没有在1000步内达到收敛)。
附matlab程序5:
(Lanczos算法同第四题)
%======MINRES算法=====
M=[1,10,100,500];
m=M
(1);
D=diag([linspace(-m,-1,m),linspace(1,1000-m,n-m)]);
A=H'
X0=zeros(n,1);
x=X0;
r0=b-A*X0;
R0=r0;
y=norm(r0);
%Lanczos过程
G
(1)=norm(r0);
r0=A*Q(:
alpha
(1)=Q(:
r0=r0-alpha
(1)*Q(:
bita
(1)=norm(r0);
500r0=A*Q(:
%对T进行QR分解
[Qk,Rk]=qr(T);
gk=Qk'
*norm(r0)*e'
yk=Rk\gk;
xk=Q(:
j)*yk;
rk=abs(gk(end));
G(j)=rk;
ifrk<
1e-6;
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- 高等 数值 分析 第一次 实验
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