等价关系离散数学分解文档格式.docx

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（1）xA,[x]是A的非空子集;

（2）x,yA,若<

R,则[x]=[y];

（3）x,yA,若<

R,则[x]与[y]不交;

（4）∪{[x]|xA}=A.

证

（1）由等价类的定义可知,xA,有:

[x]A.

由“等价关系的自反性”可知:

x[x],即:

[x]非空.

（2）任取z,则有

z[x]<

x,z>

R<

z,x>

R（因为R是对称的）

因此有

<

R∧<

z,y>

R（因为R是传递的）

<

y,z>

从而证明了z[y].综合上述,必有:

[x][y].

同理可证:

[x][y].这就得到了:

[x]=[y].

（3）假设:

[x]∩[y].

由假设可知:

z[x]∩[y],即:

z[x]∧z[y].

所以,<

R和<

R.

由“R的对称性”和“<

R”可知:

再由R的对称性可得:

这就与“已知条件:

R”相矛盾.

所以,命题成立,即:

[x]∩[y]=.

（4）先证:

∪{[x]|xA}A

证:

（4.1）任取y,

y∪{[x]|xA}

x（xA∧y[x]）

yA

从而有:

再证:

A∪{[x]|xA}.

（4.2）任取y,

yAy[y]∧yA

　　y∪{[x]|xA}

A∪{[x]|xA}成立.

综合上述得:

∪{[x]|xA}=A.

3、定义4.20设R为非空集合A上的等价关系,R所有等价类所组成集合称为A关于R的商集,记作A/R,即:

A/R＝{[x]R|（一切x∈A）}

例4.17中的商集为:

{{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}.

和等价关系及商集有密切联系的概念是集合的划分.

定义7.18设A为非空集合,若A的子集族（P（A））,是A的子集构成的集合）满足下面的条件:

（1）

（2）xy（x,y∧xyx∩y=）

（3）∪=A

则称是A的划分（Partition）,称中的元素为A的划分块.

例7.17设A={a,b,c,d},给定1,2,3,4,5和6,如下:

1={{a,b,c},{d}}

2={{a,b},{c},{d}}

3={{a},{a,b,c,d}}

4={{a,b},{c}}

5={,{a,b},{c,d}}

6={{a,{a}},{b,c,d}}

解答：

1是A的划分;

2是A的划分

不是A的划分,3中的子集中有公共元素a;

不是A的划分,∪4A

不是A的划分,5中含有空集;

不是A的划分,6根本不是A的子集族

商集是A的一个划分,并且不同的商集将对应于不同的划分.任给A的一个划分,定义A上的关系R如下:

|x,yA∧x与y在的同一划分块中}

不难证明:

R为A上的等价关系,且该等价关系所确定的商集就是,因此,A上的等价关系与A的划分是一一对应的.

即给定集合A上的一个等价关系R，由R可以唯一产生集合A的一个划分＝A/R，反之，对集合A的任一划分＝{A1,A2,…,Ak}，可唯一对应集合A上的一等价关系R＝（A1×

A1）∪（A2×

A2）∪…∪（Ak×

Ak）。

例4.20给出A={1,2,3}上所有的等价关系.

解如下图,先做出A的所有划分.

这些划分与A上的等价关系之间的一一对应是:

1对应全域关系EA,5对应恒等关系IA,2,3和4分别对应于等价关系R2,R3和R4,其中:

R2={<

2,3>

<

3,2>

}UIA

R3={<

1,3>

3,1>

R4={<

1,2>

2,1>

了解偏序关系的基本概念及例子；

给定A上的偏序关系≤，画出偏序集的哈斯图，反之给定偏序集<

A,≤>

的哈斯图，求A和≤的集合表达式；

确定偏序集的<

的任意非空子集B的最大元，最小元，极大元，极小元，上界，下界，上确界，下确界。

掌握偏序关系的有关基本概念；

理解和判断偏序关系的八种特殊元素。

偏序关系的各种性质的判断和证明；

如何正确的理解和判断偏序关系的八种特殊元素。

课题导入

下面介绍另一种重要的关系——偏序关系.

定义4.22设R为非空集合A上的关系.如果R是自反的、反对称的和传递的,则称R为A上的偏序关系,记作.

设为偏序关系,如果<

则记作xy,读作“小于或等于”.

注意:

这里的“小于或等于”不是指数的大小,而是在偏序关系中的顺序性.

x“小于或等于”y的含义是:

依照这个序,x排在y的前边或者x就是y.

不同偏序的定义有不同的序解释.

例如整除关系是偏序关系,36的含义是3整除6;

大于或等于关系也是偏序关系,针对这个关系写54是说大于或等于关系中5排在4的前边,也就是5比4大.

定义4.23设R为非空集合A上的偏序关系,定义

（1）x,yA,x<

yxy∧xy;

（2）x,yA,x与y可比xy∨yx.

其中:

x<

y读作x“小于”y.这里所说的“小于”是指在偏序中x排在y的前边.

有以上两个定义可知:

在具有偏序关系的集合A中任取两个元素x和y,可能有下述几种情况发生:

x<

y（或y<

x）,x=y,x与y不是可比的

例如:

A={1,2,3},是A上的整除关系,则有:

1<

2,1<

3,

1=1,2=2,3=3,

2和3不可比.

定义4.24设R为非空集合A上的偏序关系,如果R是反自反的、反对称的和传递的,则称R为A上的拟序关系，简称为拟序，记作<

定义4.25设R为非空集合A上的偏序关系,如果x,yA,x与y都是可比的,则称R为A上的全序关系（或线序关系）.

数集上的小于等于关系是全序关系,因为任何两个数总是可比大小的.

一般来说,整除关系不是全序关系.如:

集合{1,2,3}上的整除关系就不是全序关系,因为2和3不可整除.

定义7.22集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集,记作

<

A,>

.

整数集合Z和数的小于等于关系构成偏序集

Z,>

集合A的幂集P（A）和包含关系R构成偏序集

P（A）,R>

利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性可简化偏序关系的关系图,该关系图称为哈斯图（HasseDiagram）.

为了说明哈斯图的画法,先定义偏序集中顶点之间的覆盖关系.

定义7.23设<

为偏序集,x,yA,如果x<

y且不存在zA,使得:

z<

y,则称y覆盖x.

{1,2,4,6}集合上的整除关系,有2覆盖1,4和6都覆盖2.但,4不覆盖1,因为有1<

2<

4,6也不覆盖4,因为4<

6不成立.

在画偏序集<

的哈斯图时,首先适当排列顶点的顺序,使得:

x,yA,

若x<

y,则将x画在y的下方.

对于A中的两个不同元素x和y,如果y覆盖x,就用一条线段连接x和y.

例4.22画出偏序集<

{1,2,3,4,5,6,7,8,9},R整除>

和<

P（{a,b,c}）,R>

的哈斯图.

解两个哈斯图如右图所示.

例4.23已知偏序集<

A,R>

的哈斯图如下图,试求出集合A和关系R的表达式.

A={a,b,c,d,e,f,g,h}

R={<

b,d>

b,e>

b,f>

c,d>

c,e>

c,f>

d,f>

e,f>

g,h>

}∪IA

下面考虑偏序集中的一些特殊元素.

定义4.28设<

为偏序集,BA,yB.

（1）若x（xB→yx）成立,则称y为B的最小元;

（2）若x（xB→xy）成立,则称y为B的最大元;

（3）若x（xB∧xy→x=y）成立,则称y为B的极小元;

（4）若x（xB∧yx→x=y）成立,则称y为B的极大元.

从以上定义可以看出:

最小元与极小元是不一样的.

最小元是B中最小的元素,它与B中其它元素都可比;

极小元不一定与B中元素都可比,只要没有比它小的元素,它就是极小元.

对于有穷集B,极小元一定存在,而且还可能有多个.

最小元不一定存在,若存在,则它一定是唯一的.

若B中只有一个极小元,则它一定是B的最小元.

类似的,极大元与最大元也有这种区别.

例7.21设偏序集<

A,<

>

如下图所示,求A的极小元,最小元,极大元,最大元.

解极小元:

a,b,c,g.

极大元:

a,f,h.

没有最小元与最大元.

由这个例子可以知道,哈斯图中的孤立顶点既是极小元也是极大元.

定义7.25设<

为偏序集,BA,yA.

（1）若x（xB→xy）成立,则称y为B的上界;

（2）若x（xB→yx）成立,则称y为B的下界;

（3）令C={y|y为B的上界},则称C的最小元为B的最小上界或上确界;

（4）令D={y|y为B的下界},则称D的最大元为B的最大下界或下确界;

由上面定义可知:

B的最小元一定是B的下界,同时也是B的最大下界;

B的最大元一定是B的上界,同时也是B的最小上界.

反过来不一定正确,B的下界不一定是B的最小元,因为它可能不是B中的元素,B的上界也不一定是B的最大元.

B的上界,下界,最小上界,最大下界都可能不存在.如果存在,最小上界与最大下界是唯一的.

4良序集

若<

是偏序集，对A的任何一个非空子集都有最小元，则“≤”称为良序关系，<

称为良序集。

“≤”是良序关系“≤”是全序关系“≤”是偏序关系。

熟练掌握函数的基本概念，函数的复合运算，逆运算的计算

给定f是从集合A到B的二元关系，判断f是否为从A到B的函数f：

AB，若是，要能用按定义证明法证明f：

AB是否为单射，满射，双射；

熟练掌握函数的复合运算，逆运算的计算

函数的各种性质的判断和证明；

如何正确地判断三种特殊函数

函数（Function）是一种特殊的二元关系.

5.1函数的定义与性质

定义5.1设f为二元关系,若xdomf,都存在唯一的yranf,使xfy成立,则称f为函数（或映射）.

对于函数f,如果有xfy,则记作y=f（x）,并称y为f在x的值.

由于函数是集合,可用集合相等来定义函数的相等.

定义5.2设F和G为函数,则,F=GFG∧GF.

由以上定义可知,如果两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件:

1）.domF=domG

2）.xdomF=domG,都有:

F（x）=G（x）

函数F（x）=（x2-1）/（x+1）,G（x）=x-1是不相等的,因为domF={x|xR∧x-1},domG=R.

定义5.3设A和B为集合,如果f为函数,且domf=A,ranfB,则称f为从A到B的函数,记作f:

A→B.

例如f:

N→N,f（x）=2x是从N到N的函数,

　　g:

N→N,g（x）=2也是从N到N的函数.

定义5.4所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“B上A”.符号化表示为BA={f|f:

A→B}.

例5.2设A={1,2,3},B={a,b},求BA.

解BA={f0,f1,…,f7},其中

f0={<

1,a>

2,a>

3,a>

}　f1={<

3,b>

}

f2={<

2,b>

}f3={<

f4={<

1,b>

}f5={<

f6={<

}f7={<

由排列组合知识不难证明:

若|A|=m,|B|=n,且m,n>

0,则|BA|=nm.

在例5.2中,|A|=3,|B|=2,所以,|BA|=23=8.

当A或B中至少有一个集合是空集时,可以分成下面三种情况:

1）.A=且B=,则BA=={}.

2）.A=且B,则BA=B={}.

3）.A且B=,则BA=A=.

5.1.2函数的像与完全原像.

定义5.6设函数f:

A→B,A1A,B1B.

（1）令f（A1）={f（x）|xA1},称f（A1）为A1在f下的像.特别的,当A1=A时称f（A）为函数的像.

（2）令f-1（B1）={x|xA∧f（x）B1},称f-1（B1）为B1在f下的完全原像.

这里需区别:

函数的值和像.函数值f（x）B,而

像f（A1）B.

假设:

B1B,显然,B1在f下的完全原像f-1（B1）是A的子集.

考虑A1A,那么,f（A1）B.

f（A1）的完全原像就是f-1（f（A1））.

一般有:

f-1（f（A1））A1,A1f-1（f（A1））.

函数f:

{1,2,3}→{0,1},满足:

f

（1）=f

（2）=0,f（3）=1

令A1={1},那么,有:

f-1（f（A1））=f-1（f（{1}））=f-1（{0}）={1,2}

这时,A1f-1（f（A1））.

例8.3设f:

N→N,且

A1={0,1},B1={2},那么,有

f（A1）=f（{0,1}）={f（0）,f

（1）}={0,2}

f-1（B1）=f-1（{2}）={1,4}

下面讨论函数的性质.

定义5.7设f:

A→B,

（1）若ranf=B,则称f:

A→B是满射的（Onto）;

（2）若yranf,都存在唯一的xA,使得:

f（x）=y,则称f:

A→B是单射的（One-to-one）;

　　（3）若f既是满射又是单射,则称f是双射的（或一一映射）（One-to-oneCorrespondence）.

由定义不难看出:

若f:

A→B是满射的,则对于yB,都存在xA,使得:

f（x）=y;

A→B是单射的,则对于x1,x2A,x1x2,一定有:

f（x1）f（x2）;

若x1,x2A,有:

f（x1）=f（x2）,则有:

x1=x2.

例5.4判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?

（1）f:

R→R,f（x）=-x2+2x-1

（2）f:

Z+→R,f（x）=lnx,Z+为正整数集

　（3）f:

R→Z,f（x）=x

　　　（4）f:

R→R,f（x）=2x+1

　（5）f:

R+→R+,f（x）=（x2+1）/x,其中R+为正实数集.

解

（1）f:

R→R,f（x）是开口向下的抛物线,非单调函数,并且在x=1点取得极大值0,它既不是单射,也不是满射的;

（2）f:

Z+→R,f（x）是单调上升,单射,但不是满射的,因为ranf={ln1,ln2,…}R;

（3）f:

R→Z,f（x）是满射的,不是单射的,例如:

f（1.5）=f（1.2）=1;

（4）f:

R→R,f（x）=2x+1是双射的;

（5）f:

R+→R+,f（x）=（x2+1）/x不是单射的,也不是满射的.

当x→0+时,f（x）→+∞;

当x→+∞时,f（x）→+∞;

在x=1处函数f（x）取得极小值f

（1）=2.f

（2）=f（1/2）=2.5.

例5.5对于以下各题给定的A、B和f,判断是否构成函数f:

A→B.如果是,说明f:

A→B是否为单射,满射,双射的,并根据要求进行计算.

（1）A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={<

1,8>

<

3,9>

4,10>

2,6>

5,9>

}

（2）A,B同

（1）,f={<

1,7>

4,5>

1,9>

5,10>

（3）A,B同

（1）,f={<

3,10>

4,9>

（4）A=B=R,f（x）=x3

（5）A=B=R+,f（x）=x/（x2+1）

（6）A=B=RR,f（<

x,y>

）=<

x+y,x-y>

令L={<

|x,yR∧y=x+1},计算f（L）

（7）A=NN,B=N,f（<

）=|x2-y2|.计算f（N{0}）,f-1（{0}）

解

（1）能.f:

A→B既不是单射,也不是满射.

（2）不能.<

f和<

与函数定义矛盾.

（3）不能.因为domf={1,2,3,4}A.

（4）能.f:

A→B是双射的.

（5）能.F:

A→B既不是单射,也不是满射的.因为该函数在x=1取得极大值f

（1）=1/2.函数不是单调的,且ranfR+.

（6）能.F:

f（L）={<

2x+1,-1>

|xR}=R{-1}

（7）能.F:

A→B既不单射,也不满射.因为f（<

1,1>

）=f（<

2,2>

）=0,且2ranf.

f（N{0}）={n2-02|nN}={n2|nN},

　　　　　f-1（{0}）={<

n,n>

|nN}.

下面定义一些常用的函数.

定义8.7

（1）设f:

A→B,若yB,xA,都有:

f（x）=y,则称f:

A→B是常函数;

（2）xA,都有:

IA（x）=x,称恒等关系IA为A上的恒等函数;

（3）设<

B,>

为偏序集,f:

A→B

　　　x1,x2A,若x1<

x2,有:

f（x1）f（x2）,则称f为单调递增的

f（x1）<

f（x2）,则称f为严格单调递增的

类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数

（4）设A为集合,对于任意的A’A,A’的特征函数（CharacteristicFunction）XA’:

A→{0,1}定义为（读:

Kai）

（5）设R是A上的等价关系,令g:

A→A/R,g（a）=[a],aA,称g是从A到商集A/R的自然映射.

实数集R上的函数f:

R→R,f（x）=x+1,它是严格单调递增的.

单调函数可以定义于一般的偏序集上.

例如,给定偏序集<

P（{a,b}）,R>

{0,1},>