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(3)由起始位置运动到x=12cm处所需的最少时间;
(4)在x=12cm处,物体的速度、动能以及系统的势能和总能量。
3、如右图所示,绝热容器上端有一截面积为S的玻璃管,管内
放有一质量为m的光滑小球作为活塞。
容器内储有体积为V、
压强为p的某种气体,设大气压强为po。
开始时将小球稍向下移,然后放手,则小球将上下振动。
如果测出小球作谐振动时的周期T,就可以测定气体的比热容比丫。
试证明
42mV
~小2十2
pST
(假定小球在振动过程中,容器内气体进行的过程可看作准静态绝热过程。
时需Sr彳
练习二
一、选择题
1、一弹簧振子,当把它水平放置时,它可以作简谐振动。
若把它竖直放置或放在固定的
光滑斜面上,试判断下面哪种情况是正确的:
()
(A)竖直放置可作简谐振动,放在光滑斜面上不能作简谐振动
(B)竖直放置不能作简谐振动,放在光滑斜面上可作简谐振动
(C)两种情况都可作简谐振动
(D)两种情况都不能作简谐振动
2、在阻尼振动中,振动系统()
(A)只是振幅减小
(B)只是振动变慢
(C)振幅既不减小,振动也不变慢
(D)振幅减小且振动变慢
3、下列选项中不属于阻尼振动基本形式的是()
(A)强阻尼
(B)欠阻尼
(C)过阻尼
(D)临界阻尼
4、受迫振动的振幅依赖于()
(A)振子的性质
(B)振子的初始状态
(C)阻尼的大小
(D)驱动力的特征
二、填空题
1、实际上,真实的振动系统总会受到阻力作用而作振幅不断减小的阻尼振动,这是因为
阻尼的存在使系统的能量逐渐减少,能量损失的原因通常有两种:
和。
2、在灵敏电流计等精密仪表中,为使人们能较快地和较准确地进行读数测量,常使电流
计的偏转系统工作在状态下。
3、试分别写出简谐振动、阻尼振动和受迫振动的运动微分方程、
、。
4、在阻尼很小的情况下,受迫振动的频率取决于驱动力的频率,当驱动力的频率逐渐趋
近于振动系统的固有频率时,振幅达到最大值,这种现象叫做。
三、计算题
1、质量为m=5.88kg的物体,挂在弹簧上,让它在竖直方向上作自由振动。
在无阻尼情况下,
其振动周期为T=0.4nS;
在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中,它的振动周期为T=0.5
ns。
求当速度为0.01m/s时,物体在阻尼介质中所受的阻力。
2、一摆在空中振动,某时刻,振幅为Ao=O.O3m,经ti=10s后,振幅变为Ai=0.01m。
问:
由振幅为Ao时起,经多长时间,其振幅减为A2=0.003m?
3、火车在行驶,每当车轮经过两根铁轨的接缝时,车轮就受到一次冲击,从而使装在弹簧
上的车厢发生上下振动。
设每段铁轨长12.6m,如果车厢与载荷的总质量为55t,车厢下的
减振弹簧每受10kN(即1t质量的重力)的载荷将被压缩0.8mm。
试问火车速率多大时,
振动特别强?
(这个速率称为火车的危险速率。
)目前,我国铁路提速已超过140km/h,试
问如何解决提速问题。
时磊忖呎…
练习三
、选择题
1、下列关于LC振荡电路中说法不正确的是()
(A)电路中电流和电容器上的电量的变化也是一种简谐振动
(B)电容器放电完毕时,电路中的电流达到最大值
(C)电场能和磁场能相互转化,但总的电磁能量保持不变
(D)电容器充电时,由于线圈的自感作用,电流只能逐渐增大
2、LC振荡电路中电荷和电流的变化,下列描述不正确的是()
(A)电荷和电流都作谐振动
(B)电荷和电流都作等幅振动
(C)电荷的相位比电流的相位超前n/2
电荷和电流振动的频率相同
(SI),则它们的合振动的振动方程应为(
4、已知两同方向同频率的简谐振动的振动方程分别为XiAcos(t—)(SI),
3
X2A2cos(t6)(SI),则它们的合振幅应为()
(A)AA(B)A1A2(C)jA2A;
(D)Ja;
A;
1、两个同方向同频率的简谐振动,其振动表达式分别为:
21
x1610cos(5t2)(si),X22102cos(5t)(SI)
它们的合振动的振辐为,初相为。
2、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们的振动方程分别为
)(SI)
19
x-i0.05cos(t)x20.05cos(t
4(SI),12
其合成运动的运动方程为x=
3、已知一物体同时参与两个同方向同频率的简谐振动,这两个简谐振动的振动曲线如下
图所示,其中A1>
A2,则该物体振动的初相为。
4、两个同方向同频率的简谐振动,其合振动的振幅为20cm,与第一个简谐振动的相位
差为-1=/6。
若第一个简谐振动的振幅为10'
3cm=17.3cm,则第二个简谐振动的振幅
为——cm,第一、二两个简谐振动的相位差i2为。
三、计算题
1、由一个电容C=4.0卩F的电容器和一个自感为L=10mH的线圈组成的LC电路,当电容器上电荷的最大值Qo=6.0X10-5C时开始作无阻尼自由振荡,试求:
(1)电场能量和磁场能量的最大值;
(2)当电场能量和磁场能量相等时,电容器上的电荷量。
2、三个同方向、同频率的谐振动为
X1
0.1cos(10
6)(m)
X2
0.1cos(10t
2)(m)
X3
5
)(m)
试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。
3、当两个同方向的谐振动合成为一个振动时,其振动表达式为
xAcos2.1tcos50.0t
式中t以s为单位。
求各分振动的角频率和合振动的拍的周期。
第十一章
0.5s,振幅为1m,波长为2m,
1、有一平面简谐波沿Ox轴的正方向传播,已知其周期为
且在t0时坐标原点处的质点位于负的最大位移处,则该简谐波的波动方程为
2、已知一简谐波在介质A中的传播速度为u,若该简谐波进入介质B时,波长变为在介质
A中的波长的两倍,则该简谐波在介质B中的传播速度为o
3、已知一平面简谐波的表达式为y0.25cos(125t0.37x)(SI),贝U
x1=10m点处质点的振动方程为;
为=10m和X2=25m两点间的振动相位差为。
4、一简谐波的波形曲线如右图所示,若已知该时刻质点A向上运动,则该简谐波的传播方向为,B、C、D质点在该时刻的
运动方向为B,C,Do
1、一横波沿绳子传播时的波动方程式为
y0.05cos(10t4x)
x,y的单位为m,t的单位为s。
(1)求此波的振幅、波速、频率和波长;
(2)求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度;
(3)求x=0.2m处的质点在t=1s时的相位,它是原点处质点在哪一时刻的相位?
(4)分别画出t=1s,1.25s,1.50s各时刻的波形。
2、设有一平面简谐波
t=1/3s艸m
x,y以m计,t以s计。
(1)求振幅、波长、频率和波速。
2)求x=0.1m处质点振动的初相位。
3、已知一沿x轴正向传播的平面余弦波在时的波形如右图所示,且周期T=2s。
(1)写出O点和P点的振动表达式;
(2)写出该波的波动表达式;
(3)求P点离O点的距离。
1当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时,下述各结论哪个是正确的?
(A)媒质质元的振动动能增大时,其弹性势能减小,总机械能守恒;
(B)媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化,但二者的相位不相同;
(C)媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同,但二者的数值不等;
(D)媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。
2、下列关于电磁波说法中错误的是()
(A)电磁波是横波
(B)电磁波具有偏振性
(C)电磁波中的电场强度和磁场强度同相位
(D)任一时刻在空间中任一点,电场强度和磁场强度在量值上无关
X2/2的质点的振动方程的相位差为()
(A)3
(B)3
(C)3/2
(D)/2
4、一平面简谐波沿
OX轴止万冋传播,其波速为
u,已知在
X1处的质点的振动万程为
yAcost
0,
则在
X2处的振动方程为(
)
(A)yAcos
t
0(B)y
Acost
X2X1
u
(C)yAcos
-0(D)y
X2Xj
1、已知两频率相同的平面简谐波的强度之比为a,则这两列波的振幅之比为。
2、介质的介电常数为£
磁导率为□,则电磁波在该介质中的传播速度为。
3、若电磁波的电场强度为E,磁场强度为H,则该电磁波的能流密度为_
4、一平面简谐波,频率为1.0103Hz,波速为1.0103m/s,振幅为1.0104m,在截面
面积为4.0104m2的管内介质中传播,若介质的密度为8.0102kgm3,则该波的能量密
度;
该波在60s内垂直通过截面的总能量为二、计算题
1一平面简谐声波的频率为500Hz,在空气中以速度u=340m/s传播。
到达人耳时,振幅
A=10-4cm,试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强(空气的密度p=1.29kg/m3)。
2、一波源以35000W的功率向空间均匀发射球面电磁波,在某处测得波的平均能量密度为
7.8x10-15J/m3,求该处离波源的距离。
电磁波的传播速度为3.0x108m/s。
3、一列沿x正向传播的简谐波,已知时的波形如右图所示。
试求:
(1)P的振动表达式;
(2)此波的波动表达式;
3)画出0点的振动曲线。
1两列波要形成干涉,要满足相干条件,下列选项中不属于相干条件的是
(A)频率相同
(B)振动方向相同
(C)相位差恒定
(D)振幅相同
2、在波长为的驻波中,两个相邻波腹之间的距离为()
(A)/4(B)/2(C)3/4(D)
3、下列关于驻波的描述中正确的是()
(A)波节的能量为零,波腹的能量最大
(B)波节的能量最大,波腹的能量为零
(C)两波节之间各点的相位相同
(D)两波腹之间各点的相位相同
4、设声波在媒质中的传播速度为u,声源的频率为s。
若声源S不动,而接收器R相对于
媒质以速度Vr沿着S、R连线向着声源S运动,则位于为()
3、如图所示,两列相干波在P点相遇。
一列波在B点引起的振动是
另一列波在C点引起的振动是y203103cos(2t2);
令BP0.45m,CP0.30m,两波的传播速度u=0.20m/s。
若不考虑传播途中振幅的减小,则P点的合振动的振动方程为
4、一列火车以20m/s的速度行驶,若机车汽笛的频率为600Hz,—静止观测者在火车前
和火车后所听到的声音频率分别为和(设空气中声速为340m/s)。
1、同一介质中的两个波源位于A、B两点,其振幅相等,频率都是100Hz,相位差为n,若A、B两点相距为30m,波在介质中的传播速度为400m/s,试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。
2、两个波在一很长的弦线上传播,设其波动表达式为
%0.06cos(0.02x0.8t)
用SI单位,求:
(1)合成波的表达式;
(2)波节和波腹的位置。
3、
(1)火车以90km/h的速度行驶,其汽笛的频率为500Hz。
一个人站在铁轨旁,当火车从
他身旁驶过时,他听到的汽笛声的频率变化是多大?
设声速为340m/s。
(2)若此人坐在汽车里,而汽车在铁轨旁的公路上以54km/h的速率迎着火车行驶。
试
问此人听到汽笛声的频率为多大?
2、
4、
2.2s
由图可知,A=0.10m,X0=A/2=0.05m,v。
〉0,所以
t=1s时,xi=0,故56
所以质点振动的运动方程为x0.10cos(——一)(m)
63
(2)P点的相位为零
亠5
(3)由Pt0得t=0.4s
2、解:
已知A=24cm,T=4.0s,故3=n/2
t=0时,X0=A=24cm,V0=0,故0
所以振动方程为X0.24cos(—t)(m)
⑴Xt0.5°
.17m
EEkEp7.09104J
xS
由于气体过程是绝热过程,有P1V1P1(VxS)pV,则p1p
(1)
小球作微小位移时xS远小于V,
则上式可写为
Pi
P(1爭
所以,小球的运动方程为耸
dt2
PS2
x
mV
此式表示小球作简谐振动,振动周期为T
\PS2
所以比热容比为
mV
(2)242mV
p(TS)pS2T2
1、(C);
2、(D);
摩擦阻尼、辐射阻尼
临界阻尼
3、(A);
4、(B);
1、
3、
d2x2
dt2x
d2x
dx
dt
0X
旦cosdtm
共振
、计算题
1、解:
由阻尼振动周期
得阻尼因子为
02(T)
(T)2
3rad/s
阻力系数为
2m35.3kg/s
阻力为Fv
0.353N
阻尼振动的振幅为AA0et
将t=0,A0=Q.Q3m和t1=10s,A1=0.01m代入上式解得
则振幅减为A2=0.003m所需时间为t2丄In△21s
Az
mg
3、由题意知弹簧的劲度系数为k
101031.25107N/m
0.810
则车厢的固有频率为
15rad/s
当火车以速率v匀速行驶时,受撞击的角频率为22-
l
当30=3时车厢将发生共振,此时速率即为危险速率,则
—030m/s108km/h
解决火车提速问题的措施之一是采用长轨无缝铁轨。
1、(D);
2、(C);
3、(D);
4、(C);
1
1、4x102m、2
23
0.05cos(t)
2、12(SI)
3、;
由于位相差为,合成后位相与禺同相即为,AA1A2。
4、10、2
由题可知,电容器极板上电荷量的初相为零,所以qQ0COSt,其中1<
LC
(1)电场能和磁场能的最大值相等,即为电路的总电磁能
此时电容器上的电荷量为q2q0
所以和振动的表达式为x0.2cos(1Q)(SI)
3、解:
由题意有—12.1,——1
50.0
解得3i=47.9rad/s,co2=47.9rad/s
所以拍的周期
1.5s
练习一一、选择题
1、(A);
2、(D);
由yAcos(atbx)
Acos(二t—x),可知周期T
2/a2/b
—。
波长为2
ab
y
cos4tx
2u
12
;
U2
22u1u
TU1U2
0.25cos(125t3.7)(SI)、
5.55rad。
解:
(1
)咅=10m的振动方程为
yx1
00.25cos(125t
3.7)
3、(D);
4、(C);
(2)因X2=25m的振动方程为yx250.25cos(125t9.25)
所以x2与x1两点间相位差215.55rad
4、向x轴正方向传播、向上、向下、向上
(1)由波动方程式有A=0.05m,v=5Hz,入=0.5m,且u
2.5m/s,00
(2)vmA0.51.57m/s,am
222
A549.3m/s
140.2)9.2
(3)x=0.2m处质点在t=1s时的相位为(0.2,1)(10
与t时刻前坐标原点的相位相同,贝U(0,t)(10t40)9.2
得t=0.92s
(4)t=1s时,
y0.05cos(10
4x)
0.05cos4
x(m)
t=1.25s时,y
0.05cos(12.5
0.05sin4
x(m)
t=1.50s时,y
0.05cos(15
分别画出图形如下图所示
(1)由波动方程有
A=0.02m,入=0.3m,v=100Hz,
30m/s
(2)
0x0.1
由波形曲线可得
A=0.1m,入=0.4m,且U
0.2m/s,
rad/s
x
(1)设波动表达式为yAcos[(t)0]
得O点的初相0—
y。
0.1cos(t-
?
(m)
Pt[
(t-)
0]
t1s3
yp
0.1cos(t
5-)(m)
6
所以O点的振动表达式为
同样P点的振动相位为
所以P点的振动表达式为
Xp
0.2
2,得*
0.233m
(3)P点离0点的距离为xP0.233m
2、(D);
3、(B);
4、(C);
2、解:
设该处距波源
r,单位时间内通过整个球面的能量为
P
SAS4r2
则
r
侦4S)
JP/(4Wu)
3.45
104m
由波形图可知
A=0.2m,
0.6m,T-
1s,1Hz,
T
0.6m/s
第二列波在P点引起的振动的振动方程为
y23103cos(2n1n
所以,P点的合振动的振动方程
yy1y26103cos(2n1n
4、637.5Hz、566.7Hz
即AB连线间因干涉而静止的点距在A、B两点外侧连线上的其他任意点,比如
A点为(1,3,5,…,29)m共有15个。
D点和E点,A、B两相于波的传播方向相
(1)3=4n
y0.06cos(4t
同,并且在这些点处均为同相叠加,是干涉加强区域,所以在A、B两点外侧的连线上没有
静止点。
rad/s,入=200m,将两波改写成如下形式
22
x),y20.06cos(4tx)
200200
这是个驻波。
(2)波节有cos0.01x0
0.。
1x(2k%
故波节位置为x50(2k1)m,k0,1,2丄
波腹有|cos0.01x1
0.01xk
故波腹位置为x100km,k0,1,2,L
s,波源(火车)运动
设声波在空气中传播的速率为U,波源(汽笛)的频率为
当波源和观察者沿两者的连线运动时,观察者接收到的频率为
(1)火车向着观察者运动时观察者接收到的频率为
1(丄)S(34^25)500Hz540Hz
火车远离观察者运动时观察者接收到的频率为
则频率变化为1274Hz
(2)车中的观察者接收到的频率为
34015
34025
500Hz
563.5Hz
——春A
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