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请举例给出它的一般形式.
[生]如y=2x-5为一次函数.
[师]在一次函数y=2x-5中,
当y=0时,有方程2x-5=0;
当y>0时,有不等式2x-5>0;
当y<0时,有不等式2x-5<0.
由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于0时即为不等式.
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.
2.做一做
投影片(§
作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题.
(1)x取哪些值时,2x-5=0?
(2)x取哪些值时,2x-5>0?
(3)x取哪些值时,2x-5<0?
(4)x取哪些值时,2x-5>3?
图1-21
请大家讨论后回答:
[生]
(1)当y=0时,2x-5=0,
∴x=
∴当x=
时,2x-5=0.
(2)要找2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值,从图象上可知,y>0时,图象在x轴上方,图象上任一点所对应的x值都满足条件,当y=0时,则有2x-5=0,解得x=
.当x>
时,由y=2x-5可知y>0.因此当x>
时,2x-5>0;
(3)同理可知,当x<
时,有2x-5<0;
(4)要使2x-5>3,也就是y=2x-5中的y大于3,那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴,这条直线与y=2x-5相交于一点B(4,3),则当x>4时,有2x-5>3.
3.试一试
如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y>0?
[师]由刚才的讨论,大家应该很轻松地完成任务了吧.请大家试一试.
[生]首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图1-22:
图1-22
从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧,即为小于-2.5的数,由-2x-5=0,得x=-2.5,所以当x取小于-2.5的值时,y>0.
4.议一议
投影片(§
兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时弟弟跑在哥哥前面?
(2)何时哥哥跑在弟弟前面?
(3)谁先跑过20m?
谁先跑过100m?
(4)你是怎样求解的?
与同伴交流.
[师]大家应先画出图象,然后讨论回答:
[生][解]设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1,弟弟跑过的路程为y2,根据题意,得
y1=4x
y2=3x+9
函数图象如图1-23:
图1-23
从图象上来看:
(1)当0<x<9时,弟弟跑在哥哥前面;
(2)当x>9时,哥哥跑在弟弟前面;
(3)弟弟先跑过20m,哥哥先跑过100m;
(4)从图象上直接可以观察出
(1)、
(2)小题,在回答第(3)题时,过y轴上20这一点作x轴的平行线,它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点,每一交点都对应一个x值,哪个x的值小,说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100m.
Ⅲ.课堂练习
1.已知y1=-x+3,y2=3x-4,当x取何值时,y1>y2?
你是怎样做的?
解:
如图1-24所示:
图1-24
当x取小于
的值时,有y1>y2.
Ⅳ.课时小结
本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系,并且能根据一次函数的图象求解不等式.
Ⅴ.课后作业
习题1.6
Ⅵ.活动与探究
作出函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象,并观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时,2x-4>0?
(2)x取何值时,-2x+8>0?
(3)x取何值时,2x-4>0与-2x+8>0同时成立?
(4)你能求出函数y1=2x-4,y2=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗?
并写出过程.
图象如下:
图1-25
分析:
要使2x-4>0成立,就是y1=2x-4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合,同理使-2x+8>0成立的x,即为函数y2=-2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合,要使它们同时成立,即求这两个集合中公共的x,根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长,由两函数的交点坐标可求出底边上的高,从而求出三角形的面积.
[解]
(1)当x>2时,2x-4>0;
(2)当x<4时,-2x+8>0;
(3)当2<x<4时,2x-4>0与-2x+8>0同时成立.
(4)由2x-4=0,得x=2;
由-2x+8=0,得x=4
所以AB=4-2=2
由
得交点C(3,2)
所以三角形ABC中AB边上的高为2.
所以S=
×
2×
2=2.
●板书设计
一、1.一元一次不等式与一次函数之间的关系;
2.做一做(根据函数图象求不等式);
3.试一试(当x取何值时,y>0);
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市场调查发现:
如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;
如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况,如何购销获利较多?
设商场计划投入资金为x元,在月初出售,到月末共获利y1元;
在月末一次性出售获利y2元,
根据题意,得
y1=15%x+(x+15%x)·
10%=0.265x,
y2=30%x-700=0.3x-700.
(1)当y1>y2,即0.265x>0.3x-700时,x<20000;
(2)当y1=y2,即0.265x=0.3x-700时,x=20000;
(3)当y1<y2,即0.265x<0.3x-700时,x>20000.
所以,当投入资金不超过20000元时,第一种销售方式获利较多;
当投入资金超过20000元时,第二种销售方式获利较多.
2.某医院研究发现了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3毫克,每毫升血液中含药量y(微克),随着时间x(小时)的变化如图所示(成人按规定服药后).
(1)分别求出x≤2和x≥2时,y与x之间的函数关系式;
(2)根据图象观察,如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间是多少?
图1-26
(1)当x≤2时,图象过(0,0),(2,6)点,设y1=k1x,
把(2,6)代入得,k1=3
∴y1=3x.
当x≥2时,图象过(2,6),(10,3)点.
设y2=k2x+b,则有
得k2=-
b=
∴y2=-
x+
(2)过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线,于y1,y2的图象交于两点,过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的
和
,即在
-
=6小时间是有效的.
第七课时
1.5.2一元一次不等式与一次函数
(二)
进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用.
通过用不等式的知识去解决实际问题,以发展学生解决问题的能力.(三)情感与价值观要求
把数学知识与现实生活相联系,让学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,增强他们学数学的兴趣和积极性,从而更好地服务于社会.
利用不等式及等式的有关知识解决现实生活中的实际问题.
认真审题,找出题中的等量或不等关系,全面地考虑问题是本节的难点.
启发式
1.5.2A)
1.5.2B)
Ⅰ.提出问题,导入新课
[师]同学们,我们已经学习了不等式的解法及应用,但是它的应用远不止于我们前面学过的这些,它的应用很广泛.比如,随着国家的富裕,人民生活水平的提高,人们的消费观念也在逐渐转变,在放假期间很多人热衷于旅游,而旅行社瞅准了这个商机,会打着各式各样的优惠政策来诱惑你,那么究竟应该选哪一家呢?
人们犹豫了,有时感觉到上当了.如果你学了今天的课程,那么你以后就不会上当了.下面我们一起来探究这里的奥妙.
[例1]某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10~25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;
乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用?
其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少?
[师]请大家先计划一下,你计划选哪家旅行社?
[生]我选甲旅行社,因为打七五折,比打八折要便宜.
[生]我选乙旅行社,因为乙旅行社既打八折,还免交一个人的费用200元.
[生]我不能肯定,一定要计算一下才能决定.
[师]大家同意这三位同学中的哪一位呢?
[生]同意第三位同学的意见.
[师]分析:
首先我们要根据题意,分别表示出两家旅行社关于人数的费用,然后才能比较.而且比较情况只能有三种,即大于,等于或小于.
设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则
y1=200×
0.75x=150x
y2=200×
0.8(x-1)=160x-160
当y1=y2时,150x=160x-160,解得x=16;
当y1>y2时,150x>160x-160,解得x<16;
当y1<y2时,150x<160x-160,解得x>16.
因为参加旅游的人数为10~25人,所以当x=16时,甲乙两家旅行社的收费相同;
当
17≤x≤25时,选择甲旅行社费用较少,当10≤x≤15时,选择乙旅行社费用较少.
[师]由此看来,你选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关,而且还和参加旅游的人数有关,那么在以后的旅行中,大家一定不要想当然,而是要精打细算才能做到合理开支,现在,你学会了吗?
下面,我们要到商店走一趟,看看商家又是如何吸引顾客的,我们又应该想何对策呢?
[例2]某学校计划购买若干台电脑,现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:
第一台按原价收费,其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是:
每台优惠20%.
(1)分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.
(2)什么情况下到甲商场购买更优惠?
(3)什么情况下到乙商场购买更优惠?
(4)什么情况下两家商场的收费相同?
[师]有了刚才的经验,大家应该很轻松地完成任务了吧.
[生]解:
设要买x台电脑,购买甲商场的电脑所需费用y1元,购买乙商场的电脑所需费用为y2元.则有
(1)y1=6000+(1-25%)(x-1)×
6000=4500x+1500
y2=80%×
6000x=4800x
(2)当y1<y2时,有4500x+1500<4800x
解得,x>5
即当所购买电脑超过5台时,到甲商场购买更优惠;
(3)当y1>y2时,有4500x+1500>4800x.
解得x<5.
即当所购买电脑少于5台时,到乙商场买更优惠;
(4)当y1=y2时,即4500x+1500=4800x
解得x=5.
即当所购买电脑为5台时,两家商场的收费相同.
某学校需刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元(包括空白光盘带);
若学校自刻,除租用刻录机需120元外,每张还需成本4元(包括空白光盘带),问刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用省,还是自刻费用省?
请说明理由.
设需刻录x张光盘,则
到电脑公司刻录需y1=8x(元)
自刻录需y2=120+4x
当y1=y2时,8x=120+4x,
解得x=30;
当y1>y2时,8x>120+4x,
解得x>30;
当y1<y2时,8x<120+4x,
解得x<30.
所以,当需刻录30张光盘时,到电脑公司刻录和自刻费用相等;
当需刻录超过30张光盘时,自刻费用省;
当需刻录不超过30张光盘时,到电脑公司刻录费用省.
某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元,另收3000元设计费;
乙公司提出:
每份材料收费30元,不收设计费.
(1)什么情况下选择甲公司比较合算?
(2)什么情况下选择乙公司比较合算?
(3)什么情况下两公司的收费相同?
设宣传材料有x份,则选择甲公司所需费用为y1元,选择乙公司所需费用为y2元,
y1=20x+3000
y2=30x
当y1<y2时,20x+3000<30x,
解得x>300;
当y1>y2时,20x+300x>30x,
解得x<300;
当y1=y2时,20x+3000=30x,
解得x=300.
所以,当材料超过300份时,选择甲公司比较合算;
当材料少于300份时,选择乙公司比较合算;
当材料等于300份时,两公司的收费相同.
本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的应用,通过这节课的学习,我们学到了不少知识,真正体会到了学有所用.
习题1.7第2题.
某批发商欲将一批海产品由A地运往B地,汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务,已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/时,100千米/时,两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示:
运输工具
运输费单价
(元/吨·
千米)
冷藏费单价
小时)
过桥费
(元)
装卸及管理费(元)
汽车
2
5
200
火车
1.8
1600
注:
“元/吨·
千米”表示每吨货物每千米的运费;
小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.
(1)设该批发商待运的海产品有x吨,汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1元和y2元,试求y1和y2与x的函数关系式;
(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨,为节省运费,他应选择哪个货运公司承担运输业务?
[分析]
(1)仔细观察,根据题目中二维表格给出的收费项目和收费标准,以及已知的路程和速度,不难求得函数关系,但应注意从表格中准确提取信息,并细心计算;
(2)究竟选择哪家货运公司承担运输业务,可使运费最省,由题目条件看,应由批发商海产品的数量来确定,我们可以把问题转化为不等式,当y1>y2时,有250x+200>222x+1600;
当y1<y2时,有250x+200<222x+1600,然后通过解不等式,使得问题迎刃而解.当然,也可以讨论y1=y2的情况,求得x=50后,再分析求解.
[解]
(1)根据题意,得
y1=200+2×
120x+5×
x=250x+200;
y2=1600+1.8×
x=222x+1600
(2)分三种情况
①若y1>y2,250x+200>222x+1600,
解得x>50;
②若y1=y2,250x+200=222x+1600,
解得x=50;
③若y1<y2,250x+200<222x+1600,
解得x<50.
综上所述,当所运海产品不少于30吨且不足50吨时,应选择汽车货运公司承担运输业务;
当所运海产品刚好50吨时,可选择汽车货运公司,铁路货运公司中的任意一家承担运输业务;
当所运海产品多于50吨时,应选择铁路货运公司承担运输业务.
[评注]此题是一道方案决策最优化问题,虽然题目中信息很多,但由于批发商的待运海产品的数量不确定,使得方案决策不确定,这就需要准确提取信息,通过列出数式,找函数关系,解不等式等数学手段,解决实际问题.应用不等式的知识解决日常生产问题是我们常见的题型.
例1(有关旅游费用问题)
例2(有关商场优惠问题)
课堂练习
课时小结
课后作业
1.x取什么值时,代数式3x+7的值:
(1)小于1?
(2)不小于1?
(1)根据题意,要求不等式3x+7<1的解集,解这个不等式,得x<-2,
所以当x小于-2时,3x+7的值小于1.
(2)根据题意,要求不等式3x+7≥1的解集,解这个不等式,得x≥-2,
所以当x不小于-2时,3x+7的值不小于1.
2.求不等式3(x+1)≥5x-9的正整数解.
去括号,得3x+3≥5x-9,
移项、合并同类项,得2x≤12,
两边都除以2,得x≤6,
因为不大于6的正整数有1,2,3,4,5,6六个数,所以不等式3(x+1)≥5x-9的正整数解是1、2、3、4、5、6.
3.分别解不等式
5x-1>3(x+1),
x-1<7-
x
所得的两个解集的公共部分是什么?
解不等式5x-1>3(x+1),得x>2
解不等式
x,得x<4,
所以两个解集的公共部分是2<x<4.
●迁移发散
迁移
1.如图1-40,OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数的图象.图中s和t分别表示运动路程和时间,请根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快几米.
图1-40
点拨:
由图象可知:
甲速度比乙速度快.
先求出甲速度为
(米/秒).
再求出乙速度为
甲速-乙速即为超出的.
由图象可知,甲速度为:
=8(米/秒)
乙速度为:
=6.5(米/秒)
甲速度-乙速度=8-6.5=1.5(米/秒).
答:
甲的速度快,比乙的速度每秒快1.5米.
2.某图书馆开展两种方式的租书业务,一种是使用会员卡,另一种是使用租书卡,使用这两种卡租书,租书的金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图1-41所示:
图1-41
(1)通过图象观察,使用会员卡、租书卡,这两种卡在什么情况下合算.
(2)分别求出两种卡每天的租金.
由图象观察知:
(1)当租书时间为100天时,两种卡的费用相同.
当租书时间超过100天时,用会员卡便宜.
当租书时间在100天之内时,用租书卡便宜.
(2)租书卡每天的费用为:
=0.5(元)
会员卡每天的费用为:
=0.3(元)
租书卡每天的费用为0.5元,会员卡每天的费用为0.3元.
3.某公司由于业务需要汽车,但因资金问题暂时无法购买,想租一辆车,个体出租车司机小王提出的条件是:
每月付给1000元工资,另外每千米付给0.1元里程费;
司机小赵提出的条件是:
不需要工资,只按每千米1.35元付里程费.请问:
公司租用谁的汽车更合算.
设公司用车一月行程x千米,
付给个体出租费用用y1元表示.
付给司机小赵的费用用y2元表示.
由题意得:
y1=1000+0.1x,y2=1.35x.
当y1>y2时,1000+0.1x>1.35x
x<800(千米);
当y1=y2时,1000+0.1x=1.35x
x=800(千米);
当y1<y2时,1000+0.1x<1.35x
x>800(千米).
月行程超800千米时,租用个体出租小王的费用较低,合算;
当月行程为800千米时,两人都一样;
当月行程在800千米以内时,租用司机小赵的车更便宜.
4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品,经过市场调查发现:
如果月初出售可获利15%,并把本利再投资其他商品,到月末又可获利10%,如果月末出售可获利30%.但要付出仓储费用700元.请问:
根据商场的资金状况,如何购销获利较多?
设商场投入资金x元,第一种投资情况下,获总利用y1元表示.第2种投资情况下获总利用y2元表示.
由题意得:
y1=x(1+15%)(1+10%)-x
y1=0.265x.
y2=x(1+30%)-x-700
y2=0.3x-700
(1)当y1>y2时,0.265x>0.3x-700,x<2000;
(2)当y1=y2时,0.265x=0.3x-700,x=2000;
(3)当y1<y2时,0.265x<0.3x-700,x>2000.
(1)当投资超过2000元时,选择第二种投资方式;
(2)当投资为2000元时,两种选择都行;
(3)当投资在2000元内时,选择第一种投资方式.
发散
本节我们用到了以前我们学过的知识如下:
1.一次函数的定义,例如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式.
2.一元一次不等式的解法.
3.一次函数的图象是一条直线:
要确定这条直线只需两点即可.
●方法点拨
[例1]作出函数y=2x-5的图象.
图1-38
通过图象回答如下问题.
(1)x取哪些值时2x-5>0;
(2)x取哪些值时2x-5=0;
(3)x取哪些值时,2x-5<0.
∵y=2x-5.要使2x-5>0,2x-5=0,2x-5<0
即y>0,y=0,y<0.
由图象可知,
y>0即图象位于x轴的上方部分,此时x>2.5;
y=0即图象与x轴的交点,此时x=2.5;
y<0即图象位于x轴的下方部分,此时x<2.5.
当x>2.5时,2x-5>0;
当x=2.5时,2x-5=0;
当x<2.5时,2x-5<0.
[例2]已知y1=3x-3,y2=-x+2,试确定x取何值时,y1>y2.
要使y1>y2,即3x-3>-x+2.转化为解不等式即可.
由题意得3x-3>-x+2,
解得x>
.
∴当x>
时,y1>y2.
[例3]王欢和赵庆原有存款分别为500元和1800元,从本月开始,王欢每月存400元,赵庆每月存200
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