管理运筹学课后答案.docx

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管理运筹学课后答案

2.2将下列线性规划模型化为标准形式并列出初始单纯形表。

（1）

解：

（1）令，则得到标准型为（其中M为一个任意大的正数）

初始单纯形表如表2-1所示：

表2-1

cj

-2

2

4

-4

0

0

-M

-M

CB

XB

b

x2

x4

x5

x6

x7

0

x4

19

3

2

2

-2

1

0

0

0

19/3

-M

x6

14

[4]

3

4

-4

0

-1

1

0

14/4

-M

x7

26

5

2

4

-4

0

0

0

1

26/5

-z

-2+9M

2+5M

4+8M

-4-8M

0

-M

0

0

2.3用单纯形法求解下列线性规划问题。

（1）

（2）

解：

（1）最优解为。

（2）最优解为。

2.4分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题。

（1）

（2）

解：

（1）最优解为。

（2）最优解为。

2.6已知线性规划问题

其对偶问题最优解为。

试用对偶理论找出原问题最优解。

解：

先写出它的对偶问题

将代入约束条件可知，第2、3、4个约束为严格不等式，因此，由互补松弛性得。

又因为，所以原问题的两个约束条件应取等式，因此有

Þ

故原问题最优解为。

2.12现有线性规划问题

①

②

先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？

（1）约束条件①的右端项系数由20变为30；

（2）约束条件②的右端项系数由90变为70；

（3）目标函数中的系数由13变为8；

（4）的系数列向量由变为；

（5）将原约束条件②改变为；

（6）增加一个约束条件。

解：

在上述LP问题的第①、②个约束条件中分别加入松弛变量x4,x5得

列出此问题的初始单纯形表并进行迭代运算，过程如表2-11所示。

由表2-11中的计算结果可知，LP问题的最优解X*=（0,20,0,0,10）T，z*=5*20=100。

（1）约束条件①的右端项系数由20变为30，则有

列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，过程如表2-12所示。

表2-11

cj

-5

5

13

0

0

θi

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

0

x4

20

-1

1

[3]

1

0

20/3

0

x5

90

12

4

10

0

1

9

cj-zj

-5

5

13

0

0

13

x3

20/3

-1/3

[1/3]

1

1/3

0

20

0

x5

70/3

46/3

2/3

0

-10/3

1

35

cj-zj

-2/3

2/3

0

-13/3

0

5

x2

20

-1

1

3

1

0

0

x5

10

16

0

-2

-4

1

cj-zj

0

0

-2

-5

0

表2-12

cj

-5

5

13

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

5

x2

30

-1

1

3

1

0

0

X5

-30

16

0

[-2]

-4

1

cj-zj

0

0

-2

-5

0

5

x2

-15

23

1

0

[-5]

3/2

13

x3

15

-8

0

1

2

-1/2

cj-zj

-16

0

0

-1

-1

0

x4

3

-23/5

-1/5

0

1

-3/10

13

x3

9

6/5

2/5

1

0

1/10

cj-zj

-103/5

-1/5

0

0

-13/10

由表2-12中计算结果可知，LP问题的最优解变为。

（2）约束条件②的右端常数由90变为70，则有

列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，结果如表2-13所示。

表2-13

cj

-5

5

13

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

5

x2

20

-1

1

3

1

0

0

X5

-10

16

0

[-2]

-4

1

cj-zj

0

0

-2

-5

0

5

x2

5

23

1

0

-5

3/2

13

x3

5

-8

0

1

2

-1/2

cj-zj

-16

0

0

-1

-1

由表2-13结果知，LP问题的最优解变为。

（3）目标函数中x3的系数由13变为8，由于x3是非基变量，其检验数变为

所以LP问题的最优解不变。

（4）x1的系数列向量由（-1,12）T变为（0,5）T，则x1在最终单纯形表中的系数列向量变为

从而x1在最终单纯形表中的检验数变为

所以LP问题的最优解保持不变。

（5）将原约束条件②改变为10x1+5x2+10x3≤100，则x1在最终单纯形表中系数列向量变为，检验数

x2在最终单纯形表中系数列向量变为，检验数。

又因的各分量均大于0，故LP问题的最优解不变。

（6）增加一个约束条件2x1+3x2+5x3≤50，则在此约束条件中加入松弛变量x6，并将此约束加入到最终单纯形表中，继续迭代，过程如表2-14所示。

由表2-14中计算结果可知，LP问题的最优解变为，。

表2-14

cj

-5

5

13

0

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

x6

5

x2

20

-1

1

3

1

0

0

0

x5

10

16

0

-2

-4

1

0

0

x6

50

2

3

5

0

0

1

5

x2

20

-1

1

3

1

0

0

0

x5

10

16

0

-2

-4

1

0

0

x6

-10

5

0

[-4]

-3

0

1

cj-zj

0

0

-2

-5

0

0

5

x2

25/2

11/4

1

0

-5/4

0

3/4

0

x5

15

27/2

0

0

-5/2

1

-1/2

13

x3

5/2

-5/4

0

1

3/4

0

-1/4

cj-zj

-5/2

0

0

-7/2

0

-1/2

3.1分别用分支定界法和割平面法求解下列整数规划模型。

（1）

（2）

解：

（1）求解得到最优解。

（计算步骤略）

（2）仅写出利用割平面法求解的过程。

在原IP问题约束条件中加入松弛变量x3,x4，化为标准型，可得

不考虑整数条件，用单纯形法求解原问题的松弛问题，计算结果如表3-1所示。

表3-1

cj

1

1

0

0

i

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

0

x3

6

2

1

1

0

6

0

x4

20

4

[5]

0

1

4

cj-zj

1

1

0

0

0

x3

2

[6/5]

0

1

-1/5

5/3

1

x2

4

4/5

1

0

1/5

5

cj-zj

1/5

0

0

-1/5

1

x1

5/3

1

0

5/6

-1/6

1

x2

8/3

0

1

-2/3

1/3

cj-zj

0

0

-1/6

-1/30

因此，松弛问题的最优解为x1=5/3,x2=8/3,x3=0,x4=0;z=13/3。

由于x2不为整数，因此在最终单纯形表中根据x2所在的行作割平面

即

将它作为约束条件，引入松弛变量后加到最终单纯形表中，并采用对偶单纯形法继续迭代，计算过程如表3-2所示。

表3-2

cj

1

1

0

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

1

x1

5/3

1

0

5/6

-1/6

0

1

x2

8/3

0

1

-2/3

1/3

0

0

x5

-2

0

0

-1

[-1]

1

cj-zj

0

0

-1/6

-1/30

0

1

x1

2

1

0

1

0

-1/6

1

x2

2

0

1

-1

0

1/3

0

x4

2

0

0

1

1

-1

cj-zj

0

0

0

0

-1/6

由于的值均为整数，所以得到原问题的最优解为

3.4某厂新购4台不同类型机器，可以把它们安装在4个不同的地点。

由于对特定的机器而言，某些地方可能安装起来特别方便且合适，所以不同的机器安装在不同的地点费用是不同的。

估计的费用见表3-3，试制定使得总安装费用最小的安装方案。

表3-3（费用单位：

元）

地点

机器

1

2

3

4

机器总数

1

10

9

8

7

1

2

3

4

5

6

1

3

2

1

1

2

1

4

4

3

5

6

1

需要量

1

1

1

1

解：

设

cij—机器i安装在地点j所需的费用。

建立该问题的数学模型如下：

目标函数：

约束条件：

（1）每一部机器只分配在一个地点，即

（2）每一个地点只能有一台机器，即

（3）

工作指派问题可以看成是一类特殊的运输问题，每个供应点的供应量为1，每个需求点的需求量也为1。

因此，本题可以采用表上作业法进行计算，也可以利用匈牙利法进行计算。

计算得到的最佳安装方案为：

机器1安装在地点4、机器2安装在地点1、机器3安装在地点3、机器4安装在地点2，最小总安装费为14元。

3.9设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。

假定等量的化肥在这些地区使用的效果相同。

各化肥厂年产量、各地区年需求量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价如表3-17所示。

试确定使总运费最少的化肥调拨方案。

表3-17

需求

产地

I

II

III

IV

产量（万吨）

A

16

13

22

17

50

B

14

13

19

15

60

C

19

20

23

--

50

最低需求（万吨）

最高需求（万吨）

30

50

70

70

0

30

10

不限

解：

这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万t，四个地区的最低需求为110万t，最高需求为无限。

根据现有产量，第IV个地区每年最多能分配到60万t，这样最高需求就为210万t，大于产量。

为了求得平衡，在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，其年产量为50万t。

由于各地区的需求量包含两部分，如地区I，其中30万t是最低需求，故不能由假想化肥厂D供给，令相应的单位运价为M（任意大的正数）；而另一部分20万t满足或不满足均可以，因此可以由假想化肥厂D供给，按前述，可令相应的单位运价为0。

对凡是需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区看待。

这样可以写出这个问题的产销平衡表（表3-18）和单位运价表（表3-19）。

并根据表上作业法，可以求得这个问题的