勾股定理典型解题技巧及练习.docx
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勾股定理典型解题技巧及练习
专题复习一勾股定理
常见勾股数如下:
3,4,5
6,8,10
9,12,15
12,16,20
15,20,25
5,12,13
7,24,25
9,40,41
10,24,26
8,15,17
3、常见平方数:
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4、已知斜边和一条直角边求另一条直角边
由a+b=c可得a=c-b=(c+b)(c-b)(平方差公式)
例如,已知c=61,b=60,则
a=c-b=(61+60)(61-60)=121,
则a=11
已知c=41,b=40,则
a=c-b=(41+40)(41-40)=81,
则a=9
已知c=17,b=8,则
a=c-b=(17+8)(17-8)=25x9=52x32=(5x3)2
则a=5x3=15
5、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
如图,CD为斜边AB的中线,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F
在RT▲ADE和RT▲DBF中,
DAE=BDF,AD=DBADE=DBF
B
RT▲ADE≌RT▲DBF∴EA=FD,有因CEDF为矩形,∴FD=CE=EA=1/2CA
F
RT▲ADE≌RT▲CDE∴CD=AD=DB=1/2AB
6、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半
7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等
8、任意三角形三个内角的角平分线相交于一点。
该点称三角形的内心(内切圆圆心)。
9、任意三角形三个边上的垂线(高)相交于一点。
该点称三角形的垂心
10、任意三角形三个边上的中线相交于一点。
该点称三角形的重心。
11、任意三角形三个边上的垂直平分线(中垂线)相交于一点。
该点称三角形的外心(外接圆圆心)。
12、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,︱a-b︱﹤c﹤a+b
13、三角形面积计算公式:
S=底边长x高
14、垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
15、点A沿某一条线段(EF)折叠至点B,折线EF。
则折线EF垂直平分线段AB。
16、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形判断:
根据勾股定理a+b=c可判断c边的对角C是否为直角。
若a+b>c,则∠C为锐角;若a+b=c则∠C为直角;若a+b 专题归类: 专题一、勾股定理与面积 在Rt▲ABC中,C=,a、b为直角边,c为斜边。 h为斜边上的高。 则Rt▲ABC的面积: S=abS=h*c(公式) 1)已知任意两边长,求面积: 已知a、b,则S=1/2ab 已知a、c,根据b2=c2-a2,开平方根得b值,利用S=ab求解 例题1: 在Rt▲ABC中,C=,a=3,斜边c=5,则Rt▲ABC的面积S=。 Rt▲ABC,a=3,c=5,则b=4, S=ab=x3x4=6 又如,三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。 ∵52+122=25+144=169=132 ∴该三角形为直角三角形,且5,12为直角边 S=ab=x5x12=30 2)已知周长(a+b+c)和斜边长c,或已知(a+b)及c,求面积: 在RT▲ABC中, ∵(a+b)2=a2+b2+2ab,c2=a2+b2 ∴(a+b)2-c2=2ab 因此S=ab=[(a+b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c) 即S=(a+b+c)(a+b-c) =x(周长)x(周长-2c)(公式) 例题2、一直角三角形周长为12米,斜边长为5米,则这个三角形的面积为: 。 解S=(a+b+c)(a+b-c)=x12x(12-5-5)=6(m2) 1.已知直角三角形的周长是2+,斜边长2,求它的面积。 S=(a+b+c)(a+b-c)=(2+)x(2+-2-2)=(2+)x(-2)=x[()2-22]=x2= 2.已知直角三角形的斜边中线为5,面积为24,求它的周长。 RT▲ABC中线为5,则斜边长c为10,由(a+b)2=a2+b2+2ab,c2=a2+b2得(a+b)2=c2+2ab=100+(2x2x24)=196∴(a+b)=14∴a+b+c=24 3.已知直角三角形的周长是56,面积为42,求它的斜边长。 S=x(周长)x(周长-2c)∴42=x56x(56-2c)56-2c=32c=53,c=53/2 3)已知a、b,c,(或已知a、b,根据勾股定理求出c),求高h. 根据RT▲ABC面积计算公式 S=ab以及S=h*c得ab=hc ∴h= 例题3、在RT▲ABC中,,BC=8,AB=10,CD是斜边的高,求CD的长? ∵,AB为斜边,且BC=8,AB=10 ∴直角边AC=6 h====4.8 练习: CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,若AB=1,AC: BC=4: 1,则CD的长为()。 ∵AB为斜边,设AC=4x,BC=x,则(4x)2+x2=117x2=1,∴x2=1/17 在RT▲ABC中,斜边AB上的高CD===4x2=4/17 4)直线上摆正方形问题 直线l上有三个正方形S1、S2、S3,若已知S1和S3的面积,则S2的面积为 证明: 在RT▲ABC和RT▲CDE中 ,,, =180° ∵正方形S2中,,AC=CE ∴=90° 而 ∴= 又==90° AC=CE RT▲ABC≌RT▲CDE ∴BC=DE ∵S2=AC2=AB2+BC2=AB2+DE2而S1=AB2,S3=DE2 ∴S2=S1+S3 例题4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4等于。 解: ∵S1+S2=1,S3+S4=3 ∴S1+S2+S3+S4=1+3=4 8、有一块土地形状如图3所示,,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块土地的面积。 (添加辅助线构造直角三角形) 9、如右图: 在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°求四边形ABCD的面积。 证明: 延长AD和BC相交与点E ∵∠A=60°,∠B=90° ∴∠E=30°AB=2 AE=4, BE2=AE2-AB2=12 BE=,同理可知DE= S▲ABE=xABxBE=x2x= E S▲CDE=xCDxDE=x1x= 则四边形ABCD的面积为S▲ABE-S▲CDE= 10、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′的位置上,已知AB=4,BC=8,求: 重合部分△EBD的面积 ∵== ∴BE=DE AE2+AB2=BE2=DE2=(AD-AE)2 AE2+42=(8-AE)2=82+AE2-16AE 16AE=64-16=48 AE=3 S△EBD=S△ABD-S△ABE=x32-x3x4=10 11、如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明S1=S2+S3. (1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系? (不必证明) (2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明; (3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你猜想S1、S2、S3之间的关系? . 专题二、勾股定理与折叠 点A沿某一条线段(EF)折叠至点B,折线EF。 则折线EF垂直平分线段AB 1、有一个直角三角形纸片,两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长? 解: 设CE=x,则AE=8-x, ∵△BDE是△ADE翻折而成, ∴AE=BE=8-x, 在Rt△BCE中,BE2=BC2+CE2,即(8-x)2=62+x2,解得x=1.75, ∴CE=1.75. 2、有一个直角三角形纸片,两直角边的长AC=8,BC=6,现将顶点A折叠至点B,折线为DE,求CE的长? 解: DE为折线,则DE垂直平分线段AB,因此AE=BE BE2=EC2+BC2 (AC-CE)2=EC2+BC2 (8-CE)2=62+CE264-16CE+CE2=62+CE216CE=64-36=28CE== 3、如图4,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在DC边上的点G处,求BE的长。 4、如图,长方形ABCD中,AB=3cmBC=4cm,将此长方形折叠,使点C与点D重合,折痕为EF,求AE、EF的长 设AE=x,EF为折线,EF为AC的垂直平分线,则CE=AE=x BE=BC-CE=4-x AB2=AE2-BE2=x2-(4-x)2=8x-16=9∴x=25/8 EF⊥AC∴EO2=AE2-AO2=()2-()2== ∴EO= ∴EF=2x= 5、如图6,在矩形纸片ABCD中,AB=,BC=6,沿EF折叠后,点C落在AB边上的点P处,点D落在Q点处,AD与PQ相交于点H,BPE= (1)求BE、QF的长 (2)求四边形QPEF的面积。 7、已知,如图,长方形ABCD中,AB=3cmAD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为 专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度 1、如图7,铁路上A、B两站相距25千米,C、D为两村庄,DAAB于A点,CBAB于点B,DA=15千米,CB=10千米,现在要在铁路上建设一个土特产收购站E,使得C、D两村庄到收购站的距离相等,则收购站E应建在距离A站多远的距离? 2、一架长为5米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯子的底端B距离底C为3米,如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗? 请给出证明。 3、△ABC中,AB=AC=20,BC=32,,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长. 专题四、勾股数的应用 1、下列是勾股数的一组是() A4,5,6,B5,7,12C12,13,15D14,48,50 2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是。 3、下列是勾股数的一组是() A2,3,4,B5,6,7,C9,40,41D102425 4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c,其中a,b,c为正整数,且a (1): 试找给他们的共同点,并证明你的结论 (2): 当a=21时,求b,c的值 3,4,5 3+4=5 5,12,13 5+12=13 7,24,25 7+24=25 9,40,41 9+40=41 …….. …… 21,b,c 21+
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