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P
0.2
0.3
0.5
则P{X<
1.5}=.
25、设随机变量XB(2,p),Y3(3,p),若P{X>
1}=-,则P{Y>
1}=
9
26、设X,Y为相互独立的随机变量,且P{X>
Q}=P{Y>
Q}=-f则
8
P{max(X,K)>
0}=.
27、随机变量X,Y相互独立H.服从同一分布,P(X=k)=P(Y=k)=伙+1)/3,
£
=0,1,则p(X=Y)=.
28、设随机变量X服从正态分布N(-2,3),则概率密度函数为
—0v兀v4
29、设随机变量X的概率密度函数为/(x)={8'
,则P(X>
2)=
0,其他
—xv0
30、已知函F(x)=P是某随机变量X的分布函数,则
A-2严,其它
3
A
31、设随机变量X的概率密度为/(X)=——5-oo<
X<
+oo,则人=
]+W
Axc~x乂>
0
32、已知函数念)=0,'
口是某随机变量X的概率密度,则A的值为—
[311,3
——X——5兀<
——
33、设随机变量X的概率密度为/(%)=22’2一2,则变量Y=2X-1的概率
0,其它
密度为•
{
走-3x〉0
0'
x<
0,则P{XS0.1}=.
35、设随机变量X〜N(l,9),则若P(X=\k=.
36、设随机变量X的概率密度函数为/(x)=-^k,,-oo<
x<
oo,则X的分布函数
F(Q二.
亠x>
37、设随机变量X貝有分布函数F(x)=1+尤’,则P{X>
4}=
0,x<
38、设随机变最X的分布函数为F(x)=\ax\0<
1,则人=.
1,x>
1
39、设随机变量X服从(-2,2)上的均匀分布,则随机变=X?
的概率密度函数
fy(>
'
)=•
40、设连续随机变量的密度函数为/(x),则随机变量Y=3e*的概率密度函数为.
41、设随机变最X和Y均服从标准正态分布,且X与Y相互独立,贝iJ(X,Y)的联合概率密
度函数为42、X与丫相互独立且都服从参数为A的泊松分布,则X+丫服从的分布为_
43、X,Y独立且服从相同分布N(//q2),则2X—Y+3~
P{X<
!
/<
}=
[1-3~x-3'
v+3_<
A+V),x>
0,y>
0FE)」[O,其他
则二维随机变量(X,丫)的联合概率密度
45、设二维随机变最(X,Y)的联合分布函数为:
46.设X与Y是两个相互独立的随机变量,RX在(0,3)±
服从均匀分布,丫服从参数为2
的指数分布,则数学期望E(XY)二47、设随机变最X服从参数为5的泊松分布,r=3X-2,则E(Y)=
48、设随机变最X服从均匀分布U(-3,4),则数学期望E(2X+1)二
50、设X~N(1O,O.3),Y~N(1,4),且X与Y相互独立,则D(2X+Y)=
51、设随机变量X,Y相互独立,其中X服从0—1分布(p=0.6),Y服从泊松分布H.
E(y)=0.6,则D(X+Y)=.
52、若随机变量X,丫是相互独立,且D(X)=0.5,D(y)=l,则D(3X—Y)二.
53、已知E(X)=l,E(Y)=2,D(X)=l,D(y)=4,/?
xy=0.6,设Z=(2X-y+l)2,
则其数学期望E(Z)二.
54、设随机变量XPX2,X3相互独立,其中乙服从[0,6]上的均匀分布,X?
服从正态分布
7V(0,22),X3服从参数为2=3的泊松,令r=X,-2X2+3X3,则E(X)二
55、如果随机变量X的期望E(X)=2,E(X2)=9,那么D(1-3X)二
56、X,Y服从相同分布刊,则E\^aX+bY\aX-bY^=.
57、设随机变量X〜3(3,0.1),则丫=2*_1的数学期望为
58、设X,丫相互独立,X和丫的概率密度分别为:
fx(兀)=<
-x3
0,
兀>2f2y,°
vyvl
其他心h其他
则E(XY)=
D(X)=・
62、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=
1-x2+2x-1
—8<
X<
60、随机变量(X,Y)〜N(0,1;
0,4;
/?
),已知D(2X一Y)=1,则°
=,
61、设随机变量(X,Y)的联合分布律为
(x,y)
(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)
0.40.2ab
若E(XY)=0.8f则cov(X,Y)=
E(X)=63、设随机变量X与y的相关系数为0.9,若Z=X-0.49则丫与Z的相关系数为—
二、解答题
1、设两两相互独立的三事件A,B,C满足条件:
ABC=0,P(A)=P(B)=P(C),已知
9P(AuBuC)二一,求P(A).
16
2、设事件A与B相互独立,两事件中只冇A发生及只冇B发生的概率都是丄,试求P(A)
4
及P(B).
3、一口袋中有6个红球及4个口球。
每次从这袋屮任取一球,取后放回,设每次取球时各
个球被取到的概率相同。
求:
(1)前两次均収得红球的概率;
(2)第兀次才取得红球的概率;
4、卬、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试,不及格的概率分别为
0.4,0.3,0.5.
(1)求恰有两位同学不及格的概率;
(2)如果己经知道这3位同学中有2位不及格,求其中一位是同学乙的概率.
5、甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击,设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为0.4,0.5,
0.7,乂设若只有一门炮射小,飞机坠毁的概率为0.2,若有两门炮射小,飞机坠毁的概率为0.6,若三门炮同时射中,飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率?
6、已知一批产品中96%是合格品,检查产品时,一合格品被误认为是次品的概率是0.02;
一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.
7、某厂用卡车运送防“非典”用品下乡,顶层装10个纸箱,其小5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。
到冃的地时发现丢失1箱,不知丢火哪一箱。
现从剩下9箱中任意打开2箱,结果都是民用口罩,求丢失的一箱也是民用口罩的概率。
8、设有来口三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,
7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
(1)求先抽到的一•份是女牛表的概率;
(2)已知后抽到的一份是男牛表,求先抽到的一份是女牛:
表的概率q.
9、玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.&
0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时售货员随意取一箱,阳顾客开箱随机查看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回.试求:
(1)顾客买下该箱的概率;
(2)在顾客买下的一箱中,确实没冇残次品的概率.
10、设有两箱同类零件,第一箱内装50件,其中10件是一等品;
第二箱内装30件,其中18件是一等品•现从两箱屮随意挑出--箱,然后从该箱屮先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回),试求
(1)现取出的零件是一等品的概率;
(2)在先取出的零件是一•等品的条件下,第二次取出的零件仍是一等品的概率.
11、有朋友白远方来,他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是0.3,0.2,0丄0.4.
若处火车來迟到的概率是丄;
坐船來迟到的概率是丄;
处汽车來迟到的概率是丄;
处E机
4312
來,则不会迟到.实际上他迟到了,推测他坐火车來的可能性的人小?
12、甲乙两队比赛,若有一队先胜三场,则比赛结束.假定在何场比赛中甲队获胜的概率为
0.6,乙队为0.4,求比赛场数的数学期望.
13、一箱中装有6个产品,其中有2个是二等品,现从中随机地取出3个,试求取出二等品个数X的分布律.
14、甲、乙两个独立地各进行两次射击,假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙的命屮次数,试求X和丫的联合概率分布.
15、袋中冇2只口球,3只黑球,现进行无放回摸球,且定义随机变量X和丫:
1,第一次摸出白球fl,第二次摸岀白球
0,第一次摸出黑球’一[o,笫二次摸出黑球
(1)随机变量(X,Y)的联合概率分布;
(2)X与Y的边缘分布.
16、某射手每次打靶能命小的概率为二,若连续独立射击5次,记前三次小靶数为X,后3
17、
设随机变虽X的概率密度为/(%)=
Axe~x
x>
两次中靶数为丫,求
(1)(x,y)的分布律;
(2)关于x和丫的边缘分布律
试求
(1)系数A;
(2)方羌D(X).
x<
-a
18>
设随机变量X的分布函数为F(x)=<
A+Barcsin—,-a<
a
a
■x>
0,y>
其他
(1)确定常数A和B;
(2)X的概率密度函数.
19、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=\Ae"
求
(1)A的值;
(2)P{X<
l,r<
2}
fM=\4e
x>
20、某工厂生产的一种设备的使用寿命X(年)服从指数分布,其密度函数为:
工厂规定,设备在售出一年Z内损坏可以调换,若售出一台可获利100元,调换一台设备需
花费300远,试求厂方售出一台设备净获利的数学期望。
21、某种型号的器件的寿命X(以小吋计)貝有以下的概率密度
1000
其它
fW=<
X2
现冇一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立),任取4只,问其中至少冇一只寿命大于2000小时的概率是多少?
px乂〉0
22、设随机变量X的概率密度为f(x)=\I八.求Y=X2的概率密度.
23、设随机变量K服从(0,5)上的均匀分布,求方程4兀2+4Kx+K+2=0有实根的概率.
24、设一物体是圆截而,测量其直径,设其直径X服从[0,3]上的均匀分布,则求横截而积
V2y的数学期望和方差,其中y=tt—
25.设随机变量X服从lE态分布N(0,l),求随机变量函数Y=X2的密度函数。
20000八
兀〉0
26、设某种药品的有效期间X以天计,其概率密度为/(x)={(x+100)i
0,x<
(1)X的分布函数;
(2)至少有200天有效期的概率.
27、设随机变量X服从均匀分如"
[0,1],求Y=-2\nX的概率密度.
28、设随机变量x的概率密度为fx(%)=—,(-oo<
%<
oo),求随机变量y=i-Vx
龙(1+对)
的概率密度fy(^)•
29、设二维随机变量(X』)的概率密度为/(“)=]严一兀一)必°
vxv2,2vyv4,
0其它
求P{X+Y<
4],
21vv<
?
<
30、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为/(x,y)=JX+3X>
,?
-x-^-y-
0,其他
试求:
(i)(x,r)的分布函数;
(2)x的边缘密度两数.
31、设随机变a(x,y)的联合概率密度两数为
(1)(X,Y)的分布函数;
(2)关于X的边缘分布函数.
34、设二维连续型随机向a(x,y)的概率密度为
/(X,y)=~J~,-oo<
oo,-
;
r(4+〒)(9+y)
(1)(X,/)的分布函数;
(2)关于Y的边缘概率密度.
35、设二维随机变u(x,r)的联合概率密度为
*l,|y|Ml
(2)P{X<
3,y<
|}o
-1
36、设(X,Y)的联合分布律为X\
0.1
0.3
D(r2).
(1)边缘分布Y的分布律;
(2)£
(F);
(3)37、从学校乘汽车到火车站的途小有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互
独立的,R概率都是一,设X为途中遇到红灯的次数,求
(1)X的分布律;
(2)X的期望.
5
38、设盒中放冇五个球,其中两个白球,三个黑球。
现从盒中一次抽取三个球,记随机变量
X,Y分别表示取到的三个球中的白球数与黑球数,试分别计算X和Y的分布律和数学期望.
2、设袋中有10个球,其中3白7黑,随机任取3个,随机变量X表示取到的口球数,试求:
39、一台设备山三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望和方差.
40、设随机变量X的概率密度/(%)=
垃,0*1
42、设X的概率密度为心」討
0<
2,
已知E(X)=0.5,D(X)=0.15,求系数a,b,c.
(1)X的分布函数;
(2)数学期望E(X2)
43、设随机变量X代表某牛:
物的一项牛:
理指标,根据统计资料可认为其数学期望
E(X)=73,标准差(7=7・试用切比雪夫不等式估计概率P(52<
94).
三、综合题
1、已知P(A)=-,P(B|A)=-,p(a|B)=-,求P(AuB)
32
2、设A,3是两个事件,乂设P(A)>
p>
0,P(B)>
p2>
0且卩+卩2>
1,证明:
P(BIA)ni-上邑.
P\
3、假设P(A)>
0,试证P(BIA)ni—£
回.
P(A)
4、已知事件A,B,C相互独立,证明:
AuBAiC相互独立.
5、设4,B是任意二事件,其中0vP(A)vl,证明:
P(A\B)=P(A\B)是人与3独立的
充分必要条件.
6、设事件A、B满足P(A)>
0,P(B)>
0,试证明A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。
7、证明:
P(AP匕入B)=P(A)+P(B)-2P(AB)
8、由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏2%(记为儿),10%(记为A?
),%%(记为心)的概率分别为P(£
)=0.&
P(A)=0.15,P(A3)=0.05f现从中随机地独立地取3件,发现这3件都是好的(记为B)•试分别求P(A』B),P(A2|B),P(A3|B)(设物品件数很多,取出一件以后不影响取后一件的概率)
9、假设某山城今天下用的概率是-,不下用的概率是一;
天气预报准确的概率是一,不
334
准确的概率是丄:
王先生每天都听天气预报,若天气预报有雨,王先生帘伞的概率是1,若
犬气预报没有雨,王先牛带伞的概率是丄;
(1)求某犬犬气预报F雨的概率?
(2)王先牛某
天带伞外岀的概率?
(3)某天邻居看到王先生带伞外出,求预报天气下用的概率?
测中事件{%<
-}发生的次数,求p{r=2}o
11、设2000件产品中有40件次品,按放回抽样连取100件,其中次詁数X为随机变量.
(1)写出随机变量X的概率分布律的表达式;
(2)按泊松分布近似计算概率P(0<
4);
12、设随机变最X服从标准正态分布"
(0,1),求Y=ex的概率密度.
13、设P{X=0}=P{Y=0}=P{X=\}=P{Y=1}=丄,两个随机变量X,Y是相互独
立且同分布,求随机变量乙=max(X,y),Z2=X+Y的分布律.
14、设二维随机变量(X,Y)是区域D内的均匀分布,D-.x2+y2<
\•试写出联合概率密度
函数,并确定是否独立?
是否相关?
15、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
16、设随机向量(X"
)的联合概率密度函数为/(x,y)二
l,()<
y<
1英他
求
(1)A的值;
(2)两个边缘概率密度函数。
(1)常数c;
(2)x和丫的边缘密度函数;
(3)证明x与丫相互独立.
(3)数学期望E(XY)•
6x,
(1)、的联合密度函数f(讪;
(2)P(X<
r);
18.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数/(x,y)=
求
(1)X,y的边缘密度函数;
(2)P(X+Y<
\).
19、一个电了仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:
千小时).已知X和丫的联合分布函数为:
[1-严"
—e-0.5y+严.5(w),%>
F(^)=l0,其他.
(1)求联合概率密度/(%,>
):
(2)求X和Y的边缘概率密度;
(3)判别X和丫是否相互独立.
20、已知随机变量X,Y的分布律为
Y
且P(XY=0)=1,求X,Y的联合分布律。
21、设X〜nQqT,试证明y二荃二土服从标准正态分布"
(0,1).
(J
22、设随机变量XijY相互独立,且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布,试证明X+Y
仍服从泊松分布,参数为6.
已知对X独立重复观测3次,事件A={X5丄}至少发生一次的概率为卫。
264
(1)求常数
(2)为了使事件A至少发生一次的概率超过0.95,那么对X至少耍作多少次独立重复观
-\
-1<
1,
X>
测。
(In0.05=-2.9958,In0.75=-0.2877)
24、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=<
A+Barcsin兀
试求
(1)常数A,B;
(2)X的概率密度;
(3)Y=2X—1的概率密度.
25、一辆飞机场的交通车送20名乘客到9个站,假设每名乘客都等可能地在任一站卜车,
且他们下车与否相互独立,乂知交通乍只在有人下车时才停车,求该交通车停车次数的数
学期望。
26、设随机变量X的概率密度为/(%)=
(2)r=3X的概率密度函数;
(3)Y=e'
x的数学期望。
27、设随机变量X和丫同分布,X的概率密度为f(x)=\sX9°
20,其他.
(1)己知事件人=以>
。
}和3={丫>
}独立,FLP(4uB)=2,求常数0;
(2)求一'
的数学期望。
X2
\a-\-bx2,0<
x<
11
28、随机变量X的概率密度/W=1°
其它,月.E(X)=才,求恥及分布函
数F(x)・
—sinx,
7C
兀兀
-,0<
.y<
-
29、设二维随机变量(X,。
的联合概率密度为
求
(1)E(x),E(y);
(2)D(x),D(y);
(3)Cov(X,Y)
30、设随机变量X|,X?
的概率密度分别为
〔厂,%>
()[4『”,x>
[0,x<
()[0,x<
求
(1)E(X12+2X2);
(2)设X「X?
相互独立,求E(X&
2)・
四、选做题:
(选择题)
1、以A表示甲种产品畅销,乙种产品滞销,则方为().
(A)卬种产品滞销,乙种产品畅销
(B)甲、乙产品均畅销
(0甲种产品滞销
(D)甲产品滞销或乙产品畅销
2、假设事件满足P(BIA)=1,贝U().
(A)A是必然事件⑻P(B\A)=O
(C)Az)B
(D)AuB
3、设P(AB)=0,
则有().
(A)A和B不相容
(B)A和B独立(C)P(A)=0或P⑻=0(D)P(A-B)=P(A)
(A)方与歹不相容
(C
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