第一章 度量空间黎永锦整理版Word格式.docx
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dX则是一个度量空间,称为上的平凡度量或离散度量.(X,d)
度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量.
nRx,(x),y,(y)例1.1.3对于,可以定义几种不同的度量,对于,有ii
n21/2;
d(x,y),[(x,y)],ii,n1
n
;
d(x,y),|x,y|1,iin,1
d(x,y),max{|x,y|}2ii
nnnn容易验证,和都是度量空间,一般称为欧几里得(R,d)(R,d)(R,d)(R,d)12
空间.
以下的例子是在M.Frechet1906年提出的.例1.1.4如果用记所有实数列形成的集合,对于任意,定义x,(x),y,(y)sii
|x,y|iid(x,y),,i!
(1,|x,y|)i1,ii
xd容易知道满足度量定义中的
(1)和
(2),由函数,(x)=在(0,)是,,1,x
|a,b|,|a|,|b|单调增加的可知对于,有
|a,b||a|,|b||a||b|,,,1,|a,b|1,|a|,|b|1,|a|,|b|1,|a|,|b|
|a||b|,,1,|a|1,|b|
a,x,z,b,z,y令,则可得到,所以d(x,y),d(x,z),d(y,z)(s,d)iiii
是一个度量空间.
常见的序列空间还有如下几个空间.
(x),(y),ll,{(x)|sup|x|,,,}例1.1.5,对于任意的,定义,iiii,i,,
1d(x,y),sup|x,y|lx,().即为所有有界数列所形成的空间,如,ii,i
i,但.y,(1,(,1)),lz,(i),l,,
c,{(x)|limx,0}例1.1.6,对于任意的,定义(x),(y),cii0ii0i,,
1c.即为所有收敛于0的数列所成的空间,如,d(x,y),sup|x,y|x,()0iii2
i1,(,1)i,但.y,(),cz,(1,(,1)),c0i03
例1.1.7,对于任意的,定义l,{(x)||x|,,,}d(x,y)(x),(y),l1iiii1,1i,
1.即为所有绝对收敛数列所成的空间,如,但,|x,y|lx,(),lii1,1ii1,31.z,(),l1i
3R度量就是中距离的推广,在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收敛性.
d(x,x),0定义1.1.2设是度量空间,,若,则称序{x},X(X,d)limn0n,,n
dx列按度量收敛于,记为limx,x,或,此时称为{x}x,x(n,,){x}0n0n0nnn,,
x收敛点列,称为的极限.{x}0n
在数学分析中,大家都知道,若数列{x}是收敛的,则其极限是唯一的.类似地,在n
度量空间也有下面的结论.
{x}{x}定理1.1.1在度量空间中,若是收敛点列,则的极限一定唯(X,d)nn一.
x,y,Xx,ylimx,xlimx,y证明用反证法,假设有,使得,,但,则由nn,,,,nn
d(x,y),0d(x,y),0d(x,y),d(x,x),d(x,y),可知.又由于,因此nn
x,y{x}d(x,y),0,但这与假设矛盾,所以由反证法原理可知的极限唯一.n
另外,容易看出,在度量空间中,若是收敛点列,则的任意子{x}{x}(X,d)nn
列也是收敛点列,并且极限是一样的.
d(x,y)d(x,y),d(x,y)定理1.1.2若,,则.即是x,xy,ynn00n0n0
和的二元连续函数.xy
证明由于
d(x,y),d(x,x),d(x,y)nnn00n
d(x,x),d(x,y),d(y,y)n0000n
因此
d(x,y),d(x,y),d(x,x),d(y,y)nn00n0n0
同样地,有
d(x,y),d(x,y),d(x,x),d(y,y)00nnn0n0
因而
|d(x,y),d(x,y)|,d(x,x),d(y,y)nn00n0n0
d(x,y),d(x,y)所以,.nn00
如果考虑如下的问题呢,
问题1.1.1若X是线性空间,为度量空间,加法是否连续呢,(X,d)
不一定,下面的例子是D.D.Rothmann[Anearlydiscretemetric.Amer.Math.
Monthly81(1974),1018-1019.]作出的.例1.1.8设,对于任意,定义R,(,,,,,)x,y,R
0,当x,y时,,d(x,y)=,max{|x|,|y|},当x,y时.,
则容易验证是一度量空间.(R,d)
1yx,1其实,只要取,,,,则x,1y,1,,nn00n
11d(x,x),d(1,1),0,0d(y,y),d(,,0),,0,.n0n0nn
1d(x,y,x,y)d(x,y,x,y),d(1,,1),1但,因此不收敛于0.所以,虽nn00nn00n
x,yy,yx,x然,,但是不收敛于.{x,y}00n0n0nn
231/23在空间解析几何中,称是R中一个以{(x,x,x)|(|x,x|),r},i1230i,1
为球心,为半径的球.同样地,球的概念可以推广到一般的度量空间.xr0
r.1.3若为度量空间,为大于0的实数,则称定义1(X,d)
{x,X|d(x,x),r}x是以为球心,为半径的开球,记为.而U(x,r)U(x,r)r0000
{x,X|d(x,x),r}x称是以为球心,为半径的闭球.B(x,r)r000
抽象的度量空间与现实的世界有着较大的区别,下面的问题是很有意思的.
问题1.1.2在度量空间中,一个半径较小的开球能否真包含一个半径较大的开球,
度量空间的开球与真实世界的球有着本质的区别,一个半径为6的开球,可能会真包含在一个半径为4的开球内.
22例1.1.9设为实数,},在上定义度量X,{(x,x)|x,xX|x|,|x|,16121212
221/2,则以=(0,0)为球心4为半径的小球真包含以xd(x,y),(|x,y|,|x,y|)01122
y=(3,0)为球心6为半径的大球.0
进一步,还可以考虑下面的问题.问题1.1.3对于任意,是否都可找到一个度量空间,存在两球,使得小r,r,021
球真包含大球呢,U(x,r)U(x,r)0102
利用开球还可以刻画点列的收敛性,类似于数学分析中的数列收敛与开区间的
{x},,0n,N联系,序列依度量收敛于当且仅当对于任意,存在,使得xNn0
x时,都包含在开球中.U(x,,)n0
0,,,1dX例1.1.10若为非空集合的平凡度量,则对任意及,x,X0
n,NxU(x,)只包含一个点,因此如果序列收敛于,则必有,使得时,一定,xNn00x,x有.n0
r,0X定义1.1.4设M是度量空间的子集,若存在xX,,使得M包含在,0U(x,)开球,中,则称M是的有界集.(X,d)0
r,0x,M明显地,M是有界集当且仅当存在x及,使得对任意,有0
.d(x,x),r0
{x}{x}定理1.1.3若为度量空间的收敛序列,则是有界的.nn
N,,1n,Nlimx,x证明设,则对于,存在,使得时,有.d(x,x),1n0n0n,,
nr,max{1,d(x,x),,,,,d(x,x)},1令,则对任意的,有,故d(x,x),r010n,10n
所以是有界的.{x}{x},U(x,r)nn0
有界集是一个与度量有关的概念,因为对于任意一个度量空间,都可以引(X,d)入另一度量,使任意子集都是有界集.M,X,
d(x,y)事实上,只需令,则容易看出对任意,都是(,)M,XX,,(x,y),M1,d(x,y)
的有界集,并且有当且仅当.d(x,x),0,(x,x),0nn
例1.1.11设s为全体实数列,对于任意,d(x,y)x,(x),y,(y),sii,|x,y|iid=,试证明(s,d)中序列按度量收敛当且仅当序列按坐标收敛.,i!
(1,|x,y|)iii1,
(n)(0),|x,x|ii证明若,,则d(x,x)=0,,x,sd(x,x),0nn,n0(n)(0)i!
(1,|x,x|)i1,ii故对每一个固定的i,有0
(n)(0)|x,x|ii00,d(x,x)n0(n)(0)i!
(1,|x,x|)0ii00
i!
d(x,x)(n)(n)0n0|x,x|,ii001,i!
d(x,x)0n0
(n)(n)limx,x{x}x所以,即按坐标收敛于.iin000,,n
10,,,1{x}反过来,若按坐标收敛于,则对于任意,由于级数收x0n,i!
i1,
1,敛,因此存在正整数m,使得.,,i!
4im,
n()(0)对于每个i<
m,有N,使得n>
N时,有.令N=max{N,...,||x,x,ii1ii4N},则当n>
N时,有m-1
(n)(0)m,1m,1|x,x|ii4,,,(n)(0),i!
(1,|x,x|)i,1i,1iii!
(1,)4
3,4因此
(n)(0)(n)(0)m1,,|x,x||x,x|iiiid(x,x),,n0,,(n)(0)(n)(0)i!
(1,|x,x|)i!
(1,|x,x|)i1im,,iiii
,3,,,,.44
limd(x,x),0.d所以即依度量收敛到.{x}xn0n0,,n
1.2度量拓扑
在数学分析,对实数集R,已经有了开区间,闭区间,开集和闭集等概念,将这些概
念推广到一般的度量空间,就可以建立起度量空间的拓扑结构.(X,d)
X定义1.2.1设x,G是度量空间,是的子集,称为的内点,若存(X,d)GG0在的某个开球,使得.若G的每一个点都是的内点,则称GU(x,r)U(x,r),G00
为开集.G
X另外,规定空集是开集,明显地一定是开集.,
定理1.2.1对于任意,开球是度量空间(X,d)的开集.x,X,r,0U(x,r)00
证明只需证明对于任意的,是的内点.xx,U(x,r)U(x,r)00
r'
r,d(x,x)d(x,x),r对于,有,令,则且r'
0x,U(x,r)000
d(x,y),r'
时,有,因而y,U(x,r'
)
d(x,y),d(x,x),d(x,y),d(x,x),r'
r000
所以,,即是的内点,由是任意的可知是xxU(x,r'
),U(x,r)U(x,r)U(x,r)000开集.
下面关于开集的基本性质就是一般拓扑学的公理基础.
定理1.2.2设是度量空间,则(X,d)
(1)任意个开集的并集是开集;
(2)有限个开集的交集是开集.
x,:
G证明
(1)设为的一族开集,则对任意,有某个下标,G,(X,d)0,,,
U(x,r),GU(x,r),G使,由于是开集,因而有开球,因此,故x,GG,,,:
000,
为的内点,由是任意的可知是开集.xxGG:
:
,,,
G,,,,,Gi,1,2,,,,,n
(2)设为开集,对于任意,对,有x,G,x,G1nii:
1i
Gr,min{r|i,1,2,,,,n}rU(x,r),G由于是开集,因此有使得,令,则iiiii
nnn
U(x,r),GU(x,r),G,因而,所以,x为的内点,从而为开集.GGii:
iii,1i,1,1i
dXX例1.2.1设是非空集合,为上的平凡度量,则对任意,开球x,X0
U(x,1),{x|d(x,x),1},{x},因而是开集,所以,的任意子集X{x}0000
都是开集.G,{x}:
x
问题1.2.1任意多个开集的交集是否一定为开集,
任意多个开集的交集不一定是开集.
11d(x,y),|x,y|G,(,,)例1.2.2在实数空间中,,对于任意自然数,nRnnn
11是的开集,但G不是开集.,:
(,,),{0}Rn:
nn1n,
C定义1.2.2F,X度量空间的子集称为闭集,若的余集\是开集.(X,d)FFF
由上面的定理,容易看出下面定理成立.定理1.2.3设是度量空间,则(X,d)
X
(1)和是闭集;
(2)任意闭集的交集是闭集;
(3)有限个闭集的并集是闭集.
与闭集有着密切联系的概念是极限点.
x,XF定义1.2.3设是中的集合,,若包含的任意开集都含有不同x(X,d)
FF于的的点,则称为的极限点.xx
FFR明显地,x为的极限点时,x不一定属于.例如在实数空间中,0是F=10,F{|n=1,2,…,n,…}的极限点,但.n
Fx容易看出,有几种方法可以检查一个点是否为的极限点.
x,X定理1.2.4设(X,d)为度量空间,,,则下列条件等价:
F,X0
(1)为的极限点;
Fx0
(2)包含的任何一个开集都含有异于的无穷多个点;
Fxx00
x,x,xlimx,x.(3)在F中存在序列,且nn0n0,,n
定义1.2.4设是度量空间,,称F的极限点全体为F的导集,记(X,d)F,X
F,F:
F'
为F'
.称为F的闭包.例1.2.3在实数空间中,若,则,且.F,FF,[1,2]:
{3,4}F'
[1,2]R
FX定理1.2.5设是度量空间,为的子集,则下列条件等价:
(X,d)
F
(1)是闭集;
F
(2);
(3)F,F.
CFF'
FF证明
(1)
(2)若是闭集,则是开集.如果,则.如果,,F'
x,F'
x,F,则对任意,必有.,F'
CCCx,FF:
F,x,FF不然,假设,则有,由于是开集,且,但这与,x,F'
矛盾.
FF'
F
(2)(3)若,则.,
CF,F:
FF,F'
F(3)
(1)若,则.如果,则是闭集;
,F,X
CCx,FF,F'
Fx,F'
如果,,则对任意,由可知,因而存在开球
CCCFFU(x,r):
F,x,,故,即是的内点,因此是开集,所以F是闭U(x,r),F
集.
x,X定理1.2.6设是度量空间,,,则下列条件等价:
(X,d)F,X
x,F
(1);
(2)的每个开球都包含有的点;
xF
limx,x.(3)有序列,使得{x},Fnn,,n
x,F,F:
x,F证明
(1)
(2)对,若,则明显地对每个开球,U(x,r)x,
包含有的点.若,则对于的每个开球,必含有的U(x,r)U(x,r)U(x,r)xFF异于的点,所以一定含有的点.U(x,r)xF
11xU(x,)dxx(,),
(2)(3)对于任意正整数,中含有的点,因而,所n,Fnnnn
limx,x.以,n,,n
{x},Flimx,x.x,F(3)
(1)设存在,使得如果,则明显地有,nn,,n
x,xx,F{x},Flimx,x.x,F.如果,则由可知,因而由可知nnn,,n
x,Fx,F'
所以,.
容易证明,的闭包就是包含的最小闭集,因此需要考虑下面的问题.FF
问题1.2.2在度量空间U(x,r)中,开球的闭包是否一定是闭球(X,d)0
B(x,r),0
xU(x,r)B(x,r)在度量空间中,都以为球心,为半径的开球和闭球(X,d)r000虽然半径一样,但开球的闭包不一定是闭球.
例1.2.4在R,(,,,,,)上,定义平凡度量
0,当x,y时,d(x,y)=,,1当x,y时.,
U(0,1)U(0,1),{0}则对于开球,由于是闭集,因此它的闭包仍是{0},不是闭球
.B(0,1),(,,,,,)
定义1.2.5设是度量空间,,称的内点全体为的内部,记(X,d)GGG,X
0为G.
容易证明,对于的内部和闭包,有下面的定理成立.G
G,X定理1.2.7设F,X为度量空间,,,则(X,d)
0G,G
(1)是开集当且仅当;
G
0
(2)G,G,G;
00G,F(3)当时,一定有G,F,G,F.
利用闭包这一概念,还可以引进一些与闭包有关的概念.
X定义1.2.6设为度量空间的子集,若F,X,则称在中稠密.(X,d)FF
F定义1.2.7设为度量空间的子集,若不包含任何内点,则称称在(X,d)FFX中是疏朗的.
例1.2.5全体有理数Q在实数空间中是稠密的,而全体自然数R,(,,,,,)
在中是疏朗的.ZR
d在度量空间中,利用度量,可以定义开集,闭集,闭包,内部等概念,也可(X,d)
dx以利用开集来刻画序列依度量收敛于.{x}0n
F.Hausdorff(1868-1942)发现对于一个给定的点集,可以不必引进度量,也能用某种方式来确定某些子集为开集,然后利用开集就可以建立闭集,闭包和序列收敛等概念,F.Hausdorff利用这些概念建立了拓扑空间的完整理论.
定义1.2.8设是一个非空集合,是的一族子集,若满足下面的三个公XX,,理,则称(X,)是拓扑空间,
,
(1),;
X,,,
(2)中任意个集合的并集属于;
,
(3)中任意有限个集合的交集属于.,,
此时称中每一个集合为开集,则称为拓扑.,,
(X,,)明显地,若是度量空间,为度量空间中的全体开集,则为拓扑(X,d),
d空间,称为度量产生的拓扑.,
(X,,)XX例1.2.6设是一个非空集合,为的子集的全体,则是一个拓扑,
dX空间,此时称为的离散拓扑.此时,对于任意,都是开集.若为上的平凡xx,X,
dX度量,则度量产生的拓扑就是的离散拓扑.
(X,,)X,{x,y,z}X,{x},{x,y},{x,z}}例1.2.7设,={,,则为一拓扑空,,
UU(X,,)z间.但在中,对含有点和含有点的任意开集和,都有yyzU:
U,.,yz
1x,y,Xr,d(x,y)明显地,在度量空间中,对于任意,只需取,则(X,d)4U(x,r):
U(y,r),,具有这种性质的拓扑空间称为Hausdorff空间.,
(X,,)X定义1.2.9拓扑空间称为Hausdorff空间,若对于中的任意,x,y
UU:
U,x,yy,UUx,U,存在两个开集和,使得,,且,.yxyyxx
另外,度量空间还具有下面例题中的性质,而具有这种性质的拓扑空间(X,d)
为正规空间.
例题1.2.1设,是度量空间中的两个闭集,且,试证明FFF:
F,(X,d),1212存在开集,,使得,,且.UUF,UF,UU:
U,,21122121
cc证明:
由于,因此.由是闭的可知是开集,故对于任意F:
F,FF,F,F122122
cx,F,存在,使.r,0U(x,r),F1x2x
rx令,则是开集,且.UF,U,(,)UUx1111:
2,xF1
rycr,0类似地,对于任意,存在,使得,令,则U(y,r),Fy,F,(,)UUyy122y:
2,xF2是开集,且.UF,U222
rryx:
U(y,)如果存在,则由可知一定有z,U:
U,:
(,)Ux,122,yF2,xF21
rryx(,)z,Ux(,)z,Uyx,F,y,F,使且.1222
rryxd(x,y),d(x,z),d(y,z),,,max{r,r}xy22
cy,F但这是不可能的,因为若d(x,y),r,则与矛盾;
若d(x,y)<
y,U(x,r),Fx22x
cx,U(y,r),Frx,F,则与矛盾.y11y
F,UF,UU:
U,U:
U,因此由上面讨论可知,所以存在开集,且.,,12112212
(X,,)PaulS.Uryosohn(1892-1924)还证明了每一个正规的拓扑空间都可以
d引进度量,使得产生的拓扑与是一致的,即每一个正规的拓扑空间都是可度量,
化的.
1.3连续算子
M.Frechet在他1906年的博士论文中,考察了一类空间,在空间中定义了LL泛函的连续性和一致收敛性等,在空间中引进并研究了列紧性,证明了在列紧集L
上的连续泛函是有界的,并在列紧上达到它的极大(小)值,这样就将实变函数的许多结果进行推广.
其实,依照数学分析中函数的连续性,在度量空间中很容易引入算子的连续性.
X定义1.3.1设和(Y,)都是度量空间,为到Y的算子,,若对,x,X(X,d)T0
x,,0,存在,使得时,有,则称算子在点连续,任意d(x,x),,,(Tx.Tx),,,,0T000
XX若在上的任意点都连续,则称在上连续.TT
例1.3.1设c为所有收敛于0的实数列的全体,在度
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