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一品红2号
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①试求这两个新品种每株桔树的平均产量。
②从高产、稳产考虑,上述两个品种哪个优良?
学生无法比较,引导学生观察下列图形:
为了更清楚地进行观察,将以上两个图形改进为以下两个图形:
通过观察,发现两个品种产量的稳定性是不一样的,说明只用平均产量不能判定哪种品种好,还需了解产量的稳定性,有必要引入方差的概念。
(2)直观导入。
在学习新课题之前,先让学生观察实物、标本、模型、图表;
幻灯、投影或电影录像等,引起学生的兴趣,学生通过直观形象演示操作,感知数学知识,从而导入新课。
例如,轴对称的概念的导入可以这样来进行设计:
教师出示如下图的三组教具,让学生观察并回答下列问题:
①每组中的两个三角形的形状、大小有什么关系?
②每组中一个三角形通过怎样的运动,可以得到另一个三角形?
让学生进行具体操作,从一个三角形运动到另一个三角形。
指
到。
对称有两种:
轴对称和中心对称,图4-7(b)是轴对称,从而引入
轴对称的概念。
(3)实验导入。
教师设计一些带有启发性、趣味性的实验,通过
演示或让学生动手进行操作,揭示事物的发生、发展过程,或发现数
学的结论,由此导入课题。
这种导入方法,既可以激发学生的思维活
动,又可以活跃课堂的气氛,产生很好的教学效果。
例如,江苏省南京师范大学附中马明老师在教“球的体积”时,先
做一个实验:
取一个半径为R的
学的结论,由此导人课题。
出图4-7(a)可以通过平移得到,图4-7(b)和4-7(c)可以通过对称得到。
轴对称和中心对称,图4-7(b)是轴对称,从而引入轴对称的概念。
教师设计一些带有启发性、趣味性的实验,通过演示或让学生动手进行操作,揭示事物的发生、发展过程,或发现数学的结论,由此导人课题。
这种导入方法,既可以激发学生的思维活动,又可以活跃课堂的气氛,产生很好的教学效果。
例如,江苏省南京师范大学附中马明老师在教“球的体积”时,先做一个实验:
取一个半径为R的半球容器,再取半径和高都是R的圆桶和圆各一个。
把圆锥放人圆桶内,再将半球容器装满细,然后把半球容器内的细沙倒入圆桶内,发现圆桶恰好被细沙装满(如图4-8)。
可以得出
由此导入球的体积公式,下面进一步加以证明。
(4)旧知识导人。
这是常用的导人方法。
在学习新知识前,先复习旧知识,在旧知识的基础上,引导学生提出问题、发现问题,从已知的领域进入未知的境界,从而引入新知识。
例如学习平行线分线段成比例定理时,先复习平行线等分线段定理,然后在此基础上提出:
等分线段是两线段的比等于l,如果两线段的比不等于l,可以得到什么结论?
由此引入平行线分线段成比例定理。
<
5)悬念导人。
悬念导入是利用一些暂时悬而未决的问题,与学生已有观念造成的认知冲突来导入新课的方法。
这种导入方法使学生置身于认知矛盾之中,激起他们解决矛盾的强烈愿望,促使他们积极主动地学习新的数学知识。
例如在学习复数三角形式时,先让学生计算
、
,然后问学生
等于多少?
学生一下子无法回答,形成了一个悬念。
这时教师就指出:
如果学了复数三角形式,这个问题就迎刃而解了,于是引入了复数三角形式。
(6)类比导人。
类比导入是通过比较两个数学对象的共同属性来引入新课的方法。
已知的数学对象比较熟悉,新的数学对象通过与已知的数学对象类比,引入就比较自然。
例如在进行分式基本性质教学时,可以先复习分数的基本性质,然后通过类比导入分式的基本性质。
(7)故事导入。
中学生都爱听有趣的故事,在数学发展历史中有许多动人的故事,通过讲故事导入,可以使学生对所学内容产生浓厚的兴趣,激起强烈的求知欲望。
而且很多数学故事还蕴含着数学思想方法,对培养数学意识、数学观念很有好处,同时又可以对学生进行思想品德教育,培养学生爱国主义精神。
例如,在学习等比数列时,常常讲下列的故事:
从前有一个国王,因为大臣有功而给予奖励,问大臣要什么奖励?
大臣提出奖励的办法是:
要求在国际象棋棋盘中每一格中放米,第l格放1粒,第2格放2粒,第3格放4粒,以后每一格放的米粒数是前面一格的2倍,以此类推,一直放到第64格。
将这些米粒的总数奖给自己。
国王很爽快地答应了,但是后来一算,不得了,全国粮仓中所有的米都奖给他还不够。
你帮他算算看,为什么?
这样引入等比数列,既生动有趣;
又明白易懂。
二、教学情境设计
1,教学情境概述
教学情境是一种特殊的教学环境,是教师为了发展学生的心理机能,通过调动“情商”来增强教学效果而有目的创设的教学环境。
也是教师根据教学目标和教学内容,创造出师生情感、欲望、求知探索精神的高度统一、融洽和步调一致的情绪氛围。
建构主义学习理论认为:
学习是学生主动的建构活动,学习应与一定的情境相联系,在实际情境下进行学习,可以使学生利用原有知识和经验同化当前要学习的新知识。
这样获取的知识,不但便于保持,而且容易迁移到新的问题情境中去。
创设教学情境,不仅可以使学生容易掌握数学知识和技能,而且可以“以境生情”,可以使学生更好地体验教学内容中的情感,使原来枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象、饶有兴味,并且受到思想品德教育。
2.教学情境的类型
教学情境的类型很多,在数学教学中应用较多的有以下几种:
(1)问题情境。
教师提出具有一定概括性的问题,与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突,学生单凭现有数学知识和技能暂时无法解决,于是激起学生的求知欲望,形成一种教学情境。
在教师的指导下,学生通过探索和研究解决问题。
(2)故事情境。
教师通过讲数学知识发现的故事、有关数学家的故事创设教学情境,激发学生学习数学的求知欲望,使学生在听故事的过程中学习数学知识,接受思想教育。
例如在教等差数列求前n项和的公式时,常常讲高斯小时候计算1+2+3+……+100的故事。
故事既能引起学生学习的兴趣,又体现了推导等差数列求前n项和的公式的思路。
(3)活动情境。
教师通过组织学生进行与数学知识有关的活动,构建教学情境,让学生在活动中提高学习数学的兴趣,掌握数学的知识。
例如在教利息计算时,可以开展模拟银行存贷款的活动。
将班级分成几个小组,有的小组扮演银行角色,公布各档存贷款的利率。
另一些小组扮演储户或借贷户角色。
储户向银行存款,借贷户向银行借款,并且提出问题:
向银行存或借一定数量的钱,并且知道存或借多少时间,要银行计算每笔存款或借款的利息。
在活动一段时间以后,扮演银行和扮演储户或借贷户的两种角色相互交换。
通过活动让学生掌握利息的计算。
(4)实验情境。
有些数学教学内容比较抽象,学生不容易理解,教师设计与教学内容有关的实验,让学生通过观察和动手操作,在实验的情境中提高分析和解决数学问题的能力。
例如数学归纳法比较抽象,特别是学生对它为什么要有第二步不理解。
可以设置下列实验情境;
几十个骨牌一个紧挨着一个放在桌上,排列成弯弯曲曲的蛇形队列,用一只手指推倒第1个骨牌,紧接着第2个骨牌、第3个骨牌……依次都倒下。
可以清楚地看到,要使每一个骨牌都倒下,除了第1个骨牌必须倒下以外,还必须有:
如果前面一个骨牌倒下,那么后面一个骨牌就紧接着倒下。
也就是必须要有当n=k成立时,n=k+1也成立。
又如在教有关浓度的问题时,可以设置实验情境。
先在量杯中倒进溶剂,然后加进溶质,得到溶液。
通过实验得到结论:
溶质=浓度×
溶液。
(5)竞争情境。
教师设计一些数学问题,将学生分成小组,创设小组之间进行比赛的情境,让学生之间开展竞争,比准确、比速度、比技巧。
例如在学习有理数运算时;
可以设计有关的问题组织学生进行运算比赛,使枯燥的运算变成生动活泼的竞争,大大地提高了学生学习的主动性和积极性;
3.数学问题情境的设计
(1)数学问题情境设计的原则;
①问题要具体明确。
这是问题情境设计最基本的原则。
提出的问题必须目的明确,紧紧围绕教学目标,而且要非常具体。
这样学生能理解问题的含义,才有可能来探索、思考和解决这些问题。
②问题要有新意。
为了激发学生的求知欲望,提高学生学习的兴趣,在设置问题情境时,必须选择新颖的问题。
③问题要有启发性。
教师在深入分析教学内容和学生情况的基础上,根据教学目标,设计使学生的原有认知结构和新知识产生矛盾的富于挑战性的问题。
(2)数学问题情境设计的方法。
数学问题情境设计的方法很多,这里介绍常用的几种。
①通过提出与新知识有关的实际问题,设置问题情境。
教材中有些定理和公式往往直接提出,学生不知道为什么要学,而且也比较抽象不容易理解。
这时教师可以设计一些与它们有关的实际问题构建教学情境,使抽象的内容具体化,使数学理论结合生活和生产实际。
学生在解决实际问题的过程中学到了新的数学知识。
例如北大附中张思明老师在教基本不等式
和
时,先提出两个应用题,设置问题情境。
1)某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动,拟分两次降价。
有三种降价方案:
甲方案是第一次打p折销售,第二次打q折销售,乙方案是第一次打q折销售,第二次打p折销售;
丙方案是两次都打
折销售,请问哪一种方案降价较多?
2)用一个有毛病(天平的两臂之长略有差异,其他因素忽略)的天平怎样称量物体的重量?
有人说只要左右各称量二次,再相加后除以2就可以了,你认为对吗?
通过解决这两个问题,引出基本不等式
②通过从前面结论进一步引出没有解决的问题,设置问题情境。
在学生掌握了某些数学知识的基础上,进一步提出更深入的问题让学生探索和研究,使学生经常处于“愤悱”的状态。
例如,在学习了基本不等式。
以后,进一步提出以下两个问题组织学生讨论;
1)从这两个基本不等式出发,再可以发现和证明哪些有关实数a、b或更多实数的不等式?
2)若a,b是正实数,且
,试排列下面六个量大小的次序:
③通过实验设置问题情境。
当学生的原有认知结构中已经具有学习新知识的预备知识,但新旧知识之间的逻辑联系还不容易被学生发现时,教师可以通过具体实验设置问题情境,让学生通过观察、画图、动手操作等实践活动,探索规律、提出猜想,然后通过逻辑论证得到定理和公式。
例如,在教“不在一条直线上的三点确定一个圆”时,教师先发给每一个学生一张破碎了的圆形硬纸片,并且说:
“机器上的皮带轮碎了,为了再制造一个同样大小的皮带轮,请你设法画出皮带轮对应的圆形。
”接着让学生用圆规、直尺、量角器等比比画画,进行实验,探索问题的解法。
然后在实验的基础上,设置问题情境:
过不在一条直线上的三点可以画几个圆?
④从同一问题通过不同推理和运算,产生形式上不同的结果,设置问题情境。
例如分解因式:
。
学生有两种解法,出现两种不同结果:
比较这两种结果,教师提出问题:
为什么有两种不同结果?
是不是其中一个等式不成立?
在排除了“其中一个等式不成立”的想法后,进一步提出猜想;
从而设置“
能不能分解因式,如何分解?
”的问题情境。
⑤从学生练习中发生的错误,设置问题情境。
由于学生原有认知结构与新知识之间产生矛盾,因此练习中经常会产生各种错误,可以以此来设置问题情境。
例如学生在解排列组合问题“生产某种产品100件,其中有2件是次品,现在抽取5件进行检查,其中至少有l件次品的抽法有多少种?
”时,常常会产生以下的错误:
由于从2件次品中抽出1件有
种抽法,再从余下的99件中抽出4件有
种抽法,因此共有
种不同的抽法。
提出下列问题要求学生思考:
1)这个解法是否有错误?
2)如果有错误,错在哪里?
应该如何解?
三、提问设计
l提问概述
提问是教师根据教学内容的目的要求,以提出问题的形式,通过
师生相互作用,检查学习、促进思维、巩固知识、运用知识实现教学目
标的一种教学行为和方式。
它是数学课堂教学的重要环节,是数学
教师与学生交流的一种重要方式。
提问具有以下几种功能:
(1)激励参与。
通过思考问题,使学生对学习产生兴趣,将注意力吸引到所学习的内容上去,充分激发学生思维的主动性,积极参与教学活动。
半球容器,再取半径和高都是R
的圆桶和圆锥各一个。
把圆锥放
人圆桶内,再将半球容器装满细
沙,然后把半球容器内的细沙倒
入圆桶内,发现圆桶恰好被细沙
装满(如图4-8)。
可以得出:
做一个实验:
(2)学会思维。
教师的提问可以起示范作用,教会学生如何发现问题、提出问题。
学生在分析问题和解决问题的过程中,学会如何进行比较、分析、综合、抽象、概括、演绎和归纳,从而学会思考问题的方法,提高思维的能力。
(3)检查反馈。
通过提问可以检查学生是否掌握已学过的知识,及时得到反馈的信息,了解学生认知的状态,诊断学生的困难和问题,从而对教学过程进行调整,并对学生进行适当的指导。
(4)巩固强化。
学生在回答问题的过程中,通过不断思考,巩固强化所学的数学知识和技能,提高综合运用的能力。
2.提问的类型
提问可以根据不同的要求进行分类;
可按提问的目的或方式来划分,也可按问题的认知水平来划分。
这里我们根据问题的认知水平将提问分为六类:
(1)回忆型提问。
通过回忆以前学过的定义、定理、公式和法则,回答教师要求记忆的内容,让学生对已经学过的知识再现和确认。
这种问题常常是本堂课新授内容的基础和预备知识,与新知识有密切的联系,为学习新知识提供条件。
这类提问虽然认知层次比较低,但是对于学好新知识是非常必要的。
:
不过提问的数量要有所控制,特别是有些只需回答是或否的问题,更要严格加以限制。
否则课堂上看来很热闹,但学生的思维深度不够。
最近国内的一些研究资料指出:
中学数学高密度的提问已成为课堂教学的重要方式,回答时间有的要占整堂课的一半以上,但是提问中记忆性问题居多,很少有批判性、创造性的问题。
把可供探索的问题分解为较低认知水平的‘结构性’问答,组织化程度较高,有利于扫除教学障碍,但不利于学生主动性的发挥。
(2)理解型提问。
这种提问要求学生对已知信息进行内化处理后,能用自己的话对数学知识进行表述、解释和组合,对所学的概念、定理等进行比较,揭示其本质区别。
例如,在学习圆周角定义时,为了使学生理解概念的内涵:
圆周角的顶点在圆上,角的两边分别都和圆相交。
在黑板上画出如下的图形:
(a)(b)(c)(d)(e)
提问学生:
试判断上述图形中的角是不是圆周角?
要求学生在理解圆周角概念的基础上回答。
(a)和(b)虽然角的两边都与圆相交,但顶点不在圆上,它们都不是圆周角。
(c)和(d)虽然顶点在圆上,但角的两边不都与圆相交,它们都不是圆周角。
(e)顶点在圆上,角的两边分别都和圆相交,它是圆周角。
又如,为了使学生深入理解双曲线的定义,可以提出以下的问题:
①将定义中的“小于
”换为“等于
”,其余不变,点的轨迹是什么?
,
②将定义中的“小于
换为“大于
③将定义中“差的绝对值是常数(小于
”改为“差是常数(绝对值小于
④若这个常数等于零,其余不变,点的轨迹是什么?
(3)运用型提问。
设置一个新的简单的问题情境,让学生运用新获得的知识结合过去学过的知识解决新的问题,这种提问称为运用型提问。
这样的提问往往在学习新的概念、定理、公式和法则后进行。
例如在学生学习了一元二次方程解法以后,给出各种类型的一元二次方程,提问学生,要求他们能口头回答,如何解这些一元二次方程。
(4)分析型提问。
这种提问要求学生把事物的整体分解为部分,把复杂事物分解为简单事物,分清条件与结论,找出条件和结论之间的因果关系。
例如,余弦定理教学,在△ABC中,已知a、b和∠C,
如何求c?
首先将问题特殊化,把复杂问A
题转化为简单问题。
提问:
如果∠C=90°
,
再提问;
如果∠C≠90°
,怎么办?
可以将一般三角形分成两个直角三角形。
进C
一步提问,怎样分?
在学生添出辅助线AD把DB
△ABC分成两个直角三角形ACD和ABD后
进一步再提问:
在Rt△ABD中,如要求c,先要求什么?
回答是求AD和BD。
已知BC=a,要求BD只要求CD。
接着再提问:
在Rt△ACD中,已知∠C和AC=b,如何求AD和CD。
最后提问:
前面∠C是直角,这里∠C是锐角,如果∠C是钝角怎么样?
一共要分三种情况进行讨论。
(5)综合型提问。
把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段联结成整体,找出其相互联系和规律的提问。
例如,在余弦定理推导结束后,可以提出还有没有其他方法可以推导余弦定理?
还可以提出余弦定理有什么用处?
正弦定理与余弦定理有什么区别和联系等问题,提高学生综合运用数学知识思考问题、解决问题的能力。
(6)评价型提问。
要求学生通过分析、讨论;
评论、优选解法,对事物进行比较、判断和评价的提问。
例如让学生判断和评价其他学生不同观点和不同解法的对错和优劣,并讲出理由。
提问的分类方法很多,如按提问的目的可以分为:
引趣性提问、准备性提问、迁移性提问、探索性提问、引疑性提问、过渡性提问、巩固性提问、反馈性提问。
按提问的方式可以分为:
总括式提问、引导式提问、比较式提问、点拨式提问、归纳式提问等等。
这里不再一一列举。
3.提问设计的原则
(1)目的性。
课堂教学提问是为了实现教学目标,因此,必须紧紧围绕教学目标,有目的地设计提问。
可以从以下几个方面来进行:
①根据教学的重点、难点设计问题;
②选择教学酌突破口设计问题;
③在新旧知识连接点处设计问题;
④在数学概念容易棍淆处设计问题;
⑤在教学内容总结处设计问题。
例如,为了使学生理解正棱锥的概念,可以设计以下的提问:
①棱锥各侧棱相等,各侧棱与底面所成的角也相等,试判断这个棱锥是不是正棱锥?
为什么?
②棱锥各侧棱与底面所成的角相等,各侧面上的斜高也相等,试判断这个棱锥是不是正棱锥?
③棱锥各侧面的面积相等,各侧面在底面上射影的面积也相等,试判断这个棱锥是不是正棱锥?
④棱锥顶点到底面各顶点的距离相等,到底面各边的距离也相等,试判断这个棱锥是不是正棱锥?
⑤棱锥各侧面上的斜高相等,侧面的面积也相等,试判断这个棱锥是不是正棱锥?
⑥棱锥各侧棱与底面所成的角相等,各侧面与底面所成的角也相等,试判断这个棱锥是不是正棱锥?
(2)明确性。
设计的问题要明确具体,表述要清楚。
要使学生明确提问什么,思考什么,回答什么,而不是笼统模糊、模棱两可。
(3)启发性。
提问要针对学生的旧知识和新知识的矛盾,提出对于学生来说既不是完全不知,又不是完全知道的问题,让学生借助已知去探索未知,启发学生思维。
(4)层次性。
所提问题的难度要有一定的层次,既有认知水平较低的问题,又有认知水平较高的问题。
一般可以设置以下各种层次的问题:
1学生参照已经学过的概念、定理、公式或例题,就可以回答的问题;
2所提问题投有现有的模式可以模仿,但不过是现有模式的适当变化和改进,
③要求学生能综合和灵活运用所学知识来回答的问题;
④要求学生能以自己特有的方式创造性地回答的问题。
(5)系统性。
要按教材和学生认知发展的顺序,由浅入深,由易到难,由近及远,由表及里,步步深入,环环扣紧,设计一系列的问题链。
各个问题之间内部密切联系,或并列或递进。
例如命题教学中常常可以设计以下的问题:
①提出要解决的问题。
②如何进行分析和探索?
③条件和结论之间有些什么联系?
④问题能不能简单化,特殊化?
⑤如何进行证明?
⑧还有什么方法可以证明?
⑦可以得到一些什么规律?
⑧问题能不能推广到一般?
⑨如果条件改变,结论会发生什伞变化?
如学习棱台的中截面面积公式,可以这样来提问题:
①设棱台的上、下底面的面积分别为S1、S2面面积。
②猜想这个棱台的中截面面积等于什么?
③将问题特殊化,如果是正四棱台,那么怎样来求它的中截面面积7
④这个结果对一般的棱台成立吗?
⑤能不能用另外的方法来解这个问题?
⑥这个问题如何一般化?
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