信息光学习题答案Word文件下载.docx

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g（x）=（1-）（1+x-）d=

x

g（x）=

1113

+x-x,

32

-x+

0,

3

6,

1x3,

6x,

-1£

x£

0

0x1

其它

1.5

计算下列一维卷积。

1）

（2x-3）rect

3）

comb（x）rect（x）

1）（2x-3）rect

2）设卷积为g（x），当x≤0时，如图题1.2（a）所示，

x+2

g（x）=d=x+2

图题1.2

2

d=2-x

g（x）=

2í

1+2x,

1-2x,

x0

g（x）=2

3）comb（x）rect（x）=1

1.6已知exp（-x2）的傅立叶变换为exp（-2），试求

1）exp（-x2）=?

（2）exp（-x2/22）=

设y=x,z=即exp（-y2）=exp（-2）

1）exp（-x2）=exp（-y2/=exp（-z2）=exp（-22）

2）exp（-x2/22）=exp（-y2/22）

=2exp（-22z2）=2exp（-222）

1.8应用卷积定理求f（x）=sinc（x）sinc（2x）的傅里叶变换.

sinc（x）sinc（2x）=sinc（x）sinc（2x）=1rect（）rect

当-3-1时，如图题1.3（a）所示，

G（）=1+2du=3+

当-11时，如图题1.3（b）所示，

G（）=1+12du=1

当13时，如图题1.3（c）所示，

113

G（）=121-1du=32-

2G（ξ）的图形如图题1.3（d）所示，由图可知

1.9设f（x）=exp（-x），0，求

1.10设线性平移不变系统的原点响应为h（x）=exp（-x）step（x），试计算系统对阶跃

函数step（x）的响应.

由阶跃函数定义

线性平移不变系统的原点响应为

h（x）=exp（-x）step（x）=exp（-x）,x0

所以系统对解阶跃函数step（x）的响应为

1.11有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1（x）=sinc（x）和h2（x）=sinc（3x）.试计算各自对输入函数f（x）=cos2x的响应g1（x）和g2（x）.

1.12已知一平面波的复振幅表达式为

U（x,y,z）=Aexp[j（2x-3y+4z）]

试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。

设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

U（x,y,z）=aexp（jk•r）=aexp[jk（xcos+ycos+zcos）]

由题可知，kcos=2,kcos=-3,kcos=4

又因为cos2+cos2+cos2=1所以k=29

求此波在传播方向的空间频率以及在x,y,z方向的空间频率.

设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

U（x,y,z）=aexp（jk•r）=aexp[jk（xcos+ycos+zcos）]

又因为cos2+cos2+cos2=1所以k=1

波长为

=k=2

沿x,y,z方向的空间频率为

第三章光学成像系统的传递函数

3.1

参看图3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数（3.1.5）式时，对于积分号前的相位因子

试问：

（1）物平面上半径多大时，相位因子

expjk（x02+y02）相对于它在原点之值正好改变π弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a,λ和do之间存在什么关系

时可以弃去相位因子

2）根据

（~xo,~yo）

式中r=x2+y2，而

在点扩散函数的第一个零点处J1（2ao）=0，此时应有2ao=3.83，

（2）

0.61

a

将

（2）式代入

（1）式，并注意观察点在原点（xi=yi=0），于是得

0.61d

ro=0.61do（3）

（3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献h（xo,yo;

0,0）。

按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近ro=0.61do/a范围内的小区域。

当这个小区域内各点的相位因子exp[jkro2/2do]变化不大，而降它弃去。

假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度（例如π/16）就满足以上要求，

则kr2/2d,r2d/16，也即oo16oo

a2.44d（4）

例如λ＝600nm,do=600mm，则光瞳半径a≥1.46mm，显然这一条件是极易满足的。

3.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为

t（xo,yo）=1+1cos2foxo

放在图3.1.1所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在xoz平面内，与z轴夹角为θ。

透镜焦距为f,孔径为D。

（1）求物体透射光场的频谱；

（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？

求此时像面强度分布；

（3）若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？

与θ＝0时的截止频率比较，结论如何？

（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp（jkx0,sin），为确定起见

设θ>

0，则物平面上的透射光场为

Uo（xo,yo）=Aexp（jkxo,sin）t（xo,yo）

A

sin

1

1

sin

2

exp

j2xo

+12exp

j2xo

fo+sin

+12exp

-j2xofo-

其频谱为

A（,）={Uo（xo,yo）}

由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sinθ/λ距离。

（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。

系统的截至频率

sinD

4f

c=D/4f，于是要求

D-fo+sinD

4fo4f

由此得

此时像面上复振幅分布和强度分布为

Ui（xi,yi）=Aexpj2xi

A25

Ii（xi,yi）=+cos2fox

3）照明光束的倾角取最大值时，由

（1）式和

（2）式可得

fo-

DD

£

4f4f

＝0时，系统的截止频率为c=D/4f，因此光栅的最大频率

比较（3）和（4）式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。

3.3光学传递函数在==0处都等于1，这是为什么？

光学传递函数的值可能大于

1吗？

如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？

在

hI（xi,yi）exp[-j2（xi,yi）]dxidyi

（,）=HI（,）=-Iiiiiii

（1）

H（0,0）

IhI（xi,yi）dxidyi

式中，令

h（xi,yi）=hI（xi,yi）

hI（xi,yi）dxidyi

-

为归一化强度点扩散函数，

因此

（1）式可写成

（,）=h（xi,yi）exp[-j2（xi,yi）]dxidyi

而（0,0）=1=h（xi,yi）dxidyi

-即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义。

（2）不能大于1。

（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。

3.4当非相干成像系统的点扩散函数hI（xi,yi）成点对称时，则其光学传递函数是实函数.

由于hI（xi,yi）是实函数并且是中心对称的，即有hI（xi,yi）=hI（xi,yi），hI（xi,yi）=hI（-xi,-yi），应用光学传递函数的定义式

hI（xi,yi）exp[-j2（xi,yi）]dxidyi-

hI（xi,yi）dxidyi-

易于证明（,）=（,），即（,）为实函数

3.5

非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。

小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。

系统的截止频率近似为多大？

此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。

其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。

这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截至频率约为2a/di，由于2a很小，所以系统实现了低通滤波。

第四章部分相干理论

=632.8nm,=210-8nm，试计算它的频宽Δν=?

若把光谱分布看成是矩形线型，

则相干长度lc=?

因为频率与波长的关系为c=v（其中c为光速）

对上式两边求导得dc=vd+dv=0

因=632.8nm,=210-8nm

所以

v=1.5104赫

有因为相干长度lc=ctc

c

l=c=2.0104（m）

cv

4.2设迈克耳孙干涉仪所用光源为=589nm,=589.6nm的钠双线，每一谱线的

宽度为0.01nm.

（1）试求光场的复相干度的模；

（2）当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？

（3）可见度有几个变化周期？

每个周期有多少条纹？

假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为

ˆ（v）=21v

rectv-v1+rectv-v2

1）光场的复相干度为

（）=ˆ（v）exp（j2v）dv

=1sinc（v）exp（j2v）[1+exp（j2v）]

式中v=v2-v1，复相干度的模为

（）=sinc（v）cosv）

由于，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。

相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在c=1/v的地方，τc即为相干时间，故相干长度

lc=cc

cl2l

=

dvdldl

l5893

（2）可见到的条纹总数N=lc==589358930

0.1

3）复相干度的模中第二个因子的变化周期=1/v，故

可见度的变化周期n=c=v==6=60

v0.1

每个周期内的条纹数=N=58930=982

n60

4.3假定气体激光器以N个等强度的纵模振荡。

其归一化功率谱密度可表示为

1（N-1）/2

Á

ˆ（v）=1（v-v+

Nn=-（N-1）/2

式中，Δν是纵模间隔，v为中心频率。

为简单起见，假定N为奇数。

（1）证明复相干度的模为

（）=sin（Nv）

Nsin（v）

（2）若N＝3，且0≤τ≤1/Δv，画出（）与Δντ的关系曲线。

（1）证明：

复相干度函数为

（）=ˆ（v）exp（j2v）dv

（）=

1（N-1）/2

（v-v+nv）exp（j2v）dv0Nn=-（N-1）/2

exp（j2v）（N-1）/2

=exp（-j2nv）

n=-（N-1）/2

sinNv

NsinsiNnvvexp（j2v）

所以复相干度得模为（）=Nsins（inN（vv））

2）当N=3时，复相干度的模为

4.4在例4.7.1所示的杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为a，强度相等的准单色点光源代替，试计算此时的复相干系数。

应用范西泰特－策尼克定理得

I0

+2+-2

exp-j2dd

d

（d）=

=cosç

ad÷

è

zø

4.5利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z的平面上任意两点P1和P2之间的复相干系数μ（P1,P2）.

设光源所在平面的坐标为α，β；

孔平面的坐标为x,y。

点P1和P2的坐标为（x1,y1）和（x2,y2）。

对于准单色点光源，其强度可表为

I（,）=I0（-1,-1）

在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得

expj2（x22+y22-x12-y12）exp-j2（x1+y1）

zz

因为（P1,P2）=1,由点光源发出的准单色光是完全相干的，或者说x,y面上的相干面积趋于无限大。

第六章计算全息

6.1一个二维物函数f（x,y），在空域尺寸为10×

10mm，最高空间频率为5线/mm，为了制作一张傅里叶变换全息图：

（1）确定物面抽样点总数.

（2）若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？

（3）若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？

（4）两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？

原因是什么？

（1）假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。

设物面的空间尺寸为Δx,Δy；

频宽为2Bx,2By.根据抽样定理，抽样间距δx,δy必须满足δx≤1/2Bx,δy≤1/2By才能使物复原。

故抽样点总N（即空间带宽积SW）为

N=x•y=xy（2B）（2B）=SW=1010（25）（25）=104yyxy

（2）罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位

置来编码物光波在该点的振幅和相位。

根据抽样定理，在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即N=SW=104。

要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应

保持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为N=104.

（3）对于修正离轴参考光的编码方法，为满足离轴的要求，载频α应满足α≥Bx为满足制作全息图的要求，其抽样间隔必须满足δx≤1/2Bx,δy≤1/2By。

因此其抽样点数为

N=x•y=xy（4B）（2B）=10102010=2104

yyxy

（4）两种编码方法的抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；

在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数。

修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实的非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码的方法简便。

但由于加了偏置分量，增加了记录全息图的空间带宽积，因而增加了抽样点数。

避免了相位编码是以增加抽样点数为代价的。

6.2对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息图的抽样频率.

设物的频宽为（2Bx,2By）

（1）对于频宽α的选择光学离轴，由图6.2.5（b）可知，3Bx

修正离轴，由图6.2.5（d）可知，Bx

载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。

（2）对于制作计算全息图时抽样频率的选择

光学离轴全息，由图6.2.5（c）可知：

在x方向的抽样频率应8Bx，即x方向的抽样间距x1/8Bx。

在y方向的抽样频率应4By，即x方向的抽样间距y1/4By。

修正离轴全息，由图6.2.5（e）可知：

在x方向的抽样频率应4Bx，即x方向的抽样间距x1/4Bx。

在y方向的抽样频率应2By，即x方向的抽样间距y1/2By。

6.3一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏（Huang）法，这种方法在偏置项中加入物函数本身，所构成的全息函数为

h（x,y）=1A（x,y）1+cos[2ax-（x,y）]

（1）画出该全息函数的空间频率结构，说明如何选择载频.

（2）画出黄氏计算全息图的空间频率结构，说明如何选择抽样载频.解：

把全息函数重写为

h（x,y）=1A（x,y）+1A（x,y）exp[j（x,y）]exp（-j2x）+

1A（x,y）exp[-j（x,y）]exp（j2x）

物函数为f（x,y）=A（x,y）exp[j（x,y）]

并且归一化的，即A（x,y）=1，参考光波R＝1。

经过处理后的振幅透过率为

t（x,y）=to+1A（x,y）+1A（x,y）exp[j（x,y）]exp（-j2x）+

1A（x,y）exp[-j（x,y）]exp（j2x）

=to+1A（x,y）+1f（x,y）exp（-j2x）+1f（x,y）exp（j2x）

其频谱为T（,）=to（,）+1F（,）+1F（-,）+1F（--,-）

（1）设物的带宽为2Bx,2By，如图题6.3（a）所示。

全息函数的空间频谱结构如图题6.3（b）所示，载频2Bx。

（2）黄氏全息图的空间频率结构如图题6.3（c）所示，由此可得出：

在x方向的抽样频率应6Bx，即x方向的抽样间距x1/6Bx。

抽样点数即空间带宽积为N=SW=xy=12xyBxBy.

xyxy

黄氏计算全息图的特点：

（1）占用了更大的空间带宽积（博奇全息图的空间带宽积SW=8xyBxBy），不具有降低空间带宽积的优点。

（2）黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。

6.4罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题6.1所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码的.

对于Ⅰ型和Ⅲ型，是用Ax来编码振幅A（x,y），用dx来编码相位（x,y），在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题6.4（a）.

对于罗曼Ⅱ型是用两个相同宽度的矩孔来代替Ⅰ，Ⅲ型中的一个矩孔。

两矩孔之间的距离Ax是变化的，用这个变化来编码振幅A（x,y）。

在复平面上反映为两个矢量夹角的变化。

两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量dx用作相位（x,y）的编码。

在复平面上两

矢量的合成方向即表示了（x,y）的大小，如图题6.4（b）所示。

非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。

8.2在4f系统输入平面放置40mm-1的光栅，入射光波长632.8nm。

为了使频谱面上至少能够获得±

5级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于2mm，求透镜的焦距和直径。

设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为d，透光部分为a，则其透过率函数可表为

amam

=damsinc（mda）-md

即谱点的位置由=x2/f=m/d决定，即m级衍射在后焦面上的位置由下式确定：

x=mf/d

相邻衍射斑之间的间距

x=f/d

由此得焦距f为

xd2/40

f===79（mm）

632810-7

物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的±

5级衍射斑对应于能通过透镜的最

大空间频率应满足