数值分析实验考核报告Word格式.docx
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一问题的提出
利用n阶泰勒展开多项式
计算函数
在给定点x的值。
要求绝对误差在最大阶数MAXN以内达到给定精度EPS,即使得
,且
.
二实验内容
1.自定义函数Exp_Calculate(x),使之能实现
a)对于给定点x,若在最大阶数MAXN=20的限制内能得到达到精度EPS=0.00001要求的函数值,则返回计算所得函数值;
若否,则返回-1.(注:
可直接调用C语言或MATLAB的内部函数’exp(x)’计算精确值ex.)
b)将输入的x及相应的返回值(保留4位小数)显示出来。
2.使用步骤1中定义的函数Exp_Calculate(x)进行计算:
依次输入x=1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,-5,-6,记录下所有输入值和相应的返回值。
3.对于步骤2中返回值为“-1”的情况:
a)写出泰勒展开式分析此种情况的特点;
b)编写一个测试程序,以检查函数Exp_Calculate(x)中求和过程
的每一步结果,输入各个项(如第m项)
的值以及
的值,并由此分析造成返回值为-1(计算所得函数值无法达到精度要求)的原因。
4.根据步骤3中分析的原因,找出解决该问题的方法,并编写程序Exp_Test2(x)(要求同步骤1中的a),b))进行测试,给出结论。
三实验结果及分析
1
在利用使用步骤1中定义的函数Exp_Calculate(x)进行计算:
步骤2中返回值为-1的有x=5,6,-5,-6,它们的泰勒展开式分别是:
x=5时
x=6时
x=-5时
x=-6时
分析特点:
对于泰勒展开式,不能用计算机直接求出无限项的和,只能截取有限项,因此存在截断误差。
2.
利用函数Exp_Test1(x),在x=5,6,-5,-6(运算结果未能达到精度的情况),得出求和过程
的每一步结果,及
的值。
得到以下结果:
不难知道,对于展开到19阶的泰勒展开式,其截断误差为
,显然x越大时,截断误差也会越大,当x足够大时,截断误差大于精度EPS,使得所求的近似值达不到精度要求,从而返回“-1”值。
而对于x=5,6,-5,-6时的数据结果来看,它们的截断误差
,所以它们的近似值达不到精度要求,从而返回“-1”值。
3.
令
,所以由泰勒公式展开得
,运算结果如下:
所以由结果得,当采取
对
求值时,算法的截断误差更加小。
四关于本设计的体会
这次课程设计并不难,只要找对的方向和思路,很容易就能解决问题,程序也不难。
通过这个课程设计,我对误差的影响有了一个新的了解。
解决一个问题往往有多种算法,对于不同的问题,不同的算法会有不通的误差和结果,这个课程设计让我懂得了怎么避免一个问题的误差的传播。
这个课程设计中的问题由于截断误差的小问题而导致结果出现比较大的误差。
从中我学到了只要用适当的公式转化就能最大限度地避免不必要的误差,使得出的结果更加精确。
五参考文献
石瑞民,《数值计算》,——北京:
高等教育出版社,2004.6
六附录
1.
functionfun=Exp_Calculate(x)
max=20;
eps=0.00001;
a=1;
b=1;
fori=1:
max-1
a=a.*i;
b=b+x.^i/a;
ifabs(b-exp(x))<
eps
ans=b
break
end
end
ifabs(b-exp(x))>
=eps
-1
2.
functiony=Exp_Test1(x)
MAXN=20;
s=0;
I=1;
100
k(i)=i-1;
s1(i)=x^(i-1)/I;
s(i+1)=s(i)+s1(i);
ifi>
=MAXN
I=I*i;
ifabs(s(i+1)-exp(x))<
s
(1)=[];
A=[k'
s1'
s'
]
3.Exp_Test2(x)函数源代码:
functionExp_Test2(x)
MAXN-1
b=b+x.^i/(a*2.^i);
ifabs(b^2-exp(x))<
ans=b^2
ifabs(b^2-exp(x))>
七教师评价
教师评价
指标
等级
格式规范
(10分)
内容完整
(20分)
结果正确
(30分)
分析合理
(25分)
改进有效
(15分)
不合格
一般
良好
优秀
成绩评定
姓名
学号
分工
成绩
作者1
陈泳
201330100105
1,3
作者2
洪泽彬
201330100110
2,体会
作者3
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