版高考数学一轮复习第五章数列第29讲等差数列及其前n项和学案.docx
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版高考数学一轮复习第五章数列第29讲等差数列及其前n项和学案
第29讲 等差数列及其前n项和
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
2016·全国卷Ⅰ,3
2016·浙江卷,6
2016·天津卷,18
1.利用公式求等差数列指定项、前n项和;利用定义、通项公式证明等差数列.
2.利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差;利用等差数列的单调性求前n项和的最值.
分值:
5~7分
1.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第__2__项起,每一项与它的前一项的差等于__同一个常数__,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示,定义表达式为__an-an-1=d(常数)(n∈N*,n≥2)__或__an+1-an=d(常数)(n∈N*)__.
(2)等差中项
若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有A=____.
2.等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是__an=a1+(n-1)d__.
(2)等差数列的前n项和公式
设等差数列的公差为d,其前n项和Sn=__na1+d__或Sn=____.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am+__(n-m)d__(n,m∈N*).
(2)若为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则__ak+al=am+an__.
(3)若是等差数列,公差为d,则也是等差数列,公差为__2d__.
(4)若,是等差数列,公差为d,则也是等差数列.
(5)若是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为__md__的等差数列.
(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(7)S2n-1=(2n-1)an.
(8)若n为偶数,则S偶-S奇=;
若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )
(2)数列为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )
(3)等差数列的单调性是由公差d决定的.( √ )
(4)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( × )
(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × )
解析
(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列.
(2)正确.如果数列{an}为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根据定义数列{an}为等差数列.
(3)正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列.
(4)错误.根据等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有当d≠0时,等差数列的通项公式才是n的一次函数,否则不是.
(5)错误.根据等差数列的前n项和公式Sn=na1+d=n2+n,显然只有公差d≠0时才是关于n的常数项为0的二次函数,否则不是(甚至也不是n的一次函数,即a1=d=0时).
2.已知等差数列的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列的公差是( C )
A. B.1
C.2 D.3
解析由-=1,得-=(a1+d)-==1,所以d=2.
3.在等差数列中,a2+a6=,则sin=( D )
A. B.
C.- D.-
解析∵a2+a6=,∴2a4=.
∴sin=sin=-cos=-.
4.在等差数列中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=( B )
A.58 B.88
C.143 D.176
解析S11===88.
5.在数列中,若a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项an=__2n-1__.
解析由an+1=an+2知{an}为等差数列,其公差为2.
故an=1+(n-1)×2=2n-1.
一 等差数列的基本量计算
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.
【例1】
(1)在等差数列中,a1+a5=8,a4=7,则a5=( B )
A.11 B.10
C.7 D.3
(2)设等差数列的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=__5__.
解析
(1)设数列{an}的公差为d,则有
解得所以a5=-2+4×3=10.
(2)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,
所以等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1,
由得
解得
二 等差数列的性质及应用
在等差数列中,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列;也是等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具.
【例2】
(1)设等差数列的前n项和为Sn,且S3=-12,S9=45,则S12=__114__.
(2)已知,都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=__21__.
解析
(1)因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2(S6+12)=-12+(45-S6),解得S6=3;又2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9),即2×(45-3)=(3+12)+(S12-45),解得S12=114.
(2)因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.
三 等差数列的判定与证明
判定数列是等差数列的常用方法:
(1)定义法:
对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.
(2)等差中项法:
对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.
(3)通项公式法:
数列的通项公式an是n的一次函数.
(4)前n项和公式法:
数列的前n项和公式Sn是n的二次函数,且常数项为0.
【例3】已知数列的前n项和为Sn,a1=2,且满足an+1=Sn+2n+1(n∈N*).
(1)证明:
数列为等差数列;
(2)求S1+S2+…+Sn的值.
解析
(1)证明:
由条件可知,Sn+1-Sn=Sn+2n+1,
即Sn+1-2Sn=2n+1,整理得-=1.
因为==1,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由
(1)可知,=1+n-1=n,所以Sn=n·2n.
令Tn=S1+S2+…+Sn,则Tn=1·2+2·22+…+n·2n,①
2Tn=1·22+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②
①-②,得-Tn=2+22+…+2n-n·2n+1,
整理得Tn=2+(n-1)·2n+1.
四 等差数列前n项和的最值问题
求等差数列前n项和的最值的方法
(1)运用配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数形结合的思想,从而使问题得解.
(2)通项公式法:
求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可.一般地,等差数列中,若a1>0,且Sp=Sq(p≠q),则:
①若p+q为偶数,则当n=时,Sn最大;
②若p+q为奇数,则当n=或n=时,Sn最大.
【例4】等差数列中,a1>0,S5=S12,当n为何值时,Sn有最大值?
解析设等差数列{an}的公差为d,由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,d=-a1<0.
设此数列的前n项和最大,则
即解得即8≤n≤9,又n∈N*,所以当n=8或n=9时,Sn有最大值.
1.在等差数列中,a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,则m的值为( A )
A.37 B.36
C.20 D.19
解析∵am=a1+a2+…+a9=9a1+d=36d=a37,∴m=37.故选A.
2.若数列满足a1=15,且3an+1=3an-2,则使ak·ak+1<0的k值为( D )
A.22 B.21
C.24 D.23
解析因为3an+1=3an-2,所以an+1-an=-,所以数列{an}是首项为15,公差为-的等差数列,所以an=15-·(n-1)=-n+,令an=-n+>0,得n<23.5,所以使ak·ak+1<0的值k为23.
3.等差数列中,a3=,则cos(a1+a2+a6)=__-__.
解析∵a1+a2+a6=3a3=π,∴cos(a1+a2+a6)=cosπ=-.
4.数列中,a1=-23,an+1-an-3=0.
(1)求数列的前n项和Sn;
(2)求使得数列是递增数列的n的取值范围.
解析
(1)因为an+1-an-3=0,所以an+1-an=3,
即数列{an}是等差数列,公差d=3.
又a1=-23,所以数列{an}的前n项和为
Sn=-23n+n(n-1)·3,即Sn=n2-n.
(2)Sn=n2-n的对应函数为f(x)=x2-x,它的图象是一条抛物线,其开口方向向上,对称轴为x=.
当x≥时,函数f(x)是增函数.
因为8<<9,且-8<9-,所以f(8) 易错点 性质应用不灵活 错因分析: 等差数列中,有如下结论: ①若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak;②若1+n=2k,则Sn==nak;③an=am+(n-m)d不能灵活应用. 【例1】等差数列中,a1>0,公差d<0,a5=3a7,前n项和为Sn,若Sn取得最大值,则n=________. 解析方法一 由已知得a1+4d=3(a1+6d),∴a1=-7d, Sn=(n2-15n),∴n=7或8时,Sn最大. 方法二 ∵a5=(a5+2d)+2a7,∴a7+d=0,即a8=0. ∵d<0,∴a1>a2>…>a7>a8=0>a9>…, ∴n=7或8时,Sn最大. 方法三 ∵a5=a7+2a7=a7+a5+a9,∴a7+a9=0, 于是a8=0,∵d<0,∴a1>a2>…>a7>a8=0>a9>…, ∴n=7或8时,Sn最大. 答案7或8 【跟踪训练1】(2018·山西孝义模拟)在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使Sn取到最大值的n是( B ) A.21 B.20 C.19 D.18 解析因为a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,所以a3=35,a4=33.所以d=-2,a1=39. 由an=a1+(n-1)d=39-2(n-1)=41-2n≥0,解得n≤,所以当n=20时,Sn达到最大值,故选B. 课时达标 第29讲 [解密考纲]主要考查等差数列的通项公式,等差中项及其性质,以及前n项和公式的应
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