浙江专用高中数学第一章空间几何体11空间几何体的结构第1课时学案新人教A版必修2文档格式.docx
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其余各面..
侧棱:
相邻侧面的公共边.
顶点:
侧面与底面的公共顶点.
棱锥
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
如图可记作,
棱锥S-ABCD
多边形面.侧面:
有公共顶点的各个三角形面
各侧面的公共顶点.
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台.
ABCD-A′B′C′D′
上底面:
原棱锥的截面
下底面:
原棱锥的底面.
其余各面
侧面与上(下)底面的公共顶点.
即时自测
1.判断题
(1)棱柱的侧棱长相等,侧面是平行四边形.(√)
(2)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.(×
)
(3)正棱锥的侧面是等边三角形.(×
(4)用一个平面去截棱锥;
棱锥底面和截面之间的部分是棱台.(×
提示
(1)由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形.
(2)上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.
(3)正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形.
(4)该平面不一定平行于底面.
2.下列说法中正确的是( )
A.棱柱仅有一个底面B.棱柱的顶点至少有6个
C.棱柱的侧棱至少有4条D.棱柱的棱至少有4条
答案 B
3.下列棱锥有6个面的是( )
A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥
答案 C
4.一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个面,顶点最少的一个棱台有________条侧棱.
解析 面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;
面数最少的棱锥为三棱锥,有4个面;
顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱.
答案 5 4 3
类型一 棱柱的结构特征
【例1】下列关于棱柱的说法:
(1)所有的面都是平行四边形;
(2)每一个面都不会是三角形;
(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.
解析
(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
(2)错误,棱柱的底面可以是三角形;
(3)正确,由棱柱的定义易知;
(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正确的序号是(3)(4).
答案 (3)(4)
规律方法 棱柱的结构特征:
(1)两个面互相平行;
(2)其余各面是四边形;
(3)相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.
【训练1】下列关于棱柱的说法错误的是( )
A.所有的棱柱两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行,其余各面每相邻面的公共边互相平行
C.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
解析 对于A,B,D显然是正确的;
对于C,棱柱的定义是这样的:
有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的几何体叫做棱柱,显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件,因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.
类型二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(3)棱锥的侧面只能是三角形;
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
解析
(1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;
(2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
(3)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;
(4)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(5)错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案
(2)(3)(4)
规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【训练2】棱台不具有的性质是( )
A.两底面相似B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等D.侧棱延长后相交于一点
解析 由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A,B,D都是棱台具有的性质,而侧棱长不一定相等.
类型三 多面体的表面展开图(互动探究)
【例3】画出如图所示的几何体的表面展开图.
[思路探究]
探究点一
(1)中如何展开?
提示 可沿一侧棱如CC1,上下底面的对边CA、C1A1、CB、C1B1剪开展平.
探究点二
(2)中如何展开?
提示 可沿四条侧棱AC、AB、AD、AE剪开展平.
解 表面展开图如图所示:
规律方法 多面体表面展开图问题的解题策略:
(1)绘制展开图:
绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)已知展开图:
若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
【训练3】一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图,A、B、C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC=________.
解析 将平面图形翻折,折成空间图形,如图.
答案 60°
[课堂小结]
1.棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).
2.
(1)各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系,具体见下表:
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
平行且相等
与底面全等
直棱柱
矩形
平行、相等且垂直于底面
等于
正棱锥
一个正多边形
全等的等腰三角形
有一个公共顶点且相等
过底面中心
与底面相似
其他棱锥
一个多边形
三角形
有一个公共顶点
正棱台
平行且相似的两个正多边形
全等的等腰梯形
相等且延长后交于一点
其他棱台
平行且相似的两个多边形
梯形
延长后交于一点
1.棱柱的侧面都是( )
A.三角形B.四边形
C.五边形D.矩形
解析 由棱柱的性质可知,棱柱的侧面都是四边形.
2.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A.①③B.②④C.③④D.①②
解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
3.下列几何体中,________是棱柱,______是棱锥,________是棱台(仅填相应序号).
解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
答案 ①③④ ⑥ ⑤
4.某多面体的面中有梯形和三角形,试画一个具有该特征的几何体.
解 如图
(1)所示(或如图
(2)所示,还有其他可能,答案不唯一).
基础过关
1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 由于三棱锥的每一个面均可作为底面,应选D.
答案 D
2.四棱柱有几条侧棱,几个顶点( )
A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点
C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点
解析 四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).
3.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是( )
A.①是棱柱B.②不是棱锥
C.③不是棱锥D.④是棱台
解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.
4.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________.
解析 由于倾斜角度较小,所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.
答案 四棱柱
5.下列说法正确的有________(填序号).
①棱柱的侧面都是平行四边形;
②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共点;
③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;
⑤多面体至少有四个面.
解析 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体,因而侧面是平行四边形,故①对.
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体,因而其侧面均是三角形,且所有侧面都有一个公共点,故②对.
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后,截面与底面之间的部分,因而其侧面均是梯形,且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点),故③错④对.⑤显然正确.
因而正确的有①②④⑤.
答案 ①②④⑤
6.如图所示的几何体中,所有棱长都相等,分析此几何体的构成?
有几个面、几个顶点、几条棱?
解 这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体.有8个面,都是全等的正三角形;
有6个顶点;
有12条棱.
7.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A、B、C重合,重合后记为点P.
问:
(1)折起后形成的几何体是什么几何体?
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?
(3)每个面的三角形面积为多少?
解
(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=
a2,
S△DPF=S△DPE=
×
2a×
a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-
a2-a2-a2=
a2.
能力提升
8.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图),则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
解析 两个
不能并列相邻,B、D错误;
两个
不能并列相邻,C错误,故选A.也可通过实物制作检验来判定.
答案 A
9.在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
A.20B.15C.12D.10
解析 正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面,每个平面可得到正五棱柱的两条对角线,5个平面共可得到10条对角线,故选D.
10.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种空间图形的4个顶点,这些空间图形是________.(写出所有正确结论的编号)
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种空间图形的4个顶点,这些空间图形是:
①矩形,如四边形ACC1A1;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,如A-A1BD;
④每个面都是等边三角形的四面体,如A-CB1D1;
⑤每个面都是直角三角形的四面体,如A-A1DC,所以填①③④⑤.
答案 ①③④⑤
11.长方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.
解 把长方体的部分面展开,如图所示.
对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为
、
,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E,再在长方形BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为
.
探究创新
12.如图,在4×
3的纸上用线条勾画出一个图形,使每一格作为一个面,能折成一个正方体.你能画出4个这样的图形吗?
解
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