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在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:
相交或平行,两者必居其一,即两条直线不相交就是平行(或者不平行就是相交).
2.平行公理及平行公理推论
(1)在转动木条a的过程中,有几个位置使得直线a与b平行?
经过实验,可以发现:
有并且只有一个位置使a与b平行.
(2)如右图,过点B画直线a的平行线,能画几条?
再过点C画直线a的平行线,它与前面过点B的平行线平行吗?
(3)通过观察画图、归纳平行公理及推论.
经过观察和画图,可以发现一个基本事实(平行公理):
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
(4)比较平行公理和垂线的第一条性质.
共同点:
都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.
不同点:
平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.
(5)归纳平行公理推论.
①学生直观判定过B点、C点的a的平行线b、c是互相平行.
②从直线b、c产生的过程说明直线b∥直线c.
③学生用三角尺与直尺用平推方验证b∥c.
④师生用数学语言表达这个结论,教师板书.
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.
结合图形,教师引导学生用符号语言表达平行公理推论:
如果b∥a,c∥a,那么b∥c(如右图).
3.简单应用.
练习:
如果多于两条直线,比如三条直线a、b、c与直线l都平行,那么这三条直线互相平行吗?
请说明理由.
本练习是让学生在反复运用平行公理推论中掌握平行公理推论以及说理规范.
三、布置作业
教材P12练习.
教案B
一、创设情境,提出问题
演示生活中的一些图片(如自动扶梯的左右扶手、双杠、铁轨等),请同学们找出它们的共同之处,从而引出课题.
二、探究新知
1.问题:
如下图,分别将木条a、b与木条c钉在一起,并把它们想象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线.转动a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与b相交.想象一下,在这个过程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢?
师生活动:
学生分组活动,动手操作,在组内交流、讨论.教师到小组参与活动,倾听学生的交流,并帮助学生,指导他们完成任务,在此基础上,教师给出平行的表示方法.
2.活动:
(1)展示一组图片,请同学们找出其中的平行线或请同学们在教室里找平行线.
(2)在同一平面内,两条直线有几种位置关系?
动手画一画.
试画一画,同桌可以讨论.
小结:
在同一平面内,两条直线的位置只有相交、平行两种.
3.活动:
我们很容易画出两条相交直线,而对于平行线的画法,我们在小学就学过用直尺和三角板画,下面请同学在练习本上完成.
学生能够很快完成,然后请一个学生在黑板上板演,其他学生观察他的画图过程是否正确,然后师生一同更正.教师应重点强调:
在推动三角尺时,直尺不要动;
画平行线必须用直尺和三角板,不能徒手画.
4.活动:
通过观察画图、归纳平行公理及推论.
(1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.
(2)在学生充分交流后,教师板书.
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
三、初步应用
如图,P、Q分别是直线EF外两点,过P画AB∥EF,过Q画CD∥EF.
学生可在练习本上完成,教师让学生积极发表意见,然后给出正确结论.
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.
四、课堂反馈训练
如图:
(1)过BC上任意一点P画AB的平行线交AC于T;
(2)过C画MN∥AB;
(3)直线PT、MN是何种位置关系?
试说明理由.
答案:
平行
5.2.2平行线的判定
1.理解并掌握两直线平行的条件──同位角相等,两直线平行.
2.理解用三角板和直尺过直线外一点画已知直线的平行线的依据.
3.会判断内错角、同旁内角.
4.掌握直线平行的第二种方法和第三种方法及其应用.
5.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,进一步发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力.
判定两条直线平行的第二种和第三种方法.
综合运用平行线的判定和性质解决问题.
共2课时.
第1课时
一、导入新课
装修工人正在向墙上钉木条,如果木条b与墙壁边缘垂直,那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时,才能使木条a与木条b平行?
要解决这个问题,就要弄清楚平行的判定.
以前我们学过用直尺和三角尺画平行线,如教材P12图5.2-5,在三角板移动的过程中,什么没有变?
三角板经过点P的边与靠在直尺上的边所成的角没有变.
简化图5.2-5,得下图.可以看出,画直线AB的平行线CD,实际上就是过点P画与∠2相等的∠1,而∠2和∠1正是直线AB,CD被直线EF截得的同位角.这说明,如果同位角相等,那么AB∥CD.
一般地,有如下利用同位角判定两条直线平行的方法:
判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成:
同位角相等,两直线平行.
符号语言:
∵∠1=∠2,∴AB∥CD.
如下图,你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗?
用角尺画平行线,实际上是画出了两个直角,根据“同位角相等,两条直线平行.”,可知这样画出的就是平行线.
思考:
如图,
(1)如果∠2=∠3,能得出a∥b吗?
(2)如果∠2+∠4=180°
,能得出a∥b吗?
(1)∵∠2=∠3(已知),∠3=∠1(对顶角相等),
∴∠1=∠2(等量代换).
∴a∥b(同位角相等,两条直线平行).
你能用文字语言概括上面的结论吗?
判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
内错角相等,两直线平行.
∵∠2=∠3,∴a∥b.
(2)∵∠4+∠2=180°
,∠4+∠1=180°
(已知)
∴∠2=∠1(同角的补角相等)
∴a∥b.(同位角相等,两条直线平行)
判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.
简单地说:
同旁内角互补,两直线平行.
∵∠4+∠2=180°
,∴a∥b.
四、课堂练习
教材P14练习1,补充(3)由∠A+∠ABC=180°
可以判断哪两条直线平行?
依据是什么?
五、课堂小结
怎样判断两条直线平行?
六、布置作业
教材P15习题5.2第1、2、4题.
第2课时
我们学习过哪些判断两直线平行的方法?
1.平行线的定义
在同一平面内不相交的两条直线平行.
2.平行公理的推论
如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.
3.两直线平行的条件
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
二、实例探究
例1在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?
为什么?
分析:
垂直总与直角联系在一起,进而用判断两条直线平行的方法进行判定.
解:
这两条直线平行,理由如下:
如右图,∵b⊥a,c⊥a(已知),
∴∠1=∠2=90°
(垂直的定义).
∵∠1和∠2是同位角,
∴b∥c(同位角相等,两直线平行).
你还能用其它方法说明b∥c吗?
方法一:
如图
(1),利用“内错角相等,两直线平行”说明;
方法二:
如图
(2),利用“同旁内角相等,两直线平行”说明.
(1)
(2)
注意:
本例也是一个有用的结论.
例2如右图,点B在DC上,BE平分∠ABD,∠DBE=∠A,则BE∥AC,请说明理由.
分析:
由BE平分∠ABD我们可以知道什么?
联系∠DBE=∠A,我们又可以知道什么?
由此能得出BE∥AC吗?
解:
∵BE平分∠ABD,
∴∠ABE=∠DBE(角平分线的定义).
又∠DBE=∠A,
∴∠ABE=∠A(等量代换).
∴BE∥AC(内错角相等,两直线平行).
用符号语言书写证明过程时,要步步有据.
四、布置作业
教材P17习题5.2第10题.
一、创设情境,导入新课
如图
(1)所示,用活动木条相交成∠1,∠2,固定木条b、c,转动木条a.
问题1:
如图
(2),在木条a转动的过程中,观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系,你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化?
问题2:
改变图
(1)中∠1的大小,按照上面的方式,再做一做.∠1与∠2的大小满足什么关系时,木条a与木条b平行?
1.我们以前已学过用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线.如图所示.
三角尺起着什么作用?
什么量保持不变?
你能得到什么结论?
2.如图,分别将木条a、b与木条c钉在一起,并把它们想象成直线.在直线a、b被直线c所截成的角中,∠1与∠2是同位角,∠2和∠3有怎样的位置关系?
∠2和∠4呢?
转动木条a或b,这些角之间还保持这种关系吗?
(1)如图,如果∠2=∠3,能得出a∥b吗?
小明有一块小画板,他想知道它的上下边缘是否平行,于是他在两个边缘之间画了一条线段AB(如右图所示).
小明身边只有一个量角器,他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行,你知道他是怎样做的吗?
四、反馈训练
1.如右图,
(1)如果AB∥CD,必须具备条件∠______=∠______,根据是_______________;
(2)要使AD∥BC,必须具备条件∠______=∠______,根据____________.
2.观察下图,回答问题。
若使AD∥BC,需添加什么条件?
(要求:
至少找出4个条件)
答:
①___________________;
②____________________;
③___________________;
④____________________;
答案:
1.
(1)∠2=∠4,内错角相等,两直线平行
(2)∠1=∠3内错角相等,两直线平行
2.∠EAD=∠EBC∠FDA=∠DCB
∠DAB+∠ABC=180°
∠ADC+∠DCB=180°
在铺设铁轨时,两条直轨必须是互相平行的.如图,已经知道∠2是直角,那么再度量图中哪个角(图中已标出的),就可以判断两条直轨是否平行?
说出你的理由.
例在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?
如右图,
∵b⊥a,
∴∠1=90°
.
同理∠2=90°
.
∴∠1=∠2.
∴b∥c(同位角相等,两直线平行).
想一想,你还能用其他方法说明b∥c吗?
学生思考,讨论。
三、课堂训练
如图,AB⊥BC,BC⊥CD,BF和CE是射线,并且∠1=∠2,试说明BF∥CE.
∵AB⊥BC,BC⊥CD,
∴∠ABC=90°
,∠BCD=90°
∴∠ABC=∠BCD.
又∠1=∠2,
∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2.
即∠FBC=∠ECB.
∴BF∥CE(内错角相等,两直线平行).
教材P15习题5.2第1、2、4题;
教材P16习题5.2第5题;
教材P17习题5.2第10题.
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