金融数学课后习题答案Word文档格式.docx

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145

≈3.45%

100（1+0.1）5−100（1+0.1）4

100（1+0.1）4

=10%

100（1+0.1）10−100（1+0.1）9

100（1+0.1）9

第2页

5.设A（4）=1000,in=0.01n.试计算A（7）。

A（7）=A（4）（1+i5）（1+i6）（1+i7）

=1000×

1.05×

1.06×

1.07

=1190.91

6.试计算500元经过两年半的累积达到615元的对应年单利率？

另外，500元以

单利率7.8%累积多少时间可以达到630元？

设年单利率为i

500（1+2.5i）=615

解得i=9.2%

设500元需要累积t年

500（1+t×

7.8%）=630

解得t=3年4个月

7.已知单利率为4%，问：

经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5%？

设经过t年后，年利率达到2.5%

1+4%×

t=（1+2.5%）t

t≈36.367

8.已知：

（1+i）5=X,（1+i）2=Y.求（1+i）11.

（1+i）11=（1+i）5+2£

3=XY3

9.已知600元投资两年将产生利息264元（复利方式），问：

2000元以同样的实

利率投资3年的终值。

第3页

设实利率为i

600[（1+i）2−1]=264

解得i=20%

∴A（3）=2000（1+i）3=3456元

10.已知：

第n年底的一个货币单位与第2年底的一个货币单位的现值之和为一

个货币单位。

计算（1+i）2n.

1

（1+i）n+

（1+i）2n=1

解得（1+i）¡

n=

√

5−1

所以（1+i）2n=（

）¡

3+

11.已知：

500元经过30年的投资将增为4000元，计算：

分别在第20、40和60年底

投资10,000元的现值之和。

由500×

（1+i）30=4000⇒（1+i）30=8

于是PV=

10000

（1+i）20+

（1+i）40+

（1+i）60

（8¡

3+8¡

4

2）

=3281.25

12.以同样的实利率，1元经过a年增为2元，2元经过b年增为3元，3元经过c年增

为15元。

若已知6元经过n年增为10元。

试用a,b和c表示n。

第4页

（1+i）a=2

（1）

（1+i）b=

（1+i）c=5（3）

（1+i）n=

（4）

（4）⇒n・ln（1+i）=ln5−ln3

（3）⇒ln5=c×

ln（1+i）

（1）×

（2）⇒ln3=（a+b）・ln（1+i）

故n=c−（a+b）

13.已知资本A在一年内产生的利息量为336，产生的贴现量为300。

计算A。

A・i=336

A・d=300

i−d=i・d

⇒A=2800

14.分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下，计算d5。

（1）

d5=

a（5）−a（4）

10%

1+5×

10%

=6.67%

第5页

a¡

1（t）=1−0.1t

⇒a（t）=

1−0.1t

⇒d5=

0.5

−1

0.6

=16.67%

15.试用i（3）表示d（4），用d（12）表示i（6）。

由（1+

i（3）

）3=（1−d（4）

）（¡

4）

⇒d（4）=4・[1−（1+

4]

i（6）

6

）6=（1−d（12）

12

12）

⇒i（6）=6・[（1−d（12）

2−1]

16.在以下两种情况下计算100元在两年底的终值：

季结算名利率6%；

每四年结

算一次的名贴现率为6%。

（1）终值为100×

（1+i（4）

4）4£

2=112.65元

（2）终值为100×

[（1−4d（1

4））

4]¡

2=114.71元

17.已知:

i（m）=0.1844144和d（m）=0.1802608。

计算m。

利用1

d（m）

i（m）=1

m

⇒m=8

18.基金A以单利率10%累积，基金B以单贴现率5%累积。

计算两个基金的利息

力相等的时刻。

第6页

aA（t）=1+0.1t⇒δA（t）=

a0

aA（t）

0.1

1+0.1t

A（t）=1−0.05t⇒δB（t）=−（a¡

B（t））0

B（t）

0.05

1−0.05t

由δA（t）=δB（t）得

t=5

19.一年期投资的累积函数为二次多项式，前半年的半年名利率为5%，全年的实

利率为7%，计算δ0.5。

依题意，累积函数为a（t）=at2+bt+1

a（0.5）=0.25a+0.5b+1=1.025

a

（1）=a+b+1=1.07

⇒

a=0.04

b=0.03

于是

δ0.5=

a0（0.5）

a（0.5）

=0.068

20.已知：

帐户A的累积函数为:

1+t2,帐户B的累积函数为:

1+2t+t2。

计算帐

户A的利息力超过帐户B的利息力的时刻。

依题意，δA（t）=2t

1+t2,δB（t）=2

1+t

由δA（t）>

δB（t）

⇒2t

1+t2>

1+t

⇒t>

1

21．已知季结算名贴现率为8%，分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当

前的现值：

全部采用复贴现；

在最后的不足年份内采用单贴现。

d（4）=8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。

全部采用复利：

（1−d）3=1−8%

第7页

PV=5000（1−d）25=4225.25

前两年用复利：

1−3d0=1−8%

PV=5000（1−d）24（1−d0）=4225.46

22．为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：

前两

年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。

已知季结算名利率6%，计算第3年

初投入的金额。

（原来的答案有误）

i（4）=6%，则i=（1+6%

4）4−1=6.14%

设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程

2000（1+i）2+2000（1+i）+X=2000v2+5000v8

解得X=504.67元

23．在一定的利率下，下面两种付款方式等价：

1〕第5年底支付200元，第10年底

支付500元；

2〕第5年底一次性支付400.94元。

另外，以同样的利率现在投资100元

再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为P。

试计算P。

对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：

200+500v5=400.94

解得v5=0.40188

所以

P=100（1+i）10+120（1+i）5=917.762

24．经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？

1000（1+6%）t=2×

1000（1+4%）t

解得：

t=36年

25．已知年利率为8%，且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元，计

算n。

第8页

列价值方程为

100vn+100v2n=100

解得n=6.25

26．基金A以月换算名利率12%累积；

基金B以利息力δt=t

累积，初始时刻两基

金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。

δt=1

6t，得基金B的积累函数为

aB（t）=exp（

∫t

δsds）=exp（

t2

）

欲使aA（t）=aB（t）则

（1+

i（12））12t=exp（

解得t=1.4

27.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。

1000（1+i）15=3000

则i

（2）=（（1+i）

2−1）×

2=7.46%

28．已知现金流：

当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在

第2年底的终值为700元。

计算实利率。

300（1+i）2+200（1+i）+100=700

解得i=11.96%

29．已知货币的价值以利息力δt=kt积累，在十年内增长了一倍，计算k。

（原来

的答案有误）

δt=kt则积累函数为

a（t）=exp

ksds=exp（

k

t2）

由a（10）=2得e50k=2

解得k=0.0139

第9页

30．已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的

一个货币单位的资本以实贴现率i贴现的的现值之和为2.0096，计算i。

（1+i）3+（1−i）3=2.0096

解得i=0.04

31.现有实利率为的投资项目。

证明：

一个货币单位的本金在第二个计息期的利

息收入与第一个计息期的利息收入之差为。

试给出这个结论的实际背景解释。

一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收

入j+j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。

32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式：

A）现在付款15元，6个月后付款13.65元

B〕现在一次性付款28元。

如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。

（将原题中的16元改成13.65元，这

样结果更加符合实际）

设半年实利率为i

0，则有：

15（1+i

）+13.65=28（1+i

解得:

i

=0.05故：

i=（1+i

）2−1=0.1025

33.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：

分别于1998年

和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。

在1998年元旦（正常还

款后）甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。

如果甲乙合约的年

利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。

价值方程：

正常:

1000=100（1+j）¡

1+100（1+j）¡

2+1000（1+j）¡

转让:

960=100（1+k）¡

1+1000（1+k）¡

j=6.98%,k=7.4%

从而:

j<

k

34.如果常数利息力增加一倍，计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。

第10页

和δ等价的年利率i=eδ−1,年利率变化：

e2δ−eδ

eδ−1

=eδ

和δ等价的年贴现率1−e¡

δ=d,年贴现率变化：

e¡

δ−e¡

2δ

1−e¡

δ=e¡

δ

35．证明：

lim

d!

δ−d

δ2=lim

i!

i−δ

δ2=

证：

δ!

δ−1+e¡

=lim

eδ−δ−1

eδ

36.某厂家对零售商提供两种折扣：

付现款可低于零售价格30％；

6个月后付款，

可低于零售价格25％。

如果两种方式等价，计算对应的年利率。

设货款为S,半年实利率为i

则有：

0.7S（1+i

）=0.75S

1+i

=1.0714

故i=（1+i

）2−1=14.80%

37．令0<

t<

1，用以下三种方法计算时刻1的1元在时刻的价值：

1）在（t,1）内单利计算；

2）复利计算；

3）单利方式：

先计算它在0时刻的价值然后累积到时刻t。

在相同的利率水平下试对以上三个结果比较大小。

1）单利方式：

X1（1+（1−t）i）=1

2）复利方式：

X2（1+i）1¡

t=1

X3=（1+ti）

1+i

由Taylor展开易证：

（1+i）1¡

t>

1+（1−t）i（1+i）t<

1+it

故X1<

X2<

X3

38．基金A以年利率6％累积；

基金B以年利率8％累积。

第10年底两个基金的终值

之和为2000元，第10年底基金A为基金B的一半。

计算第5年底两个基金的资本之

和。

第11页

设基金A,B的本金为A,B:

A（1+0.06）10+B（1+0.08）10=1000

A（1+0.0610）=0.05B（1+0.08）10

A（1+0.06）5=498.17

B（1+0.08）5=907.44

从而5年底的累积值和=1405.61

39．已知第一年的实利率i1与第二年的实贴现率d2数值相同，第一年初的1000元

在第二年底的终值为1200元。

计算i1。

设第二年的实利率i2,由题意：

i1=d2=i2

1+i2

从而：

1000（1+i1）（1+i2）=1000（

1+2i2

1+i2

）（1+i2）=1200

i2=0.1，进而i1=1

11

40.甲以名利率i

（2）=10购得1000份100元面额的26周国债。

1）计算价格P；

2）近似推导名利率i

（2）的波动对价格P的影响（dP

di

（2））；

3）当名利率波动一个百分点时，近似计算价格P的波动范围。

（待查）

1）P=1000×

100×

（1+i

（2）

2）¡

1=95238.095

2）P=105

1+i

（2）

（dP

di

（2））=−2£

105

（2+i

（2））2

3）（|dP

di

（2）

|）|

i

（2）=10%=4.5351×

104即波动范围：

95238.095±

453.51

41．对j>

0，证明：

1）f（m）=（1+j

m）m是m的递增函数;

2）g（m）=m[（1+j）

m−1]是m的递减函数。

1）f

（m）=1

m（1+j

m）mln（1+j

m）,j>

0,m>

0,f

（m）>

0

2）令y=ln（1+j）/m,则原式化为：

ey−1

y

ln（1+j）（j>

0）

由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。

42.面额100元的26周国债名收益率11.07％。

售价在94.767到94.771之间时，

均可保持这个收益率。

（题意不理解，暂无修改意见）

第12页

第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。

如果它们前十年每年底存

款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。

计算X。

S=1000s20p7%￢+Xs10p7%￢

X=

50000−1000s20p7%￢

s10p7%￢=651.72

2．价值10,000元的新车。

购买者计划分期付款方式：

每月底还250元，期限4年。

月结算名利率18%。

计算首次付款金额。

设首次付款为X，则有

10000=X+250a48p1.5%￢

解得X=1489.36

3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1

n

。

试计算该年金的现值。

PV=nanpi￢

=n

1−vn

（n+1）nn2−nn+2

（n+1）n

4．已知：

a￢np=X，a2￢np=Y。

试用X和Y表示d。

a2￢np=a￢np+a￢np（1−d）n则

d=1−（

Y−X

X

5．已知：

a￢7p=5.58238,a1￢1p=7.88687,a1￢8p=10.82760。

计算i。

a1￢8p=a￢7p+a1￢1pv7

解得i=6.0%

6.证明：

1−v10=s1￢0p+a1￢p

s1￢0p。

s1￢0p+a∞￢p

s1￢0p=

（1+i）10−1

i+1

i

1−v10

7．已知：

半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：

开始4年每半

年200元，然后减为每次100元。

PV=100a8p3%￢+100a20p3%￢=2189.716

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。

然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。

设前25年的年利率为8%，

后15年的年利率7%。

计算每年的退休金。

设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日

1000¨

s25p8%￢=X¨

a15p7%￢

解得X=8101.65

9．已知贴现率为10%，计算a¨

￢8p。

d=10%，则i=1

1−d

−1=1

9

a¨

￢8p=（1+i）

1−v8

=5.6953

10.求证：

（1）a¨

￢np=a￢np+1−vn；

（2）s¨

￢np=s￢np−1+（1+i）n

并给出两等式的实际解释。

（1）a¨

￢np=1−vn

d=1−vn

=1−vn

i+1−vn

所以a¨

￢np=a￢np+1−vn

（2）s¨

￢np=（1+i）n−1

d=（1+i）n−1

=（1+i）n−1

i+（1+i）n−1

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利

率6%，计算：

1）该年金在1979年9月7日的现值；

2）该年金在1992年6月7日的终

值。

PV=100a49p1.5%￢−100a2p1.5%￢=3256.88

AV=100s49p1.5%￢−100s2p1.5%￢=6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。

年金A在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；

年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金

额为Y，在第11－20年中没有。

已知：

v10=1

，计算Y。

因两种年金价值相等，则有

a30pi￢+a10pi￢v10=Ya30pi￢−Ya10pi￢v10

所以Y=3−v10−2v30

1+v10−2v30=1.8

14.已知年金满足：

2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；

另

外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。

由题意知，

2a2npi￢+3anpi￢=36

2anpi￢vn=6

解得i=8.33%

15.已知

a￢7p

a1￢1p=

a￢3p+sX￢p

aY￢p+sZ￢p

求X，Y和Z。