N生奇素数有无限多组和相邻奇素数有无限多对文档格式.docx
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显然,如果模数Jp≥J+n-1,那么,这样一组奇素数的每一个奇素数分别属于一个剩余类,于是n小于Jp.如果模数Jp≤J,那么,n可以大于Jp.例如,一组16生奇素数(13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73)对于模数J4(即11),就是10个剩余类的16个奇素数,因为有17≡61(mod11),19≡41(mod11),23≡67(mod11),29≡73(mod11),31≡53(mod11),和37≡59(mod11),再加上13,43,47,和71所属的4个.
除上面讲的一个猜想外,还有这样的一个猜想,即:
如果有一对相差2k的相邻奇素数,那么,就一定有无限多对相差2k的相邻奇素数,这儿k是一个自然数.显然,这是上述猜想的特例.当k=1时,这也就是孪生素数猜想.这个猜想,在本文中我们将一并证明.
大家都知道,在数轴正方向射线上的每一个奇数点表示一个正奇数.又,在这条射线上每两个相邻奇数点之间的距离都是相等的.
让我们用符号“•”来表示一个奇数点,无论•是在一个表达式中,还是在数轴的正方向射线上.还有就是,这数轴的正方向射线上,我们仅仅标有奇数点的符号,以便简明.请看下面的第一图.
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
第一图
在表达式中,符号“•s”表示至少两个奇数点.为了从简,在下文中,从奇数点3开始的数轴的正方向射线,我们仅简称为射线.
我们把最小的正奇素数3看作是第一个奇素数,还把正奇素数J看作是第个奇素数,这儿≥1.那么,奇素数3也被写成J1.然后,我们把共有素因子J的奇数作为第种奇数.
如果一个奇数含有α个互不相同的素因子,那么,这个奇数同属于α种奇数,这儿α≥1.
在第种奇数中,仅有一个奇素数,即J,而我们把除J以外的、另外的奇数视为第种奇合数.
如果一个•被确定为一个奇合数点,那么,我们必须改变其符号•为◦.并且,用符号◦s来表示有关表达式中,至少两个已被确定的奇合数点.
在这个证明过程中,我们将按照为从小到大值的顺序,在第[≥1]种奇合数点位置上改变符号•s为◦s.
因为第种奇数是每一个奇数都乘以J的积,于是在此射线上,每连续J个奇数点中,就有一个第种奇数点.
所以,种奇数点与其它奇数点之间的任何一种相互排列,在此射线上总是呈现无限多相同格式的循环,这与它们的素合属性无关.
按照=1,2,3……的先后,我们顺次分解出此射线上的第种奇数点,并排列它们作为第二图.
39152127333945515763697581879399105117129
•••◦••◦••◦•◦◦••◦◦•◦••◦•◦◦•◦◦••◦◦•◦••◦◦•◦•◦◦•◦◦◦•◦••◦••◦•◦◦◦◦◦◦•◦
№1•◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦…
№2•◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦…
№3•◦◦◦◦◦◦◦◦…
◦
№4•◦◦◦◦◦…
№5•.◦◦◦◦…
第二图
按照种奇数点与其它奇数点之间的相同排列,我们把排列相同、彼此等长的最短线段看作是这种奇数点的循环段.
我们用字符串RLS№1~№来表示一条第种奇数点的循环段,并且用RLSS№1~№来表示至少两条这样的循环段.
如果一个•被肯定为一个奇素数点,那么,这个•在此射线上和/或表达式中就被改写成一个♠.并且,符号♠s在表达式中表示至少两个奇素数点.例如,在第1条RLS№1~№4上,几种奇数点之间的互相排列,请看下面的第三图.
在第1条RLS№1~№4上奇素数点&
奇合数点之间的排列状况
♠♠♠○♠♠○♠♠○♠○○♠♠○○♠○♠♠○♠○○♠○○♠♠○○♠○♠♠○○♠○♠○○♠○○○♠○
31527395163758799
♠♠○♠♠○♠○○○○○○♠○♠○○♠♠○○○○♠♠○○♠○○♠○♠○○♠○○♠♠○○○○♠♠○♠
111123135147159171183195
♠○○○○○♠○○○○○♠○♠♠○♠○○♠♠○○○○♠○○♠○○♠○○♠♠○○♠○♠♠○○○○♠○
207219231243255267279291
○○○○○♠○♠♠○♠○○○○○○♠○○♠○○○♠♠○♠○○♠○○○♠○○♠○○♠○♠○○♠○○○
303315327339351363375387
♠○♠○○○♠○○○○♠♠○○○○♠♠○○♠○♠○○♠○○○♠○♠♠○♠○○○○○♠○○○♠○♠○
399411423435447459471483
○○♠○♠○○♠○○○○○♠♠○○○○○○○○♠○○♠○○○○♠○○♠○○♠♠○○♠○○○○♠○○
495507519531543555567579591
♠○○♠♠○○♠○○♠○♠♠○○○○○♠○○○○♠♠○♠○○♠○○♠♠○○○○○♠○♠○○♠○○○
603615627639651663675687
♠○○○○♠○○○♠○○○○○♠○○♠○○♠○○♠○♠○○○♠○○♠○♠○○○♠○♠○○○○○○♠
699711723735747759771783
○○○○♠○○○○○♠♠○○○○♠♠○♠♠○○○○♠○○○○○○♠○♠♠○♠○○○♠○○♠○♠♠○
795807819831843855867879
♠○○○○○○○○○♠○♠○○○♠○○○○♠○○○♠○♠○○♠○○♠○○○○○○♠○♠○○♠○○♠
891903915927939951963975
○○○♠○○♠○○○○○♠○♠○○♠♠○○○○♠♠○○♠○○○○♠♠○○○○♠♠○○♠○○○○○○
987999101110231035104710591071
○○♠○♠♠○♠○○♠○○♠○○○♠○○♠○○♠○○○○○○○○○○♠♠○○○○♠○○○♠○○○○
108310951107111911311143115511671179
♠○○♠○○♠○○○♠○○○○○♠○♠○○♠○○♠♠○○♠○○○○○♠○○○○♠○○○○○○○○♠
11911203121512271239125112631275
♠○♠○○♠♠○○♠○♠♠○♠○○○○○♠♠○○♠○○○○○○○○○○○○○○○○♠○○♠○○♠○
12871299131113231335134713591371
○○♠○○○○○○○○♠○○○○♠○○○○○○♠○♠♠○♠○○♠○○○♠○♠♠○○♠○○○○○♠○
13831395140714191431144314551467
○○○♠♠○♠♠○♠○○♠○○○○○♠○○○○○♠○○○♠○○○○○♠○○♠○♠○○♠○○○♠○♠
14791491150315151527153915511563
○○○♠○♠○○○○○○♠○♠○○♠♠○♠○○♠♠○○♠○○○○♠○○○○○○○○○♠○○♠○♠♠
15751587159916111623163516471659
○○○○○○○○○○♠○♠♠○○○○♠○○○○○♠♠○○○○♠○○○♠○○♠○○♠○○♠○○○○○
167116831695170717191731174317551767
○○○♠○○♠○♠♠○○○○○♠○○○○♠○○○○○♠○○○♠○○○○○○○♠○○○○○○♠○○♠
17791791180318151827183918511863
○♠♠○♠♠○○○○♠○○○○○♠○○♠○○♠○○○○○○○○♠♠○○○○○○○♠♠○○○○○○○
18751887189919111923193519471959
○○○♠○○♠○○○♠○○♠○♠♠○♠○○○♠○○♠○○○○♠♠○○○○♠○○○○○○♠○○○○♠
19711983199520072019203120432055
○○♠○○○○○♠♠○♠♠○○○○♠○○○○○♠♠○○○○○○○♠♠○○♠○♠♠○○○○♠○○○♠
20672079209121032115212721392151
○○○○○○○○♠○○○○○○○○○○○♠○♠○○♠○○○♠○○○○○○○♠♠○♠○○○♠○○○○
216321752187219922112223223522472259
○○○♠♠○♠○○○♠○○♠○○♠○○○○○○○♠♠
2271228322952307
第三图
注解:
“♠”表示一个奇素数点;
“○”表示一个奇合数点.第1条RLS№1在奇数点7结束;
第1条RLS№1~№2在奇数点31结束;
第1条RLS№1~№3在奇数点211结束;
第1条RLS№1~№4在奇数点2311结束.
理所当然,第1条RLS№1~№从奇数点3开始.在每一条RLS№1~№中,有∏J个奇数点,这儿≥1,又,∏J=J1*J2*…*J.
不容置疑,一条RLS№1~№(+1)由连续的J+1条RLSS№1~№组成,并且,它们一一相连.
因为没有哪一种奇合数点重合第1条RLS№1~№左边的奇数点1,那么,根据对种奇数点循环段的定义,就没有哪一种奇合数点重合第2条RLS№1~№左边最近的那个奇数点.第2条RLS№1~№左边最近的那个奇数点就是第1条RLS№1~№上最右边的那个奇数点.因此,第1条RLS№1~№上最右边的那个奇数点总是一个奇素数点.也就是2∏J+1总是一个奇素数.
以从1开始的连续自然数给依次排列的每一条RLS№1~№+y上的每一个奇数点编上一个序号,也就是在依次排列的每一条RLS№1~№+y上从左到右的每一个奇数点被标记上依次从小到大的一个自然数,这儿y≥0.
那么,在一条RLS№1~№+y的J+y条RLSS№1~№(+y-1)上,共有同一个序数的J+y个奇数点中,必有一个第+y种奇数点.
此外,在第1条RLS№1~№+y右边的依次的每一条RLS№1~№+y的J+y条RLSS№1~№(+y-1)上,共有同一个序数的J+y个奇数点中,必有一个第+y种奇合数点.
奇素数点J1,J2…J-1和J在第1条RLS№1~№上,而在第1条RLS№1~№右边顺次排列的每一条RLS№1~№上,在与J1,J2…J-1和J相同的序号上,有个奇合数点.所以说,第1条RLS№1~№与其它的RLSS№1~№相比较,是一条特殊的RLS№1~№.
在此射线上,当变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,如果两个•s被μ个•s和b个◦s分开,且不考虑它们的排列状况,那么,表这样一种组合形式为•μ(•s)+b(◦s)•,这儿μ≥0,b≥0.
如果一组•μ(•s)+b(◦s)•的μ+2个•s全部被确定为奇素数点,那么,这组•μ(•s)+b(◦s)•被改写成一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠.进而,如果它位于连续J个奇数点中,且对于奇素数J,μ+2个♠s表示的μ+2个奇素数与模J所得剩余类的数目是小于J,那么,这样的一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠就是一组n生奇素数,这儿n=μ+2.
如果一对•υ(◦s)•的两个•s被确定为奇素数点,那么,这对•υ(◦s)•被改写成一对♠υ(◦s)♠,这儿υ≥0.
当μ=0时,一组•μ(•s)+b(◦s)•就是一对•b(◦s)•,另外,一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠就是一对♠b(◦s)♠,这儿b≥0.
让μ+b=m,一组•μ(•s)+b(◦s)•可以写成一组•m(•s◦s)•,同样地一组♠μ(•s)+b(◦s)♠可以写成一组♠m(•s◦s)♠.
在变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,在第1RLS№1~№上的J-h被确定为奇素数点,这儿>
h≥0,而,在此射线上J的右边有无限多•s,并且,每一个•在素合属性上,都是一个尚未确定的奇数点.无论如何,在J右边的每个•表示的一个奇数的每一个素因子都是大于J的.
根据一组•μ(•s)+b(◦s)•中的任意一个•被确定为一个◦,即可否定这组•μ(•s)+b(◦s)•.又,根据一对•υ(◦s)•中的任一个•被确定为一个◦,即可否定这对•υ(◦s)•.如果一组•μ(•s)+b(◦s)•永远不能被否定,那么它就是一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠.同样地,如果一对•υ(◦s)•永远不能被否定,那么它就是一对♠υ(◦s)♠.
从种奇数点循环段的定义,我们能够推断出:
在变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,如果在第1条RLS№1~№上,J右边的连续J个奇数点中有一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠,那么在第1条RLS№1~№右边顺次排列的每一条RLS№1~№上,在与♠μ(♠s)+b(◦s)♠有相同的序号上,一定是一组•μ(•s)+b(◦s)•.
毫无疑问,其逆命题也是成立的.也就是说,在变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,如果在第1条RLS№1~№右边顺次排列的每一条RLS№1~№上,在连续J个奇数点中,有一一相同序号的各组•μ(•s)+b(◦s)•,那么,在第1条RLS№1~№上,与任意这样一组•μ(•s)+b(◦s)•有一一相同的序号上,一定是一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠,这儿k=1,2,…μ+2.
当然,这组♠μ(♠s)+b(◦s)♠的每一个♠和每一组•μ(•s)+b(◦s)•的每一个•表示的一个奇数的每一个素因子都是大于J的.
总之,在变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,在第1条RLS№1~№上J右边的一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠和在第1条RLS№1~№右边顺次排列的RLSS№1~№上,与这组♠μ(♠s)+b(◦s)♠有一一相同序号上的无限多组•μ(•s)+b(◦s)•共存在这条射线上.
我们把上述结论叫做:
在这射线上,一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠和无限多组•μ(•s)+b(◦s)•的共存定理,或简称它为共存定理.
为了方便去观看,在示意图上,任意一条RLS№1~№(+1)的J+1条RLSS№1~№可以一一被折叠.例如,在有差异的两条RLSS№1~№3上的第1、第2、第3种奇数点,请看下列的第四图.
№:
151015№:
151015
3♠♠♠◦••◦••◦•◦◦••C◦◦◦◦••◦••◦•◦◦••
◦◦•◦••◦•◦◦•◦◦••◦◦•◦••◦•◦◦•◦◦••
◦◦•◦••◦◦•◦•◦◦•◦◦◦•◦••◦◦•◦•◦◦•◦
◦◦•◦••◦••◦•◦◦◦•◦◦•◦••◦••◦•◦◦◦•
◦◦•◦•◦◦••◦•◦◦••◦◦•◦•◦◦••◦•◦◦••
◦◦•◦◦•◦••◦•◦◦••◦◦•◦◦•◦••◦•◦◦••
◦◦•◦••◦••◦◦◦◦••211◦◦•◦••◦••◦◦◦◦••D
第四图
图解:
在变换第1、第2、第3种奇合数点位置上的•s为•s后,每一个♠表示一个已确定的奇素数点;
每一个•表示一个尚未确定素合属性的奇数点;
每一个◦表示一个已确定的奇合数点.在这图中,线段3(211)是第1条RLS№1~№3;
线段CD是第1条RLS№1~№3右边依次排列的任一条RLS№1~№3.
证明
在下文中,我们将用数学归纳法并借助RLSS№1~№及其上的奇数点同步地证明:
n生奇素数有无限多组和相邻奇素数有无限多对.
1.当=1时,在第1条RLS№1上J1的右边仅有一组♠♠.并且,这组♠♠也是一对♠υ1(◦s)♠,即孪生奇素数点5和7,这儿υ1=0.
当=2时,在第1条RLS№1~№2上J2的右边有♠◦♠♠◦♠♠◦♠◦◦♠♠.在连续Js个奇数点中,这些奇数点含有几组♠μ2(♠s)+b2(◦s)♠,它们中,也包括几对♠υ2(◦s)♠,这儿μ2≤6,b2≤5,J1≤Js≤J5,及υ2≤2.
很明显,这些♠υ2(◦s)♠包含孪生奇素数对.
当=3时,在第1条RLS№1~№3上J3的右边,既在连续Jf个奇数点中有若干组♠μ3(♠s)+b3(◦s)♠,又有若干对♠υ3(◦s)♠,这儿μ2≤μ3≤41,b2≤b3≤58,Js≤Jf≤J27=101,及υ2≤υ3=0、1、2、3、4、5、6.
显然,这些♠μ3(♠s)+b3(◦s)♠包含若干组♠μ2(♠s)+b2(◦s)♠,这些♠υ3(◦s)♠包含全部♠υ2(◦s)♠对.
对于在第1条RLS№1~№3上的♠υ3(◦s)♠,υ3有不同的值,当υ3为不同值时,我们举(11、13),(13、17),(23、29),(89、97),(139、149),(199、211)及(113、127)为例.也请参看前面的第三图.
当=4时,在第1条RLS№1~№4上J4的右边,既在连续Ja个奇数点中有若干组♠μ4(♠s)+b4(◦s)♠,又有若干对♠υ4(◦s)♠,这儿μ3≤μ4≤337,b3≤b4≤813,Jf≤Ja≤J189=1151,及υ3≤υ4=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11及16.
显然这些♠μ4(♠s)+b4(◦s)♠包含若干组♠μ3(♠s)+b3(◦s)♠,这些♠υ4(◦s)♠包含全部♠υ3(◦s)♠对.
对于在第1条RLS№1~№4上的♠υ4(◦s)♠,υ4有不同的值,当υ4为不同值时,我们举(17、19),(19、23),(31、37),(89、97),(139、149),(211、223),(293、307),(1831、1847),(1259、1277),(887、907),(1669、1693),(2179、2203)及(1327、1461)为例.请再参看前面的第三图.
2.当=β≥4时,假设:
在第1条RLS№1~№上J的右边,既在连续Jb个奇数点中有若干组♠μ(♠s)+b(◦s)♠,又有若干对♠υ(◦s)♠,这儿μ≥μ4,b≥b4,υ≥υ4,Jb≥Ja,及J≥J4.
另外,这些♠μ(♠s)+b(◦s)♠包含了第1条RLS№1~№ψ上J1右边任意一组n生奇素数点,并且,这些♠υ(◦s)♠包含了在第1条RLS№1~№ψ上任意一对相邻奇素数点,这儿ψ<
β.
让我们假设:
在第1条RLS№1~№ψ上J1右边任意一组n生奇素数点为♠μp(♠s)+bq(◦s)♠;
以及在第1条RLS№1~№ψ上任意一对相邻奇素数点是♠υδ(◦s)♠,这儿μp≥μ4,bq≥b4,及υδ≥υ4.
3.当=η>
β时,证明:
在第1条RLS№1~№上J的右边,既在连续Jc个奇数点中有若干组♠μ(♠s)+b(◦s)♠,又有若干对♠υ(◦s)♠,这儿μ≥μ,b≥b,υ≥υ,Jc≥Jb,及J>
J.而且,这些♠μ(♠s)+b(◦s)♠必须包含需要我们去证明的一组♠μp(♠s)+bq(◦s)♠,并且,这些♠υ(◦s)♠必须包含需要我们去证明的一对♠υδ(◦s)♠.
证明.因为在第1条RLS№1~№上J的右边,连续Jb个奇数点中有一组♠μp(♠s)+bq(◦s)♠.那
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