完整全等三角形经典题型50题含答案推荐文档Word下载.docx
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所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
4.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC12
过E点,作EG//AC,交AD延长线于G 则
∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2 又∵CD=DE
∴⊿ADC➴⊿GDE(AAS) ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 C
∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=ACDE
B
5.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
C
BD
在AC上截取AE=AB,连接ED ∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠BAD 又
∵AE=AB,AD=AD
∴⊿AED➴⊿ABD(SAS)
∴∠AED=∠B,DE=DB
∵AC=AB+BD AC=AE+CE
∴CE=DE ∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C
∴∠B=2∠C
6.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°
AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB=∠CEF=90°
因为EB=EF,CE=CE, 所以△CEB➴△CEF 所以∠B=∠CFE 因为∠B+∠D=180°
,
∠CFE+∠CFA=180°
所以∠D=∠CFA 因为AC平分∠BAD 所以∠DAC=∠FAC 又因为AC=AC 所以△ADC➴△AFC(SAS) 所以AD=AF 所以AE=AF+FE=AD+BE
12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD
上。
求证:
BC=AB+DC。
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.
∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE➴ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;
AB平行于CD,则:
∠A+∠D=180°
;
又∠EFB+∠EFC=180°
则∠EFC=∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故
⊿FCE➴ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.
13.已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠C
EDAB//ED,AE//BD推出AE=BD,
又有AF=CD,EF=BC
所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以:
∠C=∠F
14.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
证明:
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD<
BC时,ADE点是射线BA,CD的交点,当AD>
BC时,E点是射线
AB,DC的交点)。
则:
△AED是等腰三角形。
所以:
AE=DE 而AB=CD
所以:
BE=CE(等量加等量,或等量减等量) 所以:
△BEC
BC是等腰三角形 所以:
角B=角C.
15.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>
AB,求证:
PC-PB<
AC-AB
16.
作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线,B'
在线段AC上(在AC中间,因为AB较短) 因为PC<
PB’+B‘C,PC-PB’<
B‘C,而B'
C=AC-AB'
=AC-AB,所以
17.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为,∠1=∠2,BE⊥AE
所以,△ABF是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
18.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
作AG∥BD交DE延长线于G
DAGE全等BDEAG=BD=5 AGF∽CDF
FC
A
EB
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
所以:
∠DBC=∠角DCB;
∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB;
所以:
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线 所以:
AD垂直BC19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
∠OAB=∠OBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB
所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
做BE的延长线,与AP相交于F点, ∵PA//BC
P
C∴∠PAB+∠CBA=180°
E又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°
D∴∠AEB=90°
,EAB为直角三角形 在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
AB ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三
角形BEC中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形
DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
在AB上找点E,使AE=AC
A∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD ∴△ADE➴△
ADC。
DE=CD,∠AED=∠C
∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB
∠C=∠B+∠EDB=2∠B
DB
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于
F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立
请给予证明;
若不成立请说明理由.
分析:
通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC➴Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.
解答:
解:
(1)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°
DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC➴Rt△BFA,
∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°
,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC➴Rt△BFA, ∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF.
23.(7分)已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
A
(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE,所以△AED➴△EBC。
(2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
BC
24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE.
F证明:
延长BA、CE,两线相交于点F ∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中 ∠FBE=∠CBE,BE=BE,
∠BEF=∠BEC ∴△BEF➴△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°
∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF 在△ABD和△ACF中 ∠ABD=∠ACF,AB=AC,
∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD➴△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE
25、(10分)如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
△AED≌△
BFC。
DEFC
AB
26、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,A
BE∥CF,BE=CF。
AM是△ABC的中线。
∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF
∴△BEM➴△CFM C
E
∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD⊥AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDBA相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
BF=CF证明:
在△ABD与△ACD中AB=AC BD=DC AD=AD A
∴△ABD➴△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△
BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF
∴△FBD➴△FCD ∴BF=FCBC
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
AF=DE。
因为AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB
所以三角形ABE=三角形CDF 因为角DCB=角ABF AB=DC
BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以
CD
AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M
恰好在一条直线上.
证:
∵AB平行CD(已知) ∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等) ∵M在BC的中点
(已知) ∴EM=FM(中点定义) 在△BME和△CMF中 BE=CF(已知)
∠B=∠C(已证) EMFM(已证) ∴△BME全等与△CMF(SAS)
∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°
(等式的性质)
∴E,M,F在同一直线上
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,
AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE➴△CDF.
∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF ∵BE//DF
∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF ∴⊿ABE➴⊿CDF(SAS)
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是
DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等
腰△两底角相等得:
角ABC=角ADC在结合已知条件证得:
AC
△ADE≌△ABF
得AE=AF
33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC. 又因为
AC是公共边,所以AAS==>
三角形ADC全等于三角形
AC
ABC. 所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC 三角形
DEC全等于三角形BEC 所以∠5=∠6B
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
因为D,C在AF上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB平行DE,BC平行EF 所以角A+角EDF,角BCA=角F(两直线平行,内错角相等) 然后SSA(角角边)三角形全等
35.已知:
如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
因为AB=AC, 所以∠EBC=∠DCB
因为BD⊥AC,CE⊥AB 所以∠BEC=∠CDB BC=CB(公共边)
则有三角形EBC全等于三角形DCB 所以BE=CD
36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
DE=DF.
AAS证△ADE≌△ADF
BDC
37.已知:
如图,AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,AD⊥AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长?
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE D
△ABC≌△DAE B
AD=AB=5
38.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为A
E、F,ME=MF。
MB=MC
证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形 ∴∠B=∠C
又∵ME=MF,△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM ∴MB=MC
BMC
39.如图,给出五个等量关系:
①AD=BC②AC=BD③CE=DE④∠D=∠C⑤
∠DAB=∠CBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结
论(只需写出一种情况),并加以证明.已知:
已知1,2 求证4 因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中,连AB 所以△ADB全等于△BCA 所以角D=角C
以4,5为条件,1为结论。
即:
在四边形ABCD中,∠D=∠C,∠A=∠B,求证:
AD=BC
因为∠A+∠B+∠C+∠D=360 ∠D=∠C,∠A=∠B, 所以2(∠A+∠D)=360°
,
, 所以AB//DC
40.在△ABC中,∠ACB=90︒,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①∆ADC≌
∆CEB;
②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;
若不成立,说明理由.
(1)证明:
∵∠ACB=90°
, ∴∠ACD+∠BCE=90°
, 而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
∴∠ADC=∠CEB=90°
,∠BCE+∠CBE=90°
, ∴∠ACD=∠CBE. 在Rt△ADC和Rt△CEB中,
{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB, ∴Rt△ADC➴Rt△CEB(AAS),
∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=DC+CE=BE+AD;
(2)不成立,证明:
在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°
∠ACD=∠CBEAC=CB,
∴△ADC➴△CEB(AAS), ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=CE-CD=AD-BE;
41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
F
(1)证明;
因为AE垂直AB 所以角EAB=角EAC+角
CAB=90度 因为AF垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=ABAF=AC E
所以三角形EAC和三角形FAB全等 所以EC=BF 角ECA=角F
(2)
(2)延长FB与EC的延长线交于点G 因为角ECA=C
角F(已证) 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所
以EC垂直BF
42.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
(1)AM=AN;
(2)
AM⊥AN。
(1) ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°
∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△
ABM➴△NAC ∴AM=AN
(2) ∵△ABM➴△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43.如图,已知
∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
连接BF、CE,
证明△ABF全等于△DEC(SAS),
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE 又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
∵AD是中线 ∴BD=CD ∵DF=DE,∠BDE=∠CDF ∴△
BDE➴△CDF ∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF
46、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE=BF.求证:
AB∥CD.
∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠DEC=∠AFB=90°
, 在D
Rt△DEC和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD, ∴Rt△DEC➴Rt△BFA, ∴∠C=∠A, ∴AB∥CD.
47、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AB=CD
AD
【待定】
48、(10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE
的大小与位置关系,并证明你的结论.
结论:
CE>
DE。
当∠AEB越小,则DE越小。
C
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<
90°
∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<
△
DFB中∠DFB=∠DBF=(180°
-∠FDB)/2>
45°
RT△AEBAFB中,∠FBA=90°
-∠DBF<
∠AFB=90°
-
∠FBA>
∴AB>
AF ∵AB=CEAF=DE ∴CE>
DE
49、(10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:
AE=DE.
先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCBA
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE
50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°
,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
作CG平分∠ACB交AD于G ∵∠ACB=90°
∴∠ACG=∠DCG=45°
∵∠ACB=90°
AC=BC
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠DCG=∠ACG ∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°
AEB
∴∠CAF=∠DCF ∵AC=CB∠ACG=∠B 图9
∴△ACG➴△CBE ∴CG=BE ∵∠DCG=∠BCD=BD
∴△CDG➴△BDE ∴∠ADC=∠BDE
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