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教学过程设计
问题与情景
师生行为
设计意图
「活动1」
问题1:
2008年奥运会将在北京举办,许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。
现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训,由已合格人员培训第一轮人员,再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务。
某高校学生李红已受训合格,成为一名志愿者,并由她负责培训本校志愿者。
若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。
(1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合格,请列出满足条件的方程:
(2)若两轮培训后该校共有121人合格,你能列出满足条件的方程吗?
问题2:
有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
问题3:
我校为丰富校园文化氛围,要设计一座2米高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与全部高度的乘积,等于下部(腰以下)高度的平方,求雕像下部的高度.
通过多媒体播放视频短片,引入情境,提出问题.在第
(1)问中,通过教师引导,学生列出方程,解决问题.
在第
(2)问中,遵循刚才解决问题的思路,由学生思考,列出方程.
活动中教师应重点关注:
学生对题目的理解,可举例,由特殊到一般,帮助学生理解题意,从而引导学会列出满足条件的方程
通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程.
此题是与实际问题结合的题目,通过演示高度关系,帮助学生理解题意,从而列出符合题意的方程。
通过创设情境,引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫.
通过解决实际问题引入一元二次方程的概念,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
通过解决实际问题引入一元二次方程的概念.
让学生通过数形结合的方法,转化实际问题,从而得到方程,为引入一元二次方程的概念做好准备.
「活动2」
1、一元二次方程的概念:
等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般式:
3、
由以上问题得到3个方程,
由学生观察归纳这3个方程的特征,给出名称并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.
(1)
引导学生观察所列出的3个方程的特点;
(2)
让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义.
(3)
强调定义中体现的3个特征:
①整式;
②一元;
③2次.
由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.
其中
(1)~(6)题较为简单,学生可非常容易给出答案;
而(7),(8)两题有一定难度,(7)需要进行分类讨论.
此活动中,教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳.
引导学生类比一元一次方程的一般形式,总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念.
让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的.
这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解.
(7),(8)两个题目的设置,目的在于进一步加深学生对定义的掌握,尤其结合字母系数,加大题目难度,提高学生对变式的理解能力.
此环节采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.
此环节让学生通过自主探究,类比一元一次方程一般形式,得出一元二次方程一般形式和项,系数的概念,从而达到真正理解并掌握的目的.
问题与情境
试一试:
下面给出了某个方程的几个特点:
(1)它的一般形式为
(2)它的二次项系数为5;
(3)常数项是一次项系数的倒数的相反数。
「活动3」
例1.天津四中为树立学生的团结、拼搏精神,组织了一次篮球比赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,依据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,请问全校有多少个队参赛?
(列方程并整理成一般形式)
先由教师在大屏幕上显示问题,由学生经过思考,给出符合条件的答案,全体学生进行判断是否正确.
在此环节可设置一个小游戏,让答对学生给出类似条件,找其他同学回答给出的新问题,让大家进行判断给出的方程是否正确.
此环节中,教师应注意板书学生给出的方程要,并且及时引导学生不要给出类似的条件.
此题为与实际问题结合的题目,让学生思考解决问题的方法,列出满足题意的方程.
以此题为例,教师板书整理一元二次方程的过程,让学生学会如何整理任意一元二次方程的一般形式,并能准确找到各项系数.
教师在此活动中应重点关注:
(1)由一个学生列出方程,并解释解题方法,教师进行引导,点评,引起其他学生的关注,认同.
(2)教师在归纳点评过程中,应注意把两队只打一场比赛解释清楚,以便学生理解题意.
(3)整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母等.
(4)让学生指出各项系数时,教师强调系数须带符合.
此题设置的目的在于加深学生对一般形式的理解
采取游戏的形式以提高学生对数学学习的兴趣,参与课堂活动的积极性,还可鼓励学生课下继续以合作的形式进行学习.
整理一元二次方程的一般形式为本节课的重点,由实际问题出发列方程为本节的难点,所以在此设置此题,加强巩固练习.
由篮球比赛引入题目,可激发学生兴趣,引起学生关注.
此题有在实际生活中应用的意义,通过此题让学生理解比赛赛制安排原则.
小试牛刀:
你能否把下列方程整理成一般形式?
例2、当m取何值时,方程
是关于x的一元二次方程?
考考你:
判断下列关于x的方程是否是一元二次方程:
(
为有理数);
「活动4」
1.问题:
本节课你又学会了哪些新知识?
2.思维拓展:
若方程x2m+n+xm-n+3=0是关于x的一元二次方程,求m,n的值。
巩固练习学生整理一般形式的方法,并准确找出各项系数.此环节可找学生口答结果.
此题是字母系数问题,由学生思考解题过程,让学生讲解此题,教师进行总结点评.大屏幕显示解题过程.
此题由学生思考,讨论,并由学生给出结果并进行解释.
此活动过程中,教师应重点关注:
(1)此题目在上一题的基础上继续加大难度,第
(1)题须强调先进行整理,再考虑二次项系数是否为零;
第
(2)题须先求出m值,再代入二次项系数中,验证是否为0,得到结果.
(2)学生解答过程中,教师把学生整理的一般形式书写在黑板上,以便全体学生理解.
学生反思本节课中学到的知识,总结活动中的经验。
小结时,教师应重点关注:
(1)学生是否能抓住本节课的重点;
(2)学生是否掌握一些基本方法。
此题让学生进行思考,讨论,让学生进行讲解,教师作适当归纳,可留疑,让学生课下思考。
让学生再思考,若题目
让学生落实将刚才教师板书的整理一般形式的过程,再次突出本节课的重点内容
此题为一元二次方程概念中常见题型,通过此题让学生加深对定义和一般形式的理解,为其他字母系数问题做好准备。
此题仍涉及字母系数问题,难度加大,以达到让学生掌握本节课重难点的目的.
通过此题让学生掌握解此类字母系数题目的方法,以及整理一般形式对于解一元二次方程题目的重要性
小结反思中,不同学生有不同的体会,要尊重学生的个体差异,激发学生主动参与意识,.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。
此题需进行分类讨论,开拓学生思维,体现数学的严谨性。
「活动5」
课后作业:
(A)教科书第98页习题17.1第1、2、5、6、7题.
(B)请根据所给方程:
(16-2x)(10-2x)=112,
联系实际,编写一道应用题
(要求题目完整,题意清楚,不要求解方程)。
中“+”变成“-”时,如何解决,留作课下思考。
(A)组题目为巩固型作业,即必做题。
(B)组题目为思维拓展型作业,即为学有余力的学生设置。
分层次布置作业,尊重学生的个体差异,激发学生学习积极性。
教学设计说明
本节课是一元二次方程的第一课时,通过对本节课的学习,学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念,并学会利用方程解决实际问题。
在教学过程中,注重中难点的体现。
在本节课的活动1中,通过实际问题引入学生熟悉的一元一次方程,让学生掌握利用方程解决问题,从而顺利过渡到后面的问题。
活动2中让学生观察活动1中得到的3个方程,并通过类比一元一次方程的定义和一般形式,从而获得本课的新知识。
活动3意在强化学生所学知识,并运用到实际问题中去。
教学过程中,应随时注意学生们出现的问题,及时进行反馈,使学生熟练掌握所学知识。
用公式法解一元二次方程
浙江省温岭市第三中学叶仁龙
教学目标
(1)会用公式法解一元二次方程;
(2)经历求根公式的发现和探究过程,提高学生观察能力、分析能力以及逻辑思维能力;
(3)渗透化归思想,领悟配方法,感受数学的内在美.
教学重点
知识层面:
公式的推导和用公式法解一元二次方程;
能力层面:
以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法.
教学难点:
求根公式的推导.
总体设计思路:
以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维.
教学过程
整体教学流程:
形成表象,提出问题
分析问题,探究本质
得出结论,解决问题
拓展应用,升华提高
归纳小结,布置作业.
形成表象,提出问题
在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.
解下列一元二次方程:
(学生选两题做)
(1)x2+4x+2=0;
(2)3x2-6x+1=0;
(3)4x2-16x+17=0;
(4)3x2+4x+7=0.
然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?
接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:
(学生不做,思考其解题过程)
(1)3x2+4x+2=0;
(2)3x2-2x+1=0;
(3)4x2-16x-3=0;
(4)3x2+x+7=0.
思考:
新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?
设计意图:
1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;
2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望.
分析问题,探究本质
由学生的观察讨论得到:
用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.
进而提出下面的问题:
既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?
方程的根与什么有关?
有怎样的关系?
如何进一步探究?
让学生讨论得出:
从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.
ax2+bx+c=0(a≠0)
注:
根据学生学习程度的不同,可
ax2+bx=-c
以采用学生独立尝试配方,合
x2+
x=-
作尝试配方或教师引导下进行
x+
=-
+
配方等各种教学形式.
(x+
)2=
然后再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b2-4ac”的重要性.
当b2-4ac≥0时,
这样变形可以避免对a正、负的讨论,
=
便于学生的理解.
即x=
x1=
x2=
当b2-4ac<
0时,
方程无实数根.
让学生通过经历知识形成的全过程,从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力,发展了理性思维.
得出结论,解决问题
由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定.当b2-4ac≥0时,
x=
;
0时,方程无实数根.
这个式子对解题有什么帮助?
通过讨论加深对式子的理解,同时让学生进一步感受到数学的简洁美、和谐美.
进而阐述这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.
运用公式法解一元二次方程.(设计两个环节:
共同练习和独立完成)
[共同练习]
(1)2x2-x-1=0;
(2)4x2-3x+2=0;
(3)x2+15x=-3x;
(4)x2-
=0.
此环节的设计意图:
进一步阐述求根公式,归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.
[独立完成]
用公式法解一元二次方程:
(1)x2+x-6=0;
(2)x2-
x-
=0;
(3)3x2-6x-2=0;
(4)4x2-6x=0;
(5)x2+4x+8=4x+11;
(6)x(2x-4)=5-8x.
能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获.
拓展运用,升华提高
分两个环节:
用一用和想一想(此环节基于学生课堂掌握的情况而定,可作为课后思考题).
[用一用]
解决本章引言中的问题:
要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?
雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:
即BC2=2AC.
设雕像下部高xm,于是得方程
x2=2(2-x)
整理得:
x2+2x-4=0.
解这个方程,得
x1=-1+
x2=-1-
.
精确到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236.
考虑实际意义,x≈1.236.所以雕像下部高度应设计约为1.236m.
在前面的基础上进一步提问:
(结合学生的实际情况,可以放在课后思考.)
(1)如果雕像的高度设计为3m,那雕像的下部应是多少?
4m呢?
(2)进而把问题一般化,这个高度比是多少?
之后简单介绍黄金分割数,使学生感受到数学的奥妙.
①运用所学的知识解决实际问题;
②能力层面上的拓展----化归思想.
[想一想]
清清和楚楚刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0,清清说:
“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:
“不一定,根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?
并说明理由.
基于学生基础较好,因此对求根公式作进一步深化,并综合运用了配方法,使不同层次的学生都有不同提高.
归纳小结,布置作业
结合上面用一用,让学生尝试对本节课的知识进行梳理,对方法进行提炼,从而使学生的知识和方法更具系统化和网络化,同时也是情感的升华过程.
作业:
(结合学生的实际情况,可以分层布置.)
㈠作业本;
㈡拓广探索:
P46第12题
㈢阅读思考P46-----黄金分割数,有兴趣的同学可以上网查阅相关资料,或进一步探究根与系数的其他关系.
在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点:
(1)只含有一个未知数;
(2)未知数的最高项的次数和是2;
(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式:
ax^2+bx+c=0时,应满足(a≠0)
[编辑本段]补充说明:
1、该部分的只是为初等数学知识,一般在初二就有学习。
(但一般反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是高考的热点。
3,方程的两根与方程中各数有如下关系:
X1+X2=-b/aX1*X2=c/a(也称韦达定理)4,方程两根为X1,X2时,方程为:
X^2-(X1+X2)X+X1X2=0(根据韦达定理逆推而得)5.验根:
(b^2)-4ac
[编辑本段]一元二次方程的形式
一般式
ax^2+bx+c=0(a、b、c是实数a≠0)例如:
x^2+2x+1=0
配方式
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/2a
两根式
a(x-x1)(x-x2)=0
[编辑本段]一般解法
1.配方法
(可解全部一元二次方程)如:
解方程:
x^2+2x-3=0解:
把常数项移项得:
x^2+2x=3等式两边同时加1(构成完全平方式)得:
x^2+2x+1=4因式分解得:
(x+1)^2=4解得:
x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当
2.公式法
(可解全部一元二次方程)其公式为x=(-b±
√(b^2-4ac))/2a当b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当b^2-4ac<0时x无实数根(初中)当b^2-4ac=0时x有两个实数根即x1=x2
3.因式分解法
(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
如:
x^2+2x+1=0解:
利用完全平方公式因式分解得:
(x+1)^2=0解得:
x1=x2=-1
4.直接开平方法
(可解部分一元二次方程)
5.代数法
(可解全部一元二次方程)ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设:
x=y-b/2方程就变成:
(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0X错__应为(y^2+b^2/4-by)+(by-b^2/2)+c=0再变成:
y^2+(b^2*3)/4+c=0X___y^2-b^2/4+c=0y=±
√[(b^2*3)/4+c]X____y=±
√[(b^2)/4+c]
如何选择最简单的解法:
1、看是否可以直接开方解;
2、看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法);
3、使用公式法求解;
4、最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。
例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解为x=m±
√n例1.解方程
(1)(3x+1)^2=7
(2)9x^2-24x+16=11分析:
(1)此方程显然用直接开平方法好做,
(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>
0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:
(3x+1)^2=7∴(3x+1)^2=7∴3x+1=±
√7(注意不要丢解)∴x=...∴原方程的解为x1=...,x2=...
(2)解:
9x^2-24x+16=11∴(3x-4)^2=11∴3x-4=±
√11∴x=...∴原方程的解为x1=...,x2=...2.配方法:
例1用配方法解方程3x^2-4x-2=0解:
将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1:
x^2-x=方程两边都加上一次项系数一半的
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