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如果余数是0,则为星期日。
以2049年10月1日(100周年国庆)为例,用蔡勒(Zeller)公式进行计算,过程如下:
蔡勒(Zeller)公式:
w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
=49+[49/4]+[20/4]-2?
20+[26?
(10+1)/10]+1-1
=49+[12.25]+5-40+[28.6]
=49+12+5-40+28
=54(除以7余5)
即2049年10月1日(100周年国庆)是星期5。
你的生日(出生时、今年、明年)是星期几?
不妨试一试。
不过,以上公式只适合于1582年10月15日之后的情形(当时的罗马教皇将恺撒大帝制订的儒略历修改成格里历,即今天使用的公历)。
过程的推导:
(对推理不感兴趣的可略过不看)
星期制度是一种有古老传统的制度。
据说因为《圣经?
创世纪》中规定上帝用了六
天时间创世纪,第七天休息,所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生活,而星期日是休息日。
从实际的角度来讲,以七天为一个周期,长短也比较合适。
所以尽管中国的传统工作周期是十天(比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”,即是指官员的工作每十日为一个周期,第十日休假),但后来也采取了西方的星期制度。
在日常生活中,我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。
有时候,我们还想知道历史上某一天是星期几。
通常,解决这个方法的有效办法是看日历,但是我们总不会随时随身带着日历,更不可能随时随身带着几千年的万年历。
假如是想在计算机编程中计算某一天是星期几,预先把一本万年历存进去就更不现实了。
这时候是不是有办法通过什么公式,从年月日推出这一天是星期几呢?
答案是肯定的。
其实我们也常常在这样做。
我们先举一个简单的例子。
比如,知道了2004年5月1日是星期六,那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出来。
我们可以掰着指头从1日数到31日,同时数星期,最后可以数出5月31日是星期一。
其实运用数学计算,可以不用掰指头。
我们知道星期是七天一轮回的,所以5月1日是星期六,七天之后的5月8日也是星期六。
在日期上,8-1=7,正是7的倍数。
同样,5月15日、5月22日和5月29日也是星期六,它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28,也都是7的倍数。
那么5月31日呢?
31-1=30,虽然不是7的倍数,但是31除以7,余数为2,这就是说,5月31日的星期,是在5月1日的星期之后两天。
星期六之后两天正是星期一。
这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路:
首先,先要知道在想算的日子之前的一个确定的日子是星期几,拿这一天做为推算的标准,也就是相当于一个计算的“原点”。
其次,知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天,用7除这个日期的差值,余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。
如果余数是0,就表示这两天的星期相同。
显然,如果把这个作为“原点”的日子选为星期日,那么余数正好就等于星期几,这样计算就更方便了。
但是直接计算两天之间的天数,还是不免繁琐。
比如1982年7月29日和2004年5月1日之间相隔7947天,就不是一下子能算出来的。
它包括三段时间:
一,1982年7月29日以后这一年的剩余天数;
二,1983-2003这二十一个整年的全部天数;
三,从2004年元旦到5月1日经过的天数。
第二段比较好算,它等于21*365+5=7670天,之所以要加5,是因为这段时间内有5个闰年。
第一段和第三段就比较麻烦了,比如第三段,需要把5月之前的四个月的天数累加起来,再加上日期值,即31+29+31+30+1=122天。
同理,第一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来,再加上7月剩下的天数,一共是155天。
所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。
仔细想想,如果把“原点”日子的日期选为12月31日,那么第一段时间也就是一个整年,这样一来,第一段时间和第二段时间就可以合并计算,整年的总数正好相当于两个日子的年份差值减一。
如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日(或者天文学家所使用的公元0年12月31日),这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。
这样简化之后,就只须计算两段时间:
一,这么多整年的总天数;
二,想算的日子是这一年的第几天。
巧的是,按照公历的年月设置,这样反推回去,公元前1年12月31日正好是星期日,也就是说,这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。
那么现在的问题就只有一个:
这么多整年里面有多少闰年。
这就需要了解公历的置闰规则了。
我们知道,公历的平年是365天,闰年是366天。
置闰的方法是能被4整除的年份在2月加一天,但能被100整除的不闰,能被400整除的又闰。
因此,像1600、2000、2400年都是闰年,而1700、1800、1900、2100年都是平年。
公元前1年,按公历也是闰年。
因此,对于从公元前1年(或公元0年)12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年中的闰年数,就等于[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400],[...]表示只取整数部分。
第一项表示需要加上被4整除的年份数,第二项表示需要去掉被100整除的年份数,第三项表示需要再加上被400整除的年份数。
之所以Y要减一,这样,我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式:
W=(Y-1)*365+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+D.
(1)其中D是这个日子在这一年中的累积天数。
算出来的W就是公元前1年(或公元0年)12月31日到这一天之间的间隔日数。
把W用7除,余数是几,这一天就是星期几。
比如我们来算2004年5月1日:
W=(2004-1)*365+[(2004-1)/4]-[(2004-1)/100]+[(2004-1)/400]+
(31+29+31+30+1)
=731702,731702/7=104528……6,余数为六,说明这一天是星期六。
这和事实是符合的。
上面的公式
(1)虽然很准确,但是计算出来的数字太大了,使用起来很不方便。
仔细想想,其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。
这启发我们是不是可以简化这个W值,只要找一个和它余数相同的较小的数来代替,用数论上的术语来说,就是找一个和它同余的较小的正整数,照样可以计算出准确的星期数。
显然,W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。
其实,
(Y-1)*365=(Y-1)*(364+1)
=(Y-1)*(7*52+1)
=52*(Y-1)*7+(Y-1),
这个结果的第一项是一个7的倍数,除以7余数为0,因此(Y-1)*365除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。
这个关系可以表示为:
(Y-1)*365≡Y-1(mod7).其中,≡是数论中表示同余的符号,mod7的意思是指在用7作模数(也就是除数)的情况下≡号两边的数是同余的。
因此,完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365,这样我们就得到了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式:
W=(Y-1)+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+D.
(2)
这个公式虽然好用多了,但还不是最好用的公式,因为累积天数D的计算也比较麻烦。
是不是可以用月份数和日期直接计算呢?
答案也是肯定的。
我们不妨来观察一下各个月的日数,列表如下:
月份:
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
------------------------------------------------------------------------
天数:
3128(29)31303130313130313031如果把这个天数都减去28(=4*7),不影响W除以7的余数值。
这样我们就得到另一张表:
月 份:
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
剩余天数:
30
(1)3232332323
平年累积:
33681113161921242629
闰年累积:
34791214172022252730仔细观察的话,我们会发现除去1月和2月,3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,3;
8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3,正好是一个重复。
相应的累积天数中,后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。
正是因为这种规律的存在,平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达:
╭d;
(当M=1)
D={31+d;
(当M=2) (3)
╰[13*(M+1)/5]-7+(M-1)*28+d+i. (当M≥3)其中[...]仍表示只取整数部分;
M和d分别是想算的日子的月份和日数;
平年i=0,闰年i=1。
对于M≥3的表达式需要说明一下:
[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的平年累积值,再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。
这是一个很巧妙的办法,利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。
比如,对2004年5月1日,有:
D=[13*(5+1)/5]-7+(5-1)*28+1+1
=122,
这正是5月1日在2004年的累积天数。
假如,我们再变通一下,把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”,不仅仍
然符合这个公式,而且因为这样一来,闰日成了上一“年”(一共有14个月)的最后一天,成了d的一部分,于是平闰年的影响也去掉了,公式就简化成:
D=[13*(M+1)/5]-7+(M-1)*28+d.(3≤M≤14)(4)上面计算星期几的公式,也就可以进一步简化成:
W=(Y-1)+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+[13*(M+1)/5]-7+(M-1)*28+d.因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除,所以去掉这两项,W除以7的余数不变,公式变成:
W=(Y-1)+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-400]+[13*(M+1)/5]+d.
(5)当然,要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月,因此在计算1月和2月的日子的星期时,除了M要按13或14算,年份Y也要减一。
比如,2004年1月1日是星期四,用这个公式来算,有:
W=(2003-1)+[(2003-1)/4]-[(2003-1)/100]+[(2003-1)/400]+[13*(13+1)/5]+1
=2002+500-20+5+36+1
=2524;
2524/7=360……4.这和实际是一致的。
公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了,但它还不是最简练的,对于年份的处理还有改进的方法。
我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期,列表如下:
年份:
1(401,801,…,2001)101(501,901,…,2101)
--------------------------------------------------------------------
星期:
42
====================================================================
年份:
201(601,1001,…,2201)301(701,1101,…,2301)
05可以看出,每隔四个世纪,这个星期就重复一次。
假如我们把301(701,1101,…,2301)年3月1日的星期数看成是-2(按数论中对余数的定义,-2和5除以7的余数相同,所以可以做这样的变换),那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。
据此,我们可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式:
W=(4-Cmod4)*2-4.(6)式中,C是该世纪的世纪数减一,mod表示取模运算,即求余数。
比如,对于2001年3月1日,C=20,则:
W=(4-20mod4)*2-4
=8-4
=4. 把公式(6)代入公式(5),经过变换,可得:
(Y-1)+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]≡(4-Cmod4)*2-1
(mod7).(7)因此,公式(5)中的(Y-1)+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]这四项,在计算个世纪第一年的日期的星期时,可以用(4-Cmod4)*2-1来代替。
这个公式写出来就是:
W=(4-Cmod4)*2-1+[13*(M+1)/5]+d.(8)有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式,计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。
因为在一个世纪里,末尾为00的年份是最后一年,因此就用不着再考虑“一百年不闰,四百年又闰”的规则,只须考虑“四年一闰”的规则。
仿照由公式
(1)简化为公式
(2)的方法,我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意一天是星期几的公式:
W=(4-Cmod4)*2-1+(y-1)+[y/4]+[13*(M+1)/5]+d.(9)式中,y是年份的后两位数字。
如果再考虑到取模运算不是四则运算,我们还可以把(4-Cmod4)*2进一步改写成只含四则运算的表达式。
因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系:
4q+r=C,其中r即是Cmod4,因此,有:
r=C-4q
=C-4*[C/4].(10)则(4-Cmod4)*2=(4-C+4*[C/4])*2
=8-2C+8*[C/4]
≡[C/4]-C+1(mod7).(11)把式(11)代入(9),得到:
W=[C/4]-2C+y+[y/4]+[13*(M+1)/5]+d-1.(12)这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W,再除以7,得到的余数是
几就表示这一天是星期几,唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月,
C和y都按上一年的年份取值。
因此,人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的
公式。
这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安?
蔡勒(ChristianZeller,1822-
1899)在1886年推导出的,因此通称为蔡勒公式(Zeller’sFormula)。
为方便口算,
式中的[13*(M+1)/5]也往往写成[26*(M+1)/10]。
现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期,显然C=20,y=4,M=5,d=1,代入蔡勒
公式,有:
W=[20/4]-40+4+1+[13*(5+1)/5]+1-1
=-15.注意负数不能按习惯的余数的概念求余数,只能按数论中的余数的定义求余。
为了方便计算,我们可以给它加上一个7的整数倍,使它变为一个正数,比如加上70,得到55。
再除以7,余6,说明这一天是星期六。
这和实际是一致的,也和公式
(2)计算所得的结果一致。
最后需要说明的是,上面的公式都是基于公历(格里高利历)的置闰规则来考虑的。
对于儒略历,蔡勒也推出了相应的公式是:
W=5-C+y+[y/4]+[13*(M+1)/5]+d-1.(13) 这样,我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。
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