高中数学 第一章 算法初步 12 基本算法语句教案 新人教B版必修3Word文档格式.docx
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反思给出程序画框图类的题型,关键是理解程序的功能是什么,然后进行实际操作,在用赋值语句时,可对一个变量重复赋值,变量的值取最后一次的赋值.
【例2】已知函数y=
输入x的值计算y的值,画出程序框图,并写出程序.
本题是属于已知分段函数的解析式求函数值的问题.本题中分段函数的定义域被分成了三部分,从而在程序中需判定的条件有两个,在使用条件语句时要注意书写顺序及语句间的对应.
程序如下.
if x>0
y=(2*x^2)-1;
else
ifx=0
y=2*x+1;
else
y=-2*x^2+4]
end
print(%io
(2),y)
程序框图如下图所示:
反思根据本题可画出条件语句的整体书写格式(嵌套式)如下:
【例3】用for语句写出计算1×
3×
5×
7×
…×
2015的值的程序.
解决这一问题的算法如下:
S1 S=1;
S2 i=3;
S3 S=S×
i;
S4 i=i+2;
S5 如果i>2015,则执行S6,否则执行S3,S4,S5;
S6 输出S.
程序如下:
反思
(1)本题中的S=Si是循环体.
(2)由于是一个累乘问题,如果我们设定S的初始值为1,i的初始值为1,则第二句也可改为for i=1:
2:
2015,最后程序的运行结果是一样的.
(3)注意本程序中分号的作用,如果没有分号,则最后在屏幕上会出现每一步的运行结果;
而有分号,则只出现最后的运行结果.
【例4】用循环语句写出求满足1+
+
+…+
>10的最小自然数n的算法,并写出相应程序.
本题不等号的左边为1+
,是有规律的累加运算,故引入累加变量S,而要求S>10的最小自然数n,故可用“whileS<=10”来控制循环,又要引入计数变量i,通过“i=i+1”进行循环.
算法如下:
S1 S=0;
S2 i=1;
S3 S=S+
;
S4 如果S≤10,则令i=i+1,并返回S3,否则输出i.
S=0;
i=1;
S=S+1/i;
WhileS<=10
i=i+1;
S=S+1/i;
print(%io
(2),i);
反思由于本题中终值预先不清楚,因此才考虑用while循环,要注意程序与算法一致.
【例5】写出求使1+2+3+…+________<2014成立的所有正整数的一个程序.
错解:
S=1;
whileS<2014
S=S+i;
错因分析:
该算法只能输出符合条件的最大正整数加1后所得的值,故不正确.事实上,为了能输出所有符合条件的正整数,必须把“print(%io
(2),i)”移到循环体内.
正解:
解法一:
while S<2014
print(%io
(2),i);
解法二:
print(%io
(2),i-1);
2019-2020年高中数学第一章算法初步1.3算法案例教学案新人教A版必修3
预习课本P34~45,思考并完成以下问题
(1)如何求a,b,c的最大公约数?
(2)如何求两个数的最小公倍数?
1.辗转相除法
(1)辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.
(2)辗转相除法的算法步骤:
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,计算m除以n所得的余数r.
第三步,m=n,n=r.
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;
否则,返回第二步.
2.更相减损术
(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法.
(2)其基本过程是:
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;
若不是,执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
[点睛]
辗转相除法与更相减损术的区别与联系
两种方法
辗转相除法
更相减损术
计算法则
除法
减法
终止条件
余数为0
减数与差相等
最大公约数的选取
最后一步中的除数
最后一步中的减数
计算特点
步骤较少,运算复杂
步骤较多,运算简单
相同点
同为求两个正整数最大公约数的方法,都是递归过程
3.秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式:
f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这种求n次多项式f(x)的值的方法叫秦九韶算法.
1.用更相减损术求98与63的最大公约数时,需做减法的次数为( )
A.4 B.5
C.6D.7
解析:
选C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7),∴共进行6次减法.
2.用“辗转相除法”求得168与486的最大公约数是( )
A.3B.4
C.6D.16
选C 486=168×
2+150,168=150×
1+18,150=18×
8+6,18=3×
6,故168与486的最大公约数为6.
3.有关辗转相除法下列说法正确的是( )
A.它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
B.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r,直至r<
n为止
C.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r(0≤r<
n),反复进行,直到r=0为止
D.以上说法皆错
选C 辗转相除法和更相减损之术都是求最大公约数的方法,故A错,而C中0≤r<
n且除到r=0为止,C对.B错,故选C.
4.已知多项式f(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x-
,用秦九韶算法求f(-2)等于( )
A.-
B.
C.
D.-
选A ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x-
,∴f(-2)=-
.
求最大公约数
[典例] 求228与1995的最大公约数.
[解] 法一:
(辗转相除法)1995=8×
228+171,228=1×
171+57,171=3×
57,
所以228与1995的最大公约数为57.
法二:
(更相减损术)1995-228=1767,1767-228=1539,
1539-228=1311,1311-228=1083,
1083-228=855,855-228=627,
627-228=399,399-228=171,
228-171=57,171-57=114,
114-57=57.
辗转相除法计算次数少,步骤简捷,更相减损术计算次数多,步骤复杂,但是更相减损术每一步的计算都是减法,比做除法运算要简单一些,一般当数较小时可以考虑用更相减损术,当数较大时可以考虑用辗转相除法.
[活学活用]
用辗转相除法和更相减损术求1515与600的最大公约数,需要运算的次数分别为( )
A.4,15 B.5,14
C.5,13D.4,12
选B 辗转相除法:
1515=600×
2+315;
600=315×
1+285,315=285×
1+30,285=30×
9+15,30=15×
2,故最大公约数为15,且需计算5次.用更相减损术:
1515-600=915,915-600=315,600-315=285,315-285=30,285-30=255,255-30=225,225-30=195,195-30=165,165-30=135,135-30=105,105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15=15.故最大公约数为15,且需计算14次.
秦九韶算法的应用
[典例] 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当x=2时的值.
[解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:
f(x)=8x7+5x6+0·
x5+3·
x4+0·
x3+0·
x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1.
而x=2,所以有
v0=8,
v1=8×
2+5=21,
v2=21×
2+0=42,
v3=42×
2+3=87,
v4=87×
2+0=174,
v5=174×
2+0=348,
v6=348×
2+2=698,
v7=698×
2+1=1397.
所以当x=2时,多项式的值为1397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写.
(2)计算应由内向外依次计算.
(3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充.
用秦九韶算法写出当x=3时,f(x)=2x5-4x3+3x2-5x+1的值.
因为f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1,
v0=2,v1=2×
3+0=6,v2=6×
3-4=14,v3=14×
3+3=45,v4=45×
3-5=130,v5=130×
3+1=391,
所以f(3)=391.
进位制
[典例]
(1)把二进制数101101
(2)化为十进制数为________.
(2)将十进制数458转化为四进制数为________.
(3)比较85(9)和210(6)的大小.
[解析]
(1)101101
(2)=1×
25+0×
24+1×
23+1×
22+0×
21+1×
20=32+8+4+1=45,
所以二进制数101101
(2)转化为十进制的数为45.
(2)
所以458=13022(4).
答案:
(1)45
(2)13022(4)
(3)解:
因为85(9)=5+8×
9=77,
210(6)=0+1×
6+2×
62=78,
而78>
77,所以210(6)>
85(9).
十进制数转化为其他进制数的方法步骤
(1)将101111011
(2)转化为十进制的数;
(2)将235(7)转化为十进制的数;
(3)将137(10)转化为六进制的数;
(4)将53(8)转化为二进制的数.
(1)101111011
(2)=1×
28+0×
27+1×
26+1×
25+1×
23+0×
22+1×
20=379(10).
(2)235(7)=2×
72+3×
71+5×
70=124(10).
(3)
∴137(10)=345(6).
(4)53(8)=5×
81+3×
80=43(10).
∴53(8)=101011
(2).
[层级一 学业水平达标]
1.用辗转相除法求294和84的最大公约数时,需要做除法运算的次数是( )
A.1 B.2
C.3D.4
选B 294=84×
3+42,84=42×
2,故需要做2次除法运算.
2.三位四进制数中的最大数等于十进制数的( )
A.63B.83
C.189D.252
选A 三位四进制数中的最大数为333(4),则333(4)=3×
42+3×
41+3=63.
3.把389化为四进制数,则该数的末位是( )
A.1B.2
选A 由389=4×
97+1,97=4×
24+1,24=4×
6+0,6=4×
1+2,1=4×
0+1,389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1.
4.在对16和12求最大公约数时,整个操作如下:
16-12=4,12-4=8,8-4=4.由此可以看出12和16的最大公约数是( )
A.4B.12
C.16D.8
选A 根据更相减损术的方法判断.
[层级二 应试能力达标]
1.4830与3289的最大公约数为( )
A.23 B.35
C.11D.13
选A 4830=1×
3289+1541;
3289=2×
1541+207;
1541=7×
207+92;
207=2×
92+23;
92=4×
23;
∴23是4830与3289的最大公约数.
2.用辗转相除法求72与120的最大公约数时,需要做除法次数为( )
A.4B.3
C.5D.6
选B 120=72×
1+48,
72=48×
1+24,
48=24×
2.
3.用更相减损术求459与357的最大公约数,需要做减法的次数为( )
A.4B.5
选B 459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51=51,所以459与357的最大公约数为51,共做减法5次.
4.下列各数,化为十进制后,最大的为( )
A.101010
(2)B.111(5)
C.32(8)D.54(6)
选A 101010
(2)=1×
21+0×
20=42,111(5)=1×
52+1×
51+1×
50=31,32(8)=3×
81+2×
80=26,54(6)=5×
61+4×
60=34.
故转化为十进制后,最大的是101010
(2).
5.阅读程序框图,利用秦九韶算法计算多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,当x=x0时,框图中A处应填入________.
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,先用秦九韶算法改为一次多项式,
f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
f1=an;
k=1,f2=f1x0+an-1;
k=2,f3=f2x0+an-2;
…;
归纳得第k次fk+1=fkx0+an-k.故A处应填an-k.
an-k
6.三进制数2012(3)化为六进制数为abc(6),则a+b+c=________.
2012(3)=2×
33+0×
32+1×
31+2×
30=59.
三进制数2012(3)化为六进制数为135(6),∴a+b+c=9.
9
7.三位七进制数表示的最大的十进制数是________.
最大的三位七进制数表示的十进制数最大,最大的三位七进制数为666(7),则666(7)=6×
72+6×
71+6×
70=342.
342
8.10x1
(2)=y02(3),求数字x,y的值.
∵10x1
(2)=1×
20+x×
23=9+2x,
y02(3)=2×
30+y×
32=9y+2,∴9+2x=9y+2且x∈
,y∈
,所以x=1,y=1.
9.用秦九韶算法计算多项式f(x)=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64,当x=2时的值.
将f(x)改写为f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64,v0=1,v1=1×
2-12=-10,v2=-10×
2+60=40,v3=40×
2-160=-80,v4=-80×
2+240=80,v5=80×
2-192=-32,v6=-32×
2+64=0.所以f
(2)=0,即x=2时,原多项式的值为0.
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列关于赋值语句的说法错误的是( )
A.赋值语句先计算出赋值号右边的表达式的值
B.赋值语句是把左边变量的值赋给赋值号右边的表达式
C.赋值语句是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量
D.在算法语句中,赋值语句是最基本的语句
选B 赋值语句的一般格式是:
变量名=表达式,其作用是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量,故B错误.
2.阅读如图所示的程序框图,下列说法正确的是( )
A.该框图只含有顺序结构、条件结构
B.该框图只含有顺序结构、循环结构
C.该框图只含有条件结构、循环结构
D.该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构
选D 阅读程序框图,可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件结构,故选D.
3.求下列函数的函数值时,其程序框图中需要用到条件结构的是( )
A.f(x)=-2x2+x B.f(x)=-2x-5
C.f(x)=
D.f(x)=1-5x
选C 只有选项C中函数f(x)是分段函数,需分类讨论x的取值范围,要用条件结构来设计程序框图,A、B、D项均不需要用条件结构,故选C.
4.如果输入A=2015,B=2016,则下面一段程序的输出结果是( )
A.2016,2015B.2015,2015
C.2015,2016D.2016,2016
选D 输入A=2015,B=2016后,经过两个赋值语句,使得A,B中的值都为2016.故选D.
5.运行如图所示的程序,其结果为( )
A.192B.3840
C.384D.1920
选C 程序的功能为计算8×
6×
4×
2的值,易知为384,故选C.
6.若运行如图所示的程序,最后输出y的值是7,那么应该输入的t的值可以为( )
A.-3B.3
C.3或-3D.3或-3或5
选D 程序中的函数为一个分段函数y=
若输出7,则
或
解得t的值为3或-3或5,故选D.
7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为( )
A.7B.6
C.5D.4
选B 第一次运行:
S=0+(-1)1×
1=-1<
3;
第二次运行:
n=2,S=-1+(-1)2×
2=1<
第三次运行:
n=3,S=1+(-1)3×
3=-2<
第四次运行:
n=4,S=-2+(-1)4×
4=2<
第五次运行:
n=5,S=2+(-1)5×
5=-3<
第六次运行:
n=6,S=-3+(-1)6×
6=3,满足S≥3.故输出n的值为6,故选B.
8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是4,则程序框图中的处理框“①”处应填写的是( )
A.n=n-1B.n=n-2
C.n=n+1D.n=n+2
选C 因为起始n=1,输出的n=4,所以排除A、B.若“①”处填n=n+1.则S=
=-1,n=2,判断-1≠2,继续循环;
S=
=
,n=3,判断
≠2,继续循环;
=2,n=4,判断2=2,则输出n的值为4,故选C.
9.执行如图所示的程序框图,若输出S=
,则输入整数n=( )
A.8B.9
C.10D.8或9
选D 在条件成立的情况下,执行第一次循环后,S=
,i=4;
执行第二次循环后,S=
,i=6;
执行第三次循环后,S=
,i=8;
执行第四次循环后,S=
,i=10.若n=8或n=9,此时10≤n不成立,退出循环,输出S=
,因此n=8或n=9,故选D.
10.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )
A.6,6B.5,6
C.5,5D.6,5
选A 由f(x)=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1可以得知答案选A.
11.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6的值,当x=-4时,v4的值为( )
A.-57B.124
C.-845D.220
选D 依据秦九韶算法有v0=a6=3,v1=v0x+a5=3×
(-4)+5=-7,v2=v1x+a4=-7×
(-4)+6=34,v3=v2x+a3=34
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