概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第七章Word下载.docx
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习题3
如何理解假设检验所作出的“拒绝原假设H0”和“接受原假设H0”的判断?
拒绝H0是有说服力的,接受H0是没有充分说服力的.因为假设检验的方法是概率性质的反证法,作为反证法就是必然要“推出矛盾”,才能得出“拒绝H0”的结论,这是有说服力的,如果“推不出矛盾”,这时只能说“目前还找不到拒绝H0的充分理由”,因此“不拒绝H0”或“接受H0”,这并没有肯定H0一定成立.由于样本观察值是随机的,因此拒绝H0,不意味着H0是假的,接受H0也不意味着H0是真的,都存在着错误决策的可能.
当原假设H0为真,而作出了拒绝H0的判断,这类决策错误称为第一类错误,又叫弃真错误,显然犯这类错误的概率为前述的小概率α:
α=P(拒绝H0|H0为真);
而原假设H0不真,却作出接受H0的判断,称这类错误为第二类错误,又称取伪错误,它发生的概率β为β=P(接受H0|H0不真).
习题4
犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的概率β之间有何关系?
一般来说,当样本容量固定时,若减少犯一类错误的概率,则犯另一类错误的概率往往会增大.要它们同时减少,只有增加样本容量n.
在实际问题中,总是控制犯第一类错误的概率α而使犯第二类错误的概率尽可能小.α的大小视具体实际问题而定,通常取α=0.05,0.005等值.
习题5
在假设检验中,如何理解指定的显著水平α?
我们希望所作的检验犯两类错误的概率尽可能都小,但实际上这是不可能的.当样本容量n固定时,一般地,减少犯其中一个错误的概率就会增加犯另一个错误的概率.因此,通常的作法是只要求犯第一类错误的概率不大于指定的显著水平α,
因而根据小概率原理,最终结论为拒绝H0较为可靠,而最终判断力接受H0则不大可靠,其原因是不知道犯第二类错误的概率β究竟有多少,且α小,β就大,所以通常用“H0相容”,“不拒绝H0”等词语来代替“接受H0”,而“不拒绝H0”还包含有再进一步作抽样检验的意思.
习题6
在假设检验中,如何确定原假设H0和备择假设H1?
在实际中,通常把那些需要着重考虑的假设视为原假设H0,而与之对应的假设视为备择假设H1.
(1)如果问题是要决定新方案是否比原方案好,往往将原方案取假设,而将新方案取为备择假设;
(2)若提出一个假设,检验的目的仅仅是为了判断这个假设是否成立,这时直接取此假设为原假设H0即可.
习题7
假设检验的基本步骤有哪些?
根据反证法的思想和小概率原理,可将假设检验的步骤归纳如下:
(1)根据问题的要求,提出原理假设H0和备择假设H1.
(2)根据检验对象,构造检验统计量T(X1,X2,⋯,Xn),
使当H0为真时,T有确定的分布.
(3)由给定的显著水平α,
查统计量T所服从的分布表,定出临界值λ,
使
P(∣T∣>
λ)=α,
或
P(T>
λ1)=P(T<
λ2)=α/2,
从而求出H0的拒绝域:
∣T∣>
λ或T>
λ1,T<
λ2.
(4)由样本观察值计算统计量T的观察值t.
(5)作出判断,将t的值与临界值比较大小作出结论:
当t∈拒绝域量时,则拒绝H0,否则,不拒绝H0,即认为在显著水平α下,H0与实际情况差异不显著.
习题8
假设检验与区间估计有何异同?
假设检验与区间估计的提法虽不同,但解决问题的途径是相通的.参数θ的置信水平为1-α的置信区间对应于双边假设检验在显著性水平α下的接受域;
参数θ的置信水平为1-α的单侧置信区对应于单边假设检验在显著性水平α下的接受域.
在总体的分布已知的条件下,假设检验与区间估计是从不同的角度回答同一个问题.假设检验是判别原假设H0是否成立,而区间估计解决的是“多少”(或范围),
前者是定性的,后者是定量的.
习题9
某天开工时,需检验自动包装工作是否正常.根据以往的经验,其装包的质量在正常情况下服从正态分布N(100,1.52)(单位:
kg).
现抽测了9包,其质量为:
99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.0,100.5.
问这天包装机工作是否正常?
将这一问题化为假设检验问题.写出假设检验的步骤(α=0.05).
(1)提出假设检验问题H0:
μ=100,
μ≠100;
(2)选取检验统计量U:
U=X¯
-1001.59,
H0成立时,
U∼N(0,1);
(3)α=0.05,uα/2=1.96,
拒绝域W={∣u∣>
1.96};
(4)x¯
≈99.97,∣u∣=0.06.
因∣u∣<
uα/2=1.96,
故接受H0,认为包装机工作正常.
习题10
设总体X∼N(μ,1),X1,X2,⋯,Xn是取自X的样本.对于假设检验
μ=0,H1:
μ≠0,
取显著水平α,
拒绝域为W={∣u∣>
uα/2},
其中u=nX¯
求:
(1)当H0成立时,犯第一类错误的概率α0;
(2)当H0不成立时(若μ≠0),
犯第二类错误的概率β.
(1)X∼N(μ,1),X¯
∼N(μ,1/n),
故nX¯
=u∼N(0,1).
α0=P{∣u∣>
uα/2∣μ=0}=1-P{-uα/2≤u≤uα/2}
=1-[Φ(uα/2)-Φ(-uα/2)]=1-[(1-α2)-α2]=α,
即犯第一类错误的概率是显著水平α.
(2)当H0不成立,即μ≠0时,犯第二类错误的概率为
β=P{∣u∣≤uα/2∣E(X)=μ}
=P{-uα/2≤u≤uα/2∣E(X)=μ}
=P{-uα/2≤nX¯
≤uα/2∣E(X)=μ}
=P{-uα/2-nμ≤n(X¯
-μ)≤uα/2-nμ∣E(X)=μ}
=Φ(uα/2-nμ)-Φ(-uα/2-nμ).
注1当μ→+∞或μ→-∞时,β→0.
由此可见,当实际均值μ偏离原假设较大时,犯第二类错误的概率很小,检验效果较好.
注2当μ≠0但接近于0时,β≈1-α.
因α很小,故犯第二类错误的概率很大,检验效果较差.
7.2单正态总体的假设检验
已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082).
现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484.
如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(α=0.05)?
本问题是在α=0.05下检验假设
μ=4.55,
μ≠4.55.
由于σ2=0.1082已知,所以可选取统计量
-4.550.108/9,
在H0成立的条件下,U∼N(0,1),
且此检验问题的拒绝域为
∣U∣=∣X¯
-4.550.108/9∣>
uα/2,
这里
u=4.484-4.550.108/9≈-1.833,uα/2=1.96.
显然
∣u∣=1.833<
1.96=uα/2.
说明U没有落在拒绝域中,从而接受H0,
即认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55.
要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时,生产者从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命的平均值为950小时.已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布,试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格?
设总体均值为μ,μ未知,即需检验假设H0:
μ≥1000,H1:
1000.
检验假设H0:
这是单边假设检验问题.由于方差σ2=0.05,
故用u检验法.对于显著性水平α=0.05,
拒绝域为
W={X¯
-1000σ/n<
-uα.
查标准正态分布表,得u0.05=1.645.
又知n=25,x¯
=950,
故可计算出
x¯
-1000σ/n=950-1000100/25=-2.5.
因为-2.5<
-1.645,
故在α=0.05下拒绝H0,
认为这批元件不合格.
打包机装糖入包,每包标准重为100kg.
每天开工后,要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100kg).
某日开工后,测得9包糖重如下(单位:
kg):
99.3
98.7
100.5
101.2
98.3
99.7
99.5
102.1
100.5
打包机装糖的包得服从正态分布,问该天打包机工作是否正常(α=0.05)?
μ=100,H1:
μ≠100.
由于σ2未知,所以可选取统计量T=X¯
-100S/n,
在H0成立的条件下,T∼t(n-1),
∣T∣=∣X¯
-100S/n∣>
tα/2(n-1),
t=x¯
-100s/n≈99.978-1001.2122/9≈-0.0544,
t0.025(8)=2.306.
∣t∣=0.0544<
2.306=t0.025(8),
即t未落在拒绝域中,从而接受H0,
即可以认为该天打包工作正常.
机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从正态分布,规定每袋标准含量为500g,
标准差不得超过10g.
某天开工后,随机抽取9袋,测得净重如下(单位:
g):
497,
507,
510,
475,
515,
484,
488,
524,
491,
试在显著性水平α=0.05下检验假设:
μ=500,H1:
μ≠500.
=499,s≈16.031,n=9,
t=(x¯
-μ0)sn=499-50016.0319=-0.1871,
α=0.05,
因∣t∣<
t0.025(8),
故接受H0,
认为该天每袋平均质量可视为500g.
从清凉饮料自动售货机,随机抽样36杯,其平均含量为219(mL),
标准差为14.2mL,
在α=0.05的显著性水平下,试检验假设:
μ=μ0=222,H1:
μ0=222.
设总体X∼N(μ,σ2),X代表自动售货机售出的清凉饮料含量,检验假设
μ=μ0=222(mL),
222(mL).
由α=0.05,n=36,
查表得t0.05(36-1)=1.6896,
W={t=x¯
-μ0s/n<
-tα(n-1).
计算t值并判断:
t=219-22214.2/36≈-1.27>
-1.6896,
某种导线的电阻服从正态分布N(μ,0.0052).
今从新生产的一批导线中抽取9根,测其电阻,得s=0.008Ω,
对于α=0.05,
能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?
σ2=0.0052,
σ2≠0.0052.
选取统计量χ2=n-1σ2S2,
在H0成立的条件下,
χ2∼χ2(n-1),
χ2>
χα/22(n-1)或χ2<
χ1-α/22(n-1).
χ2=9-10.0052s2=80.0052×
0.0082=20.48,
χ0.9752(8)=2.18,χ0.0252(8)=17.5.
显然χ2落在拒绝域中,从而拒绝H0,
即不能认为这批导线电阻的标准差仍为0.005.
某厂生产的铜丝,要求其折断力的方差不超过16N2.
今从某日生产的铜丝中随机抽取容量为9的样本,测得其折断力如下(单位:
N):
289,
286,
285,
284,
298,
292
设总体服从正态分布,问该日生产的铜线的折断力的方差是否符合标准(α=0.05)?
检验问题为
σ2≤16,
σ2>
16,
n=9,
s2≈20.3611,
χ2=8×
s216≈10.181,
χ0.052(8)=15.507.
因χ2<
χ0.052(8)=15.507,
可认为铜丝的折断力的方差不超过16N2.
过去经验显示,高三学生完成标准考试的时间为一正态变量,其标准差为6min.
若随机样本为20位学生,其标准差为s=4.51,
试在显著性水平α=0.05下,检验假设:
σ≥6,H1:
σ<
6.
α=0.05,n-1=19,s=4.51,χ0.952(19)=10.117.
拒绝域为W={χ2<
10.117}.
计算χ2值
χ2=(20-1)×
4.51262≈10.74.
因为10.74>
10.117,
认为σ≥6.
测定某种溶液中的水分,它的10个测定值给出s=0.037%,
设测定值总体服从正态分布,σ2为总体方差,σ2未知,试在α=0.05水平下检验假设:
σ≥0.04%,H1:
0.04%.
在α=0.05下,拒绝域为
W={(n-1)S2σ02<
χ1-α2(9).
查χ2分布表得χ0.952(9)=3.325.
计算得
(n-1)s2σ02=(10-1)×
(0.037\per)2(0.04\per)2≈7.7006>
3.325,
未落入拒绝域,故接受H0.
7.3双正态总体的假设检验
制造厂家宣称,线A的平均张力比线B至少强120N,
为证实其说法,在同样情况下测试两种线各50条.线A的平均张力x¯
=867N,
标准差为σ1=62.8N;
而线B的平均张力为y¯
=778N,
标准差为σ2=56.1N.
在α=0.05的显著性水平下,试检验此制造厂家的说法.
μ1-μ2=120,H1:
μ1-μ2<
120.
α=0.05,u0.05=1.645.
拒绝域为
W={u=x¯
-y¯
-120σ12n1+σ22n2<
由x¯
=867,y¯
=778,n1=n2=50,
σ12=(62.8)2,σ22=(56.1)2,
得
u=867-778-120(62.8)250+(56.1)250≈-3111.91≈-2.60.
因为-2.60<
故拒绝H0,
认为μ1-μ2<
120,
即厂家的说法不对.
欲知某新血清是否能抑制白血球过多症,选择已患该病的老鼠9只,并将其中5只施予此种血清,另外4只则不然.从实验开始,其存活年限表示如下:
接受血清
2.1,5.3,1.4,4.6,0.9
未接受血清
1.9,0.5,2.8,3.1
假设两总体均服从方差相同的正态分布,试在显著性水平α=0.05下检验此种血清是否有效?
设μ1,μ2分别为老鼠接受和未接受血清的平均存活年限。
则检验假设H0:
μ1-μ2=0,H1:
μ1-μ2>
0.
属单边检验问题.对给定的α=0.05,
W={x1¯
-x2¯
-0sw1n1+1n2>
tα(n1+n2-2).
由x1¯
=2.86,x2¯
=2.075,s1≈1.971,s2≈1.167,
可计算出
sw=(5-1)×
(1.971)2+(4-1)×
(1.167)25+4-2≈1.674.
查表得t0.005(7)=1.895.
算得
t=2.86-2.075-01.67415+14≈0.699<
1.895.
因为0.699<
1.895,
故不拒绝H0,
认为此药无效.
据现在的推测,矮个子的人比高个子的人寿命要长一些.下面给出美国31个自然死亡的总统的寿命,将他们分为矮个子与高个子2类,列表如下:
矮个子总统
85
79
67
90
80
高个子总统
68
53
63
70
88
74
64
66
60
60
78
71
73
77
72
57
56
83
65
假设2个寿命总体均服从正态分布且方差相等,试问这些数据是否符合上述推陈出推测(α=0.05)?
设μ1,μ2分别为矮个子与高个子总统的平均寿命,则检验问题为
μ1≤μ2,H1:
μ1>
μ2,
n1=5,x¯
=80.2,s1≈8.585,
n2=26,y¯
≈69.15,s2≈9.315,
sw=4×
8.5852+9.315229≈9.218,
n1n2n1+n2≈2.048,
t=(80.2-69.15)9.218×
2.048≈2.455,
α=0.05,t0.05(29)=1.6991,
因t>
t0.05(29)=1.6991,
认为矮个子总统的寿命比高个子总统寿命长.
在20世纪70年代后期人们发现,酿造啤酒时,在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA).到了20世纪80年代初期,人们开发了一种新的麦芽干燥过程,下面给出了分别在新、老两种过程中形成的NDMA含量(以10亿份中的份数计):
老过程
645565564674
新过程
212210321013
设两样本分别来自正态总体,且两总体的方差相等,但参数均未知.两样本独立.分别以μ1,μ2记对应于老、新过程的总体的均值,试检验假设(取α=0.05):
μ1-μ2≤2,H1:
检验假设
设老过程中形成的NDMA含量为X∼N(μ1,σ12),
新过程中形成的NDMA含量为Y∼N(μ2,σ22).
已知σ12=σ22=σ2,
但未知,n1=n2=12.
采用t检验法,α=0.05,
=5.25,
y¯
=1.5,
s12≈0.9318,
s22=1,
sw≈0.9828,
W={x¯
-2sw1n1+1n2>
查t分布表得t0.05(22)=1.7171,
5.25-1.5-20.9828×
1/2+1/12≈4.3616>
1.7171,
认为新、老过程中形成的NDMA平均含量差大于2.
有两台车床生产同一种型号的滚珠.根据过去的经验,可以认为这两台车床生产的滚珠的直径都服从正态分布.现要比较两台车床所生产滚珠的直径的方差,分别抽出8个和9个样品,测得滚珠的直径如下(单位:
mm).
甲车床xi:
15.0
14.5
15.2
15.5
14.8
15.1
14.8
乙车床yi:
问乙车床产品的方差是否比甲车床的小(α=0.05)?
以X,Y分别表示甲,乙二车床产品直径.
X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22),
X,Y独立.检验假设H0:
σ12=σ22,H1:
σ22<
σ22.
用F检验法,在H0成立时
F=S12S22∼F(n1-1,n2-1).
由已知数据算得
≈15.01,y¯
≈14.99,s12≈0.0955,s22≈0.0261,
n1=8,n2=9,α=0.05.
拒绝域为Rα={F>
Fα(n1-1,n2-1)}.
查F分布表得F0.05(8-1,9-1)=3.50.
计算F值F=s12/s22=0.0955/0.0261≈3.66.
因为3.66>
3.50,
故应否定H0,
即认为乙车床产品的直径的方差比甲车床的小.
某灯泡厂采用一项新工艺的前后,分别抽取10个
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