第八章多元函数微分法及其应用自测题与答案docWord文档下载推荐.docx

第八章多元函数微分法及其应用自测题与答案docWord文档下载推荐.docx

《第八章多元函数微分法及其应用自测题与答案docWord文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章多元函数微分法及其应用自测题与答案docWord文档下载推荐.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

而y=asmx,z=cos兀，求一dx

16、求下列函数的一阶偏导数（其中/具冇一阶连续偏导数）

1）u=f（x2-y2,exy）

2）u=f（x,xy,xyz）

17、设乙=—于（3兀一y,cosy）,求.

xoxdy

齐dhdxdydy2

（\o2

18、设z=f（x+y2）f其中/就有二阶导数，求齐

月2r2o2

19、求下列西数的上二，=（其中于具有二阶连续偏导数）dx-dxdydy

1）

21、设z=z（x,y）由方程F（yz,x2）=0确定，求dz.

22、设兀=兀（”z），y=）心,汰z=z（x,z）都是山方程F（x,）\z）=0所确定的具有连续

23.

偏导数的函数,求

设2sin（x+2y-3z）=x+2y—3z，计•算一+

oy

dx

24、求卜•列方程纽所确定函数的导数或偏导数

1）设

=1

求务

+usinv

一ucosv

du

dv

ox

25、求|11|线）"

=2mx,z2=m-x在点（x0,y（）,z0）处的切线和法线方程•

26、求出曲线x=t.y=t29z=/3±

的点，使在该点的切线平行于平面兀+2y+z=4・

27、求椭球而，+2y2+乙2=1上平行于平而x-y+2z=0的切平而方程.

28、求函数z=x2+y2在点（1,2）处沿从点（1,2）到点（2,2+馆）的方向的方向导数.

29、求函数w=x2+>

?

2+r沿曲线X=t,y=t\Z=t3在点（1」」）处的切线正方向（对

应于f增大的方向）的方向导数.

30.设/（x,z）=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z求gs〃（0,0,0）及

31、问函数u=xy2z在点P（l,-1,2）处沿什么方向的方向导数最大？

并求此方向导数的最人

值.

32、求函数/（x,y）=^（x+y2+2y）M极值.

33＞求函数z-xy在适合条件x+y=l下的极大值•

34、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米d元，侧而造价为每平方米b元,现用A元造一个容积最大的水池，求它的尺寸.

35、要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面

积最小・

36^在平面xoy上求一点，使它到x=0,）；

=0及x+2y-16=0三直线的距离平方之和

为最小.

•I22

arcsinlx+y

sin/y）

设小

其定义域为

卩工。

，则A（o,i）=

xy=0

由111!

线＜

3宀2y

z=0

V绕y轴旋转一周得到的旋转血在点（0,眼血）处的指向

已知函数？

=f（兀+y,兀一y）=X?

_y?

则$£

+$=oxdy

函数/（兀,y,z）=-，则^（1,1,1）=

\y）

/（X,）；

）在点（x,y）处可微分是/Uy）在该点连续的的条件，/（兀,y）在

点（兀,y）处连续是/（x,y）在该点可微分的的条件

Z=f（兀,y）在点（x,y）的偏导数乞及各存在是/（x,y）在该点可微分的_条dxdy

件

由方程xyz+yjx+y2+z2=血所确定的函数z=z（兀,y）在点（1,0,-1）处的全

微分为

Y戸2（1、

设u=e'

xsin-,则幺上在点2,-处的值为

ydxdy\兀）

外侧的单位法向量为

222

曲血兀3+〉,3+乙亍=4上任一点的切平面在坐标轴上的截距平方和为

设u=ln（x2+y2+八）在点M（1,2,-2）处的梯度gradu\M=

设/（x,y,z）=x+丁2+兀z‘则/（x,y,z）在（1,0,1）沿方向/=2i-2j+k的方向

2、

求函数/（x,y）二~~的定义域，并求lim/（兀,y）.

叫1-兀-y丿g）T（*o

证明:

lim

（x,y）->

（0.0）

J兀2+）卫

=0.

4、证明下列极限不存在

（x,y>

->

（0,0）

2）（.So.o）TT7

5、求下列函数的偏导数

1）=（1+xy\

2）z=e~k,r,cosnx

6、设f（x9y）=<

x2+y2

*+y2HO

x2+y2=0

7^设z=arctan—,而x=u+v9

8、

设z=xy+xF（w）,而u=—f

9、

y=u-v,验证:

dz&

1=

dudv

F（«

）为可导函数，证明:

设z=y2），其屮/（"

）为可导函数，验证:

u一v

92

LT+V

舟+y亘

8xdy

1dz1dzz

1=—

xdxydyy2

10、设g为连续可微两数，u=f（x.xy）9

*=gG+xy）,求学.孚.

OXOX

1K设Z=/（2x-y）+g（x，xy）,其中函数/（/）二阶可导，g（u°

）具冇连续二阶偏导数,

邑

dxdy

12、设u=f（xyy）的所冇二阶偏导数连续，而兀=三色，歹=迈尹，证明:

Qu]丫（6〃丫6勺d2u_d2u82u

dy\I&

丿l引丿乂dx2dy2ds2dt2

13>

设x=eucosv,y=eusinv,

14、在方程噢_噢=0中，函数u具有二阶连续偏导数，令f=X_}\求“以歹，77ox^dy「17=x+y

为自变虽的新方程.

15、设ez-xyz=O,求空

dx2

16、设①@,u）具有连续偏导数，证切山方程①（cx-az,cy-bz）=O所确定的函数z=f（x,y）,满足ci――H——=c.

17、

u=f（Lix,v+y）

v=g\it-x,v2y

dxdy

其中/,g具有一阶连续偏导数，求学和空.

oxdx

&

2+*2+2_牡=0

18'

求"

叫2-爲5—在点I）处的切线及法平而方程

19、试证Illi面頁+"

+=石（a>

0）上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为

-常数.

20、求函数u=x+y+z在球而F+y2+z2=1上点（x（）,y（），Z（））处沿球而在该点的外法线

方向的方向导数.

21、设I=（cos0,sin0）,求函数/（x,y）=x2-xy+y2在点（1,1）处沿方向Z的方向导数,

并分别确定角e,使这个导数有：

a）最大值

b）最小值

c）等于0

22、证明：

|||］面F（x-宓,），-加）=0上任意点处的切平面与直线兰z平行（d,b为ah

常数）.

23、求平面存+和+斧=1的三截距之积在条件令+$+务“之下的最小值.

24、经过（2,1,丄］的所有的平面中，哪一个平而与坐标而围成的立体体积最小？

最小体积是I3丿

多少?

25、抛物面Z=F+y2被平面兀+y+z=1截成一椭阴|,求原点到这个椭圆的最长与授短距离.

C组

1、讨论函数f（x,y）=<

°

+『^Smx2+y2（x*）H（°

，°

）在（o,o）点处的连续性，偏

0（3）=（0,0）

导数存在性，可微性.

2、设z=ftan^V,求乞及翌

Vx）dxdy

3、设z=z（x,y）由方程z?

=x+y+f（y,z）所确定,求各,各及

dxdydxdy

4、

设？

=z（兀,y）由方程z=/+

严所确定,磴,

dz

Q）；

5、设y=附是由方程F（x,y,r）=0所确定的厂y的函数，其中/,F都具有

dfdFdfdF

1•,•

一阶连续偏导数，试证明：

红叮・dx0oF*oF

dtdydt

6、设u=/（x,y,z）,（p（x2,ey,z）=0,y=sinx,其'

Pf,炉都具育一•阶连续偏导数,

且翌工0,求些

dxdx

7、设变换lU=X~2ynjffi方程6密+邑—空=0转化为空=0,求常数d.

Iv=x4-aydx2dxcydy~dudv

8、求椭球面x2+2>

-+3?

=21±

某点M处的切平面兀的方程，使龙过已知直线厶:

x-6

2_

y-32z-1_1_-2

9、求函数z=x-xy-^-y2在区域|x|+|y|<

1的最大值,最小值.

异

10、求旋转椭球面x2+y2+—=1在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐4

标轴上的截距平方和最小.

第八章

多元函数微分法及其应用

习题答案

1、

填空题

l）x4-2x\y2+2y42）

2y+（x-y）23）-y

4）dz

1+2x\n（ax+y）2+

处+y）

dx+

ax+y

5）

兀-1_，-1_z_l7）2（兀_1）_8©

+2）+6（"

1）=0

6）

11-1下列函数的定义域并图示

1）{（x,y）x+y>

0,x-y>

0}

3、

1）12）冷

3）2

，外"

-2兀=0

5、

ds1v

ds1u

2）

3）

duvu2

dvuv2

二=y[cos（xy）-sin（2如]'

仝=x[cos（xy）-sin（2x^）dxdy

dz22xdz.2x2x——=—CSC一、一=——CSC一

8xyy'

dyy2

4）色暑占，包訂兀気兀，迦—当呉贬dxz8yzdzz

6、扌7、A（x,1）=1

）_2xyd2z_2xyd2z_y2-^2£

+）,2）2內2（兀2+y2）2QxQy^2+y2j2

2）眷yg,驚心）严盖

5y2

9、1）dz=r

（宀丹

（ydx-xdy）2）dz=yzxyz~}dx+zxKInxcly+yxyzInxdz

10、

Az=0.02,dy=0.03

lk2.95

12>

一5cm

13、

3x2

|=-^ln（3x-2y）-（3x_2^

14、

~dt

-3（l-4/2）

du_

eaxsinx

16、

学=2xf\+yexyf29^~=一2）并+xexyf2oxoy

du2“duzdu

忑m皿爲=减产叽冠"

血

3灯]-/（3x-y,cosy）dz_f；

+siny'

矿x

x2

18、

5ZAz»

M5ZA2_rnr_-=4Xyf,—=4yf+2f

19、

1“d2z_xf...1]1

+—J22^^rT-=2J\2+~J22J2

y■dxdy

2）缶"

；

严+（九*沪+兀

T=Juue

兀“+忧+无+几沧+人

.v+v

3）=严扎-sinxf；

+cos2xfu+2ex+ycosxfl3+护）厶；

=*5/-cosxsinyfl2+ev+vcos^；

-eA+vsinyf^2+e2（v+v）/33oxdy

=ex+yf3-cosyf'

2+sin2yf22-2严sinyf13+e2（A+v）/33

dzzdzz2

j~~‘1—

dxx+8yy（x+z）

21、dz=-dx-—dyyf\y

dxdydz

1•I•■

dydzdx

23、

dz.dz——+——=dxdy

dx_y-zdzx-y

dy_z-xdzx-y

du_sinvdu_-cosv

dxeu（sinv一cosv）+ldyeli（sinv一cosv）+1

cv_.cosu-/.cv_sinv+e"

dyiteu（sinv-cosv）+l?

dxw[^M（sinv-cosv）+l

切线方程:

法线方程：

（x-x0）+—

儿

f111

吩2）及勺巧0方

27、切平面方程:

x-y+2z=±

29、护

grae/f（0,0,0）=3/-2j-6k

TT

gsQf（l，l,l）=6i+3j

gradu=2i-4j+k是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为叶％|=V21

/1

IP

极小值：

f--1=—

（2丿2

33、极大值：

=-

35、当长，宽都是痢，而高+帧为吋，表面积最小

（55丿

B解答及提示

1）y^x2+y2<

I,y>

4x>

o|2）/v（0,l）=l3）2x-2y

4）dx-dy5）充分，必要6）必要7）dz=dx-4^dy

8）

9）两5”®

）+心+『）+©

心+y）

10）-^（0,V2,V3）11）64

12）彳（1,2,一2）

3）i

2、（（x,^O<

x2+y2<

l,y2<

4x（,

ln-

4

l）lim

xtO

W+（_y）2

=1Jim

y-2x

x2y2+（x-y）2

=0

2）醍E

x=ky2」

ln（l+xy）

l+xy

—=-kn2e-kn2tdt

cosnX^=-ne^

sinnx

比’于Li2X+b）（/+〉，2）2、

dxvx2v

6、提示：

（0,0）处的偏导数应按定义求

2xy3

77

宀宀■（“□（•

X2+b=0

¥

•J（齐+曲1+册

oxox

11、

宀y?

/+）「o

A+y2

熹一2.厂+gM+g2+X〉'

g22oxoy

13、提示:

ll=U（X.#

'

“再解

v=

x=elicosv,解出

y=eusinv

或者山

x=el（cosvy=elisinv

肓接分别求对于八对于y的偏导数，通过解关于丁,

ex

或鈴訣方程组解出譽

Sy

14、提示：

将〃看作中间变量，通过复合函数偏导数运算求得新方程为卫2=0ocpr]

d2z_2y2zez-2xy3z-y2z2ez

、旷厂罰

加二_劝（严2-1）：

心1加二<

|（畅+叨：

、Sx（劝‘一1）

（2）*2-1）一/2&

1'

労（妙I一1Q刃弘一1）一九幻

TT—>

111

区提示：

仏广加5街切线方程：

需=〒=亍

20.

法平血方无呈：

16x+9y—z—24=0

dl

=心+儿+5处沿球面在该点的外法线方向的方向导数（•Wo,5）

21、—=cos0+sin09a）0=—b）0=—c）^=—sR—

dl4444

22、捉示：

令G（x9y^）=F（x-ay9y-bz）知曲线在任意点处的法向量即为Rg；

g；

｝

2j22222

23、提示：

考虑f（u9y,w）=^-在条件N+=+J=lZ下的最小值，由拉格朗日

uvwa/rc

乘数法得最小值为3岳be

in°

24、提示：

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,问题即求：

V2=——在条件36B-C-

2A+B+丄C+D=0下的最小值，由拉格朗L1乘数法得平面方程为：

3

x+2y+6z-6=0,最小体积是3

令/i,w）=x2+y2+z2+2（x2+y2）+«

（%+y+z-1）

求得最长距离为：

J9+5®

最短距离为：

J9-5V3

C解答及提示

lim兀2+）“=0由夹逼准则知:

XT（）

y->

XT（）'

yT（）

+>

2）sin

1

jC+y

=0,又因于（0,0）=0,所以f（x,y）在（0,0）处连续

解：

1）因为05（F+y2）sin—<

+乂

2）根据定义/（x,y）在（0,0）处的偏导数为:

和0,0）=hm/（0+丛，0）-/（0,0）=lira（Ay），SinW=0心toAx心

同理可得/；

（0,0）=0

Az=/（0+Ax,0+Ay）—f（0,0）=（Ax）2+（人歹尸・sin

=/x（0,0）A¥

+f、（0,0）Ay+［（zkr）2+（Ay）2

Ifijlim

AvtO

32+（耐血詁齐

如+（时

所以/（九y）在（0,0）处可微分

K解：

两边取对数有:

lnz=—In

tan2

<

兀丿

两边对'

求偏导有：

舞1

sec

tan—

/、

X丿

sec22

X

同理：

§

\-•歹卩tan—

:

rk%丿

Intan^+—

、>

t

sec

2、解：

两边分别航求偏导有：

2療=1+證,故

6x2z-f2

同理由：

2詈*+皤得:

計心

对方程&

士两边曲y的偏导有:

•*>

2

oZ

2务f；

\_f；

2旻

ISydy）

（2込-M

畤当代入上式冇:

〔2归_厂_厂归〕

〔2—2'

I屁2“兀丿碉（2z-/2）2

4、解：

方程可表示为：

a2z

-2-2壬+2才|-/2Ai+fi2+/22/1

（2^-a/

（Q为任意常数）对方程两边求X的偏导数有:

籍击需所以.

同理得—=

_2©

小

2-vZ+e'

dF

5、山题意可知：

-=-

—,

dtdy

■—

dydF

z=/+

dz4兀

‘由y=两边对兀求导有:

dy_dfdfdtdtdydxdxdtdydx

dfdtdydxdtdxdxj_

易见^=cosx

将上面偏导代入即得结果

6、解：

空=空+绥空+龙虫dxdxdydxdzdx

曲0（F,"

z）=O,对方程两边求兀的导数有:

0,

03

2x（p\+eycosx^0+（p、—

■dx

ZHdz_2x（p\+e-cos%%彳寸—_

7.解法一:

dz8zdz

—=1,

dxdudv

dz8z

FCl

duSv

52z52znS2z讥化Ad\Ad2z心

—=—+2+—,—=4—-4a+a-—-dx~du~dudvdv~dx~du~cudvdv~

空=-2与+（a_2）邑+£

dxdydu2dudvdv2

将上述结果代入原方程，经整理后可得：

依题意"

应满足：

舊蔦:

J"

x=

a+2

-W+V

yi—

从恃

adx

a+2dv

ady

—

a+2du

y—

a+2

解法二：

将Z视为以兀，y为中间变量的u,V的二元复合函数，由题意可得:

av+lv

dy_1

dva+2

dudv

a（d2