小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解Word文档下载推荐.docx
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•••OC:
OD6:
2:
1•
解法二:
作AH
1S
SBCD,
】CG,
—SDOC,
1CO,
236,
BD于H,CGBD于G•
--SAOD
•AO
•OC
•OC:
【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,ACEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、
4、4和6。
⑴求AOCF的面积;
⑵求AGCE的面积。
【解析】⑴根据题意可知,△BCD的面积为244616,那么△BCO和CDO的面积都是1628,所以△OCF的面积为844;
⑵由于△BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以AOCE的面积为862,
根据蝴蝶定理,EG:
FGSCOE:
SCOF2:
41:
2,所以Sgce:
SgcfEG:
FG1:
2,
112
那E么SGCESCEF—2_•
1233
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的
2/17
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
【解析】
【例5】
B
在右ABE,右CDE中有AEBCED,所以右ABE,右CDE的面积比为(AEEB):
(CEDE)。
同
理有^ADE,jBCE的面积比为(AEDE):
(BEEC)。
所以有%abexS^cde=%dex^bce,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:
上、
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即S&
ABE6=S&
ADE7,所以有右ABE与薔ADE的面积
21公顷,S'
.ade=-3918公顷。
67
比为7:
6,5矗=二39
显然,最大的三角形的面积为
(2008年清华附中入学测试题为。
连接AD、CD、BC。
21公顷。
)如图相邻两个格点间的距离是
1,则图中阴影三角形的面积
则可根据格点面积公式,可以得到
ABC的面积为:
ACD的面积为:
313.5,
2
4
ABD的面积为:
2—1
所以
BO:
ODSABC:
SACD
3.5
4:
7,所以Sabo
SABD
11
12
【巩固】
1,求三角形ABC的面积。
因为BD:
CE2:
5,且BD//CE,所以DA:
AC2:
5,
SABC
SDBC
【例6】
(2007年人大附中考题)如图,边长为1的正方形ABCD中,BE2EC,CF的面积.
FD,求三角形AEG
连接
EF•
因为
BE
2EC,CFFD
所以sdef(23
SAED
1S
SABCD
,根据蝴蝶定理,AG:
GF
^)Sabcd
11
:
-
212
ABCD・
SAGD
6Sgdf
6Sadf
7
SAGE
1
4SABCD
13-
SABCDSABCD
2LT14-
As-
14-
7SaBCD
6:
1,
即三角形AEG的面积是-
【例7】
如图,长方形ABCD中,方形ABCD的面积.
BE:
EC2:
3,DF:
FC1:
三角形DFG的面积为2平方厘米,求长
连接AE,FE•
因为BE:
EC2:
3,DF:
FC
1:
所以Sdef
(f
)S长方形ABCD
S长方形ABCD•
10
、1
因为S严尹方形ABCD,AG:
GF
210
-5:
S:
agd5SGDF
10平方厘米,所以Safd
12平
方厘米•因为SAFD訐方形ABCD,所以长方形
ABCD的面积是72平方厘米.
【例8】如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,形BDG的面积.
E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角
【解析】设BD与CE的交点为0,连接BE、DF.
由蝴蝶定理可知E0:
OCSBED:
SBCD,而S,BED;
S|aBCD,SBCDSABCD,
所以EO:
OCSbed:
Sbcd1:
2,故EOEC.
由于F为CE中点,所以EF—EC,故EO:
EF2:
3,FO:
E01:
2.
由蝴蝶定理可知S.bfd:
SbedF0:
E01:
2,所以Sbfd-Sbed-&
abcd,
28
111、
那么S;
bgdS、bfdSabcd10106.25(平方厘米).
2'
1616
【例9】如图,在
ABC中,已知M、
N分别在边AC、BC上,
BM与AN相交于0,若AOM、
ABO和
BON的面积分别是3、2、1,贝UMNC的面积是
C
【解析】这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
SS
根据蝴蝶定理得Smong沖
SAOB
【例10】
设SMON
SANM
SMNC
x,根据共边定理我们可以得
SABM
SMBC
-,解得
x
x22.5.
(2009年迎春杯初赛六年级
)正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米,B1B2B3B4B5B6分别
是正六边形各边的中点;
那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.
A3
A
【解析】如图,设B6A2与BA的交点为O,则图中空白部分由6个与A2OA3一样大小的三角形组成,只要求
出了A2OA3的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积.
连接氏A、B6B1、B6A3.
设AB1B6的面积为”1“,则B1A2B6面积为”1“,的2倍,为”4“,梯形A1A2A3A6的面积为
面积为2.
AA2B6面积为”2“,那么A6A3B6面积为a1A2Bb
A2B6A3的面积为”6“,B1A2A的
4212,
根据蝴蝶定理,
B0A30SB1A2B6:
SA3A2B6
6,
故SA2OA3
,°
BA>
Aa
121
所以SgjS弟形AA2AA号:
12:
1:
7,即AOA3的面积为梯形AAAA面积的1,故为六边形
113
AAAbAiAA面积的丄,那么空白部分的面积为正六边形面积的丄6-,所以阴影部分面积为
14147
200911148(平方厘米)•
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
1S1:
S3a2:
b2
22
2Si:
S3:
S?
:
S4a:
b:
ab:
ab;
3S的对应份数为ab.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例11】如图,S22,S34,求梯形的面积.
【解析】设0为a2份,S3为b2份,根据梯形蝴蝶定理,S34b2,所以b2;
又因为S22ab,所以
a1;
那么Sa21,S4ab2,所以梯形面积SSiS2S3S412429,或者根
据梯形蝴蝶定理,Sab129.
(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已
知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是
平方厘米.
【解析】根据梯形蝴蝶定理,S,aob:
.boca2:
ab25:
35,可得a:
b5:
7,再根据梯形蝴蝶定理,hl■
Saob:
Sdoca2:
b252:
7225:
49,所以Sdoc49(平方厘米).那么梯形ABCD的面积为
H.J.H
25353549144(平方厘米).
【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角
形BOC面积的-,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
【解析】根据梯形蝴蝶定理,S・aob:
Sbocab:
b22:
3,可以求出a:
b2:
du
2222
再根据梯形蝴蝶定理,Sqaod:
Sboca:
b2:
34:
9.
通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千
辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【例13】
(第十届华杯赛)如下图,四边形
ABCD中,对角线
AC和BD交于0点,已知AO1,并且
三角形ABD的面积
三角形CBD的面积
3,那么0C的长是多少?
5
【解析】根据蝴蝶定理,三角形cbd的面积
ao,所以A
COCO
35
,又AO1,所以CO-.
53
【例14】
梯形的下底是上底的1.5倍,
三角形OBC的面积是
9cm2,问三角形AOD的面积是多少?
根据梯形蝴蝶定理,a:
b1:
1.5所以Saod4cm2.
如图,梯形ABCD中,
AOB、
根据梯形蝴蝶定理,Saob:
&
ACOD
Staod:
Saobab:
ab:
a3:
2,
dU7
2.3,SAOD:
SBOC
COD的面积分别为
a:
b4:
9,
S’:
AODScOB
a2:
b222:
324:
1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.
所以a:
b2:
3-1.8,
1.2
s梯形abcd1.21.81.82.77.5.
已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH
【例15】如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,
的面积是23,求四边形EGFH的面积.
【解析】如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面
积等于三角形ADG的面积;
三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积
是112334.
(人大附中入学测试题)如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2
的面积为36,则三角形1的面积为
1和三角
形3,所以1的面积就是36
16,3的面积就是36
20.
【例16】
M是AD边上的中点•求图中阴影部分的面积.
【解析】做辅助线如下:
利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形
【解析】因为M是AD边上的中点,所以AM:
BC1:
2,根据梯形蝴蝶定理可以知道
amg:
abg:
mcg:
S^bcg1:
C12):
C12):
21:
2:
4,设agm1份,则mcd123份,
所以正方形的面积为1224312份,S阴影224份,所以S阴影:
S正方形1:
3,所以S阴影1
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
AD1:
2,根据蝴蝶定理得S梯形(12)29(平方厘米),S^ECD3(平方厘米),那么SABCD12(平方厘米).
【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.
【例18】
因为E,F是DC边上的三等分点,所以EF:
AB
S^AOE
OFB
3份,aob
9份,S^ADE
BCF
3,设S^oef1份,根据梯形蝴蝶定理可以知道
(13)份,因此正方形的面积为44(13)24
份,S阴影
6,所以S阴影:
S正方形
241:
4,所以S阴影3平方厘米.
ABCD中,AB6厘米,AD2厘米,AE
如图,在长方形
EFFB,求阴影部分的面积.
方法一:
如图,连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形
AED
的面积为
26322平方厘米.
由于EF:
DC1:
3,根据梯形蝴蝶定理3:
1,所以
打EF,而Sdef
SADE2
平方厘米,所以
方法二:
如图,连接
份,
S阴影
S梯形EFCD
437份,而
>
-21.5平方厘米,阴影部分的面积为
DE,FC,由于
16份,S^ADE
S长方形ABCD62
21.5
3.5平方厘米.
EF:
S^BCF13
12平方厘米,
设S^OEF
4份,因此
所以S阴影
1份,根据梯形蝴蝶定理,
16424份,
S长方形ABCD4
3.5平方厘米
S^OED3
【例19】(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,
面积为6平方厘米•则阴影部分的面积是平方厘米.
BC:
CE3:
2,三角形ODE的
【解析】连接AC.
由于ABCD是平行四边形,BC:
2,所以CE:
AD2:
22根据梯形蝴蝶定理,SfCoE:
S,;
aoc:
Sdoe:
Saod2:
23:
34:
6:
6:
9,AOC6(平方厘
J.J.J.J.d
(单位:
平方厘米),阴影部
米),Saod9(平方厘米),又SabcSacd6915(平方厘米),阴影部分面积为61521(平方厘米).
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示分的面积是平方厘米.
【分析】连接AE.
由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么SocdSoae.根据蝴蝶定理,SOCDSOAESOCESOAD4936,故SOCD36,
所以SOCD6(平方厘米)•
(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单
位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AE•
由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么SocdSoae•
根据蝴蝶定理,SOCDSOAESOCESOAD2816,故SOCD16,所以SOCD4(平方厘米)•
另解:
在平行四边形ABED中,SadeSabed16812(平方厘米),
2口2
所以SAOESADESAOD1284(平方厘米),
根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为8244(平方厘米)•
【例20】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,DEF的面积是5平方厘米,CED的面积是
10平方厘米•问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
【分析】连接BF,根据梯形模型,可知三角形
BEF的面积和三角形DEC的面积相等,即其面积也是10平
方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形
BCE的面积为10105
20(平方厘米),所以长方形的面积为
2010
60(平方厘米)•四边形ABEF的面积为605
102025(平方厘米).
【巩固】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,DEF的面积是4平方厘米,CED的面积是6平
方厘米•问:
(法1)连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积
相等,即其面积也是
6平方厘米,再根据蝴蝶定理,
三角形
BCE的面积为664
9(平方厘米),
所以长方形的面积为
9
6
230(平方厘米)•
四边形
ABEF的面积为3046
911(平方厘
米)•
(法2)由题意可知,
EF
2,根据相似三角形性质,
EDEF2,所以三角形
BCE的面积为:
EC
EBEC3
6-9(平方厘米)•则三角形CBD面积为15平方厘米,长方形面积为15230(平方厘米)•四
边形ABEF的面积为3046911(平方厘米)・
(98迎春杯初赛)如图,ABCD长方形中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB
的长是9.那么四边形OECD的面积是多少?
【解析】因为连接ED知道△ABO和厶EDO的面积相等即为54,又因为OD:
OB=16:
9,所以△AOD的面积
为5491696,根据四边形的对角线性质知道:
△BEO的面积为:
54549630.375,所以四
边形OECD的面积为:
549630.375119.625(平方厘米).
【例21】(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的
面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.
【解析】连接DE、CF•四边形EDCF为梯形,所以SEODSFOC,又根据蝴蝶定理,
SEODSFOCSEOFSCOD,所以SEODSFOCSEOFSCOD2816,所以SEOD4(平方厘米),
Secd4812(平方厘米)•那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米,四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)•
【例22】
(98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的
长是9.那么四边形OECD的面积是•
扌9AO
54,所以AO12,
【解析】解法一:
连接DE,依题意Saob-BOAO
小11
则Saod—DOA0—161296.
【例23】
ia.
EO-
303,
得SBOE
B0
96-
8
所以Soecd
S.'
BDC
S'
.BOE
SBOE
54
■
打
u
Lj
由于SAOD:
SAOB
OD:
i
OB16
蝴蝶定理,
BOE
SAOD
S.:
AOB
SDOE,
S.BDC
Sabd
LI
13
又因为S'
AOBS;
DOE以OE6-,
如图,ABC是等腰直角三角形,
96
30—
119—.
所以S
5,'
.AOD
16
96,而SDOESAOB
J
dL
30-,
30-
119-.
54,根据
DEFG是正方形,线段
AB与CD相交于K点•已知正方形
BKD的面积是多少?
DEFG的面积48,AK:
KB1:
3,则
【解析】由于DEFG是正方形,所以DA与BC平行,那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中,BDK和
ACK的面积是相等的.而AK:
3,所以
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