中考数学几何压轴题辅助线专题复习完整版.docx
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中考数学几何压轴题辅助线专题复习完整版
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中考数学几何压轴题辅助线专题复习
中考压轴题专题几何(辅助线)
精选1.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,DE垂直平分AC,垂足为O,AD∥BC,且AB=3,BC=4,则AD的长为 .
精选2.如图,△ABC中,∠C=60°,∠CAB与∠CBA的平分线AE,BF相交于点D,
求证:
DE=DF.
精选3.已知:
如图,⊙O的直径AB=8cm,P是AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC.
(1)若∠ACP=120°,求阴影部分的面积;
(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M,∠CMP的大小是否发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,求出∠CMP的度数。
精选4、如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点O是斜边AB上一动点,以OA为半径作⊙O与AC边交于点P,
(1)当OA=时,求点O到BC的距离;
(2)如图1,当OA=时,求证:
直线BC与⊙O相切;此时线段AP的长是多少?
(3)若BC边与⊙O有公共点,直接写出OA的取值范围;
(4)若CO平分∠ACB,则线段AP的长是多少?
.
精选5.如图,已知△ABC为等边三角形,∠BDC=120°,AD平分∠BDC,
求证:
BD+DC=AD.
精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(第6题图)
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.
①求证:
△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1:
4,求边AB的长;
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?
若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
精选7、如图,四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,∠EDF=60°,当CE=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.
(1)继续旋转三角形纸片,当CE≠AF时,如图2小芳的结论是否成立?
若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
(2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图3请直接写出DE与DF的数量关系;
(3)连EF,若△DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
精选8、等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点A、点B分别是x轴、y轴两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E;
(1)如图
(1),若A(0,1),B(2,0),求C点的坐标;
(2)如图
(2),当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:
∠ADB=∠CDE
(3)如图(3),在等腰Rt△ABC不断运动的过程中,若满足BD始终是∠ABC的平分线,试探究:
线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系,并说明理由.
精选9.如图,正方形的四个顶点分别在四条平行线、、、上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、.
(1)求证:
;
(2)设正方形的面积为,求证:
;
(3)若,当变化时,说明正方形的面积
随的变化情况.
参考答案
精选1
解:
∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC===5,
∵DE垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=AC=,∠AOD=∠B=90°,
∵AD∥BC,
∴∠A=∠C,
∴△AOD∽△CBA,
∴=,即=,解得AD=.
故答案为:
.
精选2
证明:
在AB上截取AG,使AG=AF,
易证△ADF≌△ADG(SAS).
∴DF=DG.∵∠C=60°,
AD,BD是角平分线,易证∠ADB=120°.
∴∠ADF=∠ADG=∠BDG=∠BDE=60°.
易证△BDE≌△BDG(ASA).
∴DE=DG=DF.
精选3、
解:
(1)连接OC.
∵PC为⊙O的切线,
∴PC⊥OC.
∴∠PCO=90度.
∵∠ACP=120°
∴∠ACO=30°
∵OC=OA,
∴∠A=∠ACO=30度.
∴∠BOC=60°
∵OC=4
∴
∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC=;
(2)∠CMP的大小不变,∠CMP=45°
由
(1)知∠BOC+∠OPC=90°
∵PM平分∠APC
∴∠APM=∠APC
∵∠A=∠BOC
∴∠PMC=∠A+∠APM=(∠BOC+∠OPC)=45°.
精选4、
解:
(1)在Rt△ABE中,.(1分)
过点O作OD⊥BC于点D,则OD∥AC,
∴△ODB∽△ACB,∴,∴,∴,
∴点O到BC的距离为.(3分)
(2)证明:
过点O作OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F,
∵△OEB∽△ACB,∴∴,∴.
∴直线BC与⊙O相切.(5分)
此时,四边形OECF为矩形,
∴AF=AC﹣FC=3﹣=,
∵OF⊥AC,∴AP=2AF=.(7分)
(3);(9分)
(4)过点O作OG⊥AC于点G,OH⊥BC于点H,
则四边形OGCH是矩形,且AP=2AG,
又∵CO平分∠ACB,∴OG=OH,∴矩形OGCH是正方形.(10分)
设正方形OGCH的边长为x,则AG=3﹣x,
∵OG∥BC,∵△AOG∽△ABC,
∴,∴,
∴,∴,∴AP=2AG=.(12分)
精选5、
证法1:
(截长)如图,截DF=DB,易证△DBF为等边三角,然后证△BDC≌△BFA即可;
证法2:
(截长)如图,截DF=DC,易证△DCF为等边三角,然后证△BDC≌△AFC即可;
证法3:
(补短)如图,延长BD至F,使DF=DC,此时BD+DC=BD+DF=BF,
易证△DCF为等边△,再证△BCF≌△ACD即可.
证法4:
(四点共圆)两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆.
设AB=AC=BC=a,根据(圆内接四边形)托勒密定理:
CD·a+BD·a=AD·a,得证.
精选6、
解:
(1)如图1,①∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得:
AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO.∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C,∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:
4,
∴====.
∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.
∵AD=8,∴CP=4,BC=8.
设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x.
在Rt△PCO中,
∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,
∴x2=(8﹣x)2+42.
解得:
x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
(2)如图1,
∵P是CD边的中点,
∴DP=DC.
∵DC=AB,AB=AP,
∴DP=AP.
∵∠D=90°,
∴sin∠DAP==.
∴∠DAP=30°.
∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°,
∴∠OAB=30°.
∴∠OAB的度数为30°.
(3)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2.
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.
∴∠APB=∠MQP.
∴MP=MQ.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,
∴PE=EQ=PQ.
∵BN=PM,MP=MQ,
∴BN=QM.
∵MQ∥AN,
∴∠QMF=∠BNF.
在△MFQ和△NFB中,
.
∴△MFQ≌△NFB.
∴QF=BF.
∴QF=QB.
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.
由
(1)中的结论可得:
PC=4,BC=8,∠C=90°.
∴PB==4.
∴EF=PB=2.
∴在
(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2.
精选7、
解:
(1)DF=DE.理由如下:
如答图1,连接BD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB.
又∵∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,∠ADB=60°,
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°,
∴∠ADF=∠BDE.∵在△ADF与△BDE中,,
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DF=DE;
(2)DF=DE.理由如下:
如答图2,连接BD.∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB.
又∵∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,∠ADB=60°,
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°,
∴∠ADF=∠BDE.
∵在△ADF与△BDE中,,
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DF=DE;
(3)由
(2)知,△ADF≌△BDE.则S△ADF=S△BDE,AF=BE=x.
依题意得:
y=S△BEF+S△ABD=(2+x)xsin60°+×2×2sin60°=(x+1)2+.即y=(x+1)2+.
∵>0,
∴该抛物线的开口方向向上,
∴当x=0即点E、B重合时,y最小值=.
精选8、
(1)解:
过点C作CF⊥y轴于点F,
∴∠AFC=90°,
∴∠CAF+∠ACF=90°.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴AC=AB,∠CAF+∠BAO=90°,∠AFC=∠BAC,
∴∠ACF=∠BAO.
在△ACF和△ABO中,
,
∴△ACF≌△ABO(AAS)
∴CF=OA=1,AF=OB=2
∴OF=1
∴C(﹣1,﹣1);
(2)证明:
过点C作CG⊥AC交y轴于点G,
∴∠ACG=∠BAC=90°,
∴∠AGC+∠GAC=90°.
∵∠CAG+∠BAO=90°,
∴∠AGC=∠BAO.
∵∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAO=90°,
∴∠ADO=∠BAO,
∴∠AGC=∠ADO.
在△ACG和△ABD中
∴△ACG≌△ABD(AAS),
∴CG=AD=CD.
∵∠ACB=∠ABC=45°,
∴∠DCE=∠GCE=45°,
在△DCE和△GCE中,
,
∴△DCE≌△GCE(SAS),
∴∠CDE=∠G,
∴∠ADB=∠CDE;
(3)解:
在OB上截取OH=OD,连接AH
由对称性得AD=AH,∠ADH=∠AHD.
∵∠ADH=∠BAO.
∴∠BAO=∠AHD.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABO=∠EBO,
∵∠AOB=∠EOB=90°.
在△AOB和△EOB中,
,
∴△AOB≌△EOB(ASA),
∴AB=EB,AO=EO,
∴∠BAO=∠BEO,
∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO.
∴∠AEC=∠BHA.
在△AEC和△BHA中,
,
∴△ACE≌△BAH(AAS)
∴AE=BH=2OA
∵DH=2OD
∴BD=2(OA+OD).
精选9、
(1)证:
设交于点,与交于点,
由已知,
四边形是平行四边形,.
又.
(2)证:
作,垂足分别为,
在中,
.
.
又,
.
又,
.
(3)解:
,
,
.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大.
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