特征值与特征向量定义与计算.docx
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特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念及其计算
定义1.设A是数域P上的一个n阶矩阵,l是一个未知量,
称为A的特征多项式,记¦(l)=|lE-A|,是一个P上的关于l
的n次多项式,E是单位矩阵。
¦(l)=|lE-A|=ln+a1ln-1+…+an=0是一个n次代数方程,称为A的特征方程。
特征方程¦(l)=|lE-A|=0的根(如:
l0)称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n个根,而在实数域内不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。
以A的特征值l0代入(lE-A)X=q,得方程组(l0E-A)X=q,是一个齐次方程组,称为A的关于l0的特征方程组。
因为|l0E-A|=0,(l0E-A)X=q必存在非零解X(0),X(0)称为A的属于l0的特征向量。
所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法
对于矩阵A,由AX=l0X,l0EX=AX,得:
[l0E-A]X=q即齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是:
即说明特征根是特征多项式|l0E-A|=0的根,由代数基本定理
有n个复根l1,l2,…,ln,为A的n个特征根。
当特征根li(I=1,2,…,n)求出后,(liE-A)X=q是齐次方程,li均会使|liE-A|=0,(liE-A)X=q必存在非零解,且有无穷个解向量,(liE-A)X=q的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1.求矩阵的特征值与特征向量。
解:
由特征方程
解得A有2重特征值l1=l2=-2,有单特征值l3=4
对于特征值l1=l2=-2,解方程组(-2E-A)x=q
得同解方程组x1-x2+x3=0
解为x1=x2-x3(x2,x3为自由未知量)
分别令自由未知量
得基础解系
所以A的对应于特征值l1=l2=-2的全部特征向量为
x=k1x1+k2x2(k1,k2不全为零)
可见,特征值l=-2的特征向量空间是二维的。
注意,特征值在重根时,特征向量空间的维数£特征根的重数。
对于特征值l3=4,方程组(4E-A)x=q
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=2得基础解系
所以A的对于特征值l3=4得全部特征向量为x=k3x3
例2. 求矩阵的特征值与特征向量
解:
由特征方程
解得A有单特征值l1=1,有2重特征值l2=l3=0
对于l1=1,解方程组(E-A)x=q
得同解方程组为
同解为
令自由未知量x3=1,得基础解系
所以A的对应于特征值l1=1的全部特征向量为x=k1x1(k1¹0)
对于特征值l2=l3=0,解方程组(0E-A)=q
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=1,得基础解系
此处,二重根l=0的特征向量空间是一维的,特征向量空间的维数<特征根的重数,这种情况下,矩阵A是亏损的。
所以A的对应于特征值l2=l3=0得全部特征向量为x=k2x3
例3. 矩阵的特征值与特征向量
解:
由特征方程
解得A的特征值为l1=1,l2=i,l3=-i
对于特征值l1=1,解方程组(E-A)=q,由
得通解为
令自由未知量x1=1,得基础解系x1=(1,0,0)T,所以A的对应于特征值l1=1得全部特征向量为x=k1x1
对于特征值l2=i,解方程组(iE-A)=q
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=1,得基础解系x2=(0,i,1)T,所以A对应于特征值l2=1的全部特征向量为x=k2x2(k2¹0)。
对于特征值l3=-i,解方程组(-E-A)x=q,由
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=1,,得基础解系x3=(0,-i,1)T,所以A的对应于l3=-i的全部特征向量为x=k3x3。
特征根为复数时,特征向量的分量也有复数出现。
特征向量只能属于一个特征值。
而特征值li的特征向量却有无穷多个,他们都是齐次线性方程组(liE-A)x=q的非0解。
其中,方程组(liE-A)x=q的基础解系就是属于特征值li的线性无关的特征向量。
性质1.n阶方阵A=(aij)的所有特征根为l1,l2,…,ln(包括重根),则
证第二个式子:
由伟达定理,l1l2…ln=(-1)nan
又|lE-A|=ln+a1ln-1+…+an-1l1+an中用l=0代入二边,得:
|-A|=an,而|A|=(-1)nan=l1l2…ln,
性质2.若l是可逆阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则
是A-1的一个特征根,x仍为对应的特征向量。
证:
可见是A-1的一个特征根。
其中l¹0,这是因为0不会为可逆阵的特征根,不然,若li=0,
|A|=l1l2…ln=0,A奇异,与A可逆矛盾。
性质3.若l是方阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则
lm是Am的一个特征根,x仍为对应的特征向量。
证:
1)Ax=lx,二边左乘A,得:
A2x=Alx=lAx=llx=l2x,
可见l2是A2的特征根;
2)若lm是Am的一个特征根,Amx=lmx,
二边左乘A,得:
Am+1x=AAmx=Almx=lmAx=lmlx=lm+1x,
得lm+1是Am+1的特征根
用归纳法证明了lm是Am的一个特征根。
性质4.设l1,l2,…,lm是方阵A的互不相同的特征值。
xj是属于li的特征向量(i=1,2,…,m),则x1,x2,…,xm线性无关,即不相同特征值的特征向量线性无关。
性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系,因而是一个很重要的结论。
性质4可推广为:
设l1,l2,…,lm为方阵A的互不相同的特征值,x11,x12,…,x1,k1是属于l1的线性无关特征向量,……,xm1,xm2,…,xm,k1是属于lm的线性无关特征向量。
则向量组x11,x12,…,x1,k1,…,xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。
即对于互不相同特征值,取他们各自的线性无关的特征向量,则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。
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