人教版高中数学A版必修4学案 任意角的三角函数一.docx
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人教版高中数学A版必修4学案任意角的三角函数一
1.2.1 任意角的三角函数
(一)
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.
1.任意角三角函数的定义
(1)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
①y叫做α的正弦,记作sin_α,即sin_α=y;
②x叫做α的余弦,记作cos_α,即cos_α=x;
③叫做α的正切,记作tan_α,即tanα=(x≠0).
对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.
(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sinα=,cosα=,tanα=.
2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
3.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等,即:
sin(α+k·2π)=sin_α,cos(α+k·2π)=cosα,
tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.
[情境导学] 在初中我们已经学过锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数,角的概念推广后,这样的三角函数的定义明显不再适用,如何对三角函数重新定义,这一节我们就来一起研究这个问题.
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图,
Rt△ABC中,∠C=90°,若已知a=3,b=4,c=5,试求sinA,cosB,sinB,cosA,tanA,tanB的值.
答 sinA=cosB==;
sinB=cosA==;
tanA==;tanB==.
思考2 如图,锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在α终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离为r,作PM⊥x轴,你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα,cosα,tanα吗?
答 sinα=,cosα=,tanα=.
思考3
如图所示,在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x,y)点,则有:
sinα=y,cosα=x,tanα=.
探究点二 任意角三角函数的概念
思考1 任意角三角函数是怎样定义的?
①单位圆定义法:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).
②终边定义法:
设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则有sinα=,cosα=,tanα=(x≠0),其中r=>0.
思考2 对于确定的角α,这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢?
答 由三角函数的定义知,三角函数值是一个比值,即一个实数,它的大小只与角α的终边位置有关,即与角有关,与角α终边上点P的位置无关.
思考3 在上述三角函数定义中,自变量是什么?
对应关系有什么特点,函数值是什么?
答
(1)正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将这种函数统称为三角函数.
(2)当α=+kπ(k∈Z)时,α的终边在y轴上,终边上任意一点的横坐标x都等于0,所以tanα=无意义,除此情况外,对于确定的值α,上述三个值都是唯一确定的实数.
(3)当α是锐角时,此定义与初中定义相同;当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点P(x,y),从而就必然能够最终计算出三角函数值.
例1 求的正弦、余弦和正切值.
解
在直角坐标系中,
作∠AOB=,
∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为,
所以sin=-,cos=,tan=-.
反思与感悟 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数,需要确定三个量:
角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意,当点的坐标含有参数时,应分类讨论.
跟踪训练1 已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=.
答案 -8
解析 因为sinθ==-,
所以y<0,且y2=64,所以y=-8.
探究点三 三角函数值在各象限的符号
思考 上述三种函数的值在各象限的符号会怎样?
答 三角函数的定义告诉我们,三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号.
(1)sinα=(r>0),因此sinα的符号与y的符号相同,当α的终边在第一、二象限时,sinα>0;当α的终边在第三、四象限时,sinα<0.
(2)cosα=(r>0),因此cosα的符号与x的符号相同,当α的终边在第一、四象限时,cosα>0;当α的终边在第二、三象限时,cosα<0.
(3)tanα=,因此tanα的符号由x、y确定,当α终边在第一、三象限时,xy>0,tanα>0;当α终边在第二、四象限时,xy<0,tanα<0.
三角函数值在各象限内的符号,如图所示:
记忆口诀:
一全正,二正弦,三正切,四余弦.
例2 判断下列各式的符号:
(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角);
(2)sin285°cos(-105°);
(3)sin3·cos4·tan.
解
(1)∵α是第二象限角.
∴sinα>0,cosα<0,∴sinα·cosα<0.
(2)∵285°是第四象限角,∴sin285°<0,
∵-105°是第三象限角,∴cos(-105°)<0,
∴sin285°·cos(-105°)>0.
(3)∵<3<π,π<4<,
∴sin3>0,cos4<0.
∵-=-6π+,
∴tan>0,
∴sin3·cos4·tan<0.
反思与感悟 准确确定三角函数值中角所在象限是基础,准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.
跟踪训练2 已知cosθ·tanθ<0,那角θ是( )
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
答案 C
解析 ∵cosθ·tanθ<0,∴或
由得角θ为第三象限角.
由得角θ为第四象限角.
∴角θ为第三或第四象限角.
探究点四 诱导公式一
思考1 诱导公式一是什么?
答 由任意角的三角函数的定义可以知道,终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一:
sin(k·360°+α)=sinα,cos(k·360°+α)=cosα,
tan(k·360°+α)=tanα,其中k∈Z,
或者:
sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,
tan(2kπ+α)=tanα,其中k∈Z.
思考2 诱导公式一的作用是什么?
答 把求任意角的三角函数值转化为求0°~360°的三角函数值.
例如:
sin420°=sin60°=;cos(-330°)=cos30°=;tan(-315°)=tan45°=1.
例3 求下列各式的值.
(1)cos+tan;
(2)sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°.
解
(1)原式=cos+tan
=cos+tan=+1=.
(2)原式=sin(-4×360°+120°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°)=sin120°cos30°+cos60°sin30°+tan135°
=×+×-1=0.
反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数,也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
跟踪训练3 求下列各式的值:
(1)cos+tan;
(2)sin630°+tan1125°+tan765°+cos540°.
解
(1)原式=cos+tan
=cos+tan=+1=.
(2)原式=sin(360°+270°)+tan(3×360°+45°)+tan(2×360°+45°)+cos(360°+180°)
=sin270°+tan45°+tan45°+cos180°
=-1+1+1-1=0.
1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα等于( )
A.B.
C.-D.-
答案 D
解析 因为角α的终边经过点(-4,3),所以x=-4,y=3,r=5,所以cosα==-.
2.如果角α的终边过点P(2sin30°,-2cos30°),则cosα的值等于( )
A.B.-C.-D.
答案 A
解析 2sin30°=1,-2cos30°=-,
∴r=2,∴cosα=.
3.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cosα=,则tanα等于( )
A.-B.C.D.-
答案 D
解析 ∵cosα==,
∴=5,∴y2=16,
∵y<0,∴y=-4,∴tanα=-.
4.tan405°-sin450°+cos750°=.
答案
解析 tan405°-sin450°+cos750°=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)=tan45°-sin90°+cos30°=1-1+=.
[呈重点、现规律]
1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题,并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
一、基础过关
1.有下列说法:
①终边相同的角的同名三角函数的值相等;
②终边不同的角的同名三角函数的值不等;
③若sinα>0,则α是第一、二象限的角;
④若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cosα=-,其中正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案 B
解析 只有①正确.
2.当α为第二象限角时,-的值是( )
A.1B.0
C.2D.-2
答案 C
解析 ∵α为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0.
∴-=-=2.
3.角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=-,则b的值为( )
A.3B.-3C.±3D.5
答案 A
解析 r=,cosα===-.
∴b=3.
4.若tanx<0,且sinx-cosx<0,则角x的终边在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案 D
解析 ∵tanx<0,∴角x的终边在第二、四象限,
又sinx-cosx<0,∴角x的终边在第四象限.故选D.
5.若三角形的两内角α,β满足sinαcosβ<0,则此三角形必为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.以上三种情况都可能
答案 B
解析 ∵sinαcosβ<0,α,β∈(0,π),∴s
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