人教A版数学选修4数学选修41人教A版docx文档格式.docx
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C
4.如图所示,在⊙O中,弦AB长等于半径,点E为BA延长线上的一点,∠DAE=80°
,则∠ACD的度数是( )
A.60°
B.50°
C.45°
D.30°
5.如图所示,
两个等圆⊙O与⊙O′外切,过点O作⊙O′的两条切线OA、OB,点A、B是切点,则∠AOB=( )
A.90°
C.45°
D.30°
B
6.如图所示,
正方形ABCD内接于⊙O,点E为DC的中点,直线BE交⊙O于点F,若⊙O的半径为
,则BF的长为( )
A.
B.
C.
D.
C
7.如图所示,在△ABC中,AD是高,△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G,有下列四个结论:
①AD2=BD·
CD;
②BE2=EG·
AE;
③AE·
AD=AB·
AC;
④AG·
EG=BG·
CG.
其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.如图,AB为⊙O的直径,CB切⊙O于点B,CD切⊙O于点D,交BA的延长线于点E,若AB=3,ED=2,则BC的长为( )
A.2B.3
C.3.5D.4
解析:
依条件,BC=CD,而ED2=EA·
EB=EA·
(EA+AB),
∴22=EA2+3EA,得EA=1,则EB=4.
易得EC2=EB2+BC2,即(2+BC)2=16+BC2,BC=3.
答案:
9.如图,P为⊙O外一点,割线PAB交⊙O于A、B两点,若PO=10,且PA2=36-PA·
AB,则⊙O的半径为( )
A.8B.6C.4D.3
设直线PO与⊙O交于C、D.
∵PA2=36-PA·
AB,即PA2+PA·
AB=36.
∴PA·
PB=36,
设所求为r,则(10-r)(10+r)=36.r=8.
A
10.一圆柱面与一平面相截,平面与母线所成的角为60°
,截线上最长的弦为4
,则圆柱面的半径为( )
B.2
C.3D.6
二、填空题(4×
5=20分)
11.如图,EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°
,∠DCF=32°
,则∠A的度数是________.
99°
12.如图,已知△ABC中,边AC上一点F分AC为
=
,BF上一点G分BF为
,AG的延长线与BC交于点E,则BE∶EC=________.
13.如图,PA切⊙O于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,OA绕点O逆时针旋转60°
到OD,则PD的长为________.
14.如图,
已知F为抛物线的焦点,l为其准线,过F引PQ⊥轴AB,交抛物线于P、Q,A在l上,以PQ为直径作圆,C为l上一点,CF交⊙F于D.CA=4,CD=2,则PQ=________.
过P作PE⊥l,延长CF交⊙F与G.
∵PF=PE,又PE=AF,即PF=AF.
∴l为⊙F切线.
∴CA2=CD·
CG,即16=2(2+DG),DG=6,∴PQ=6.
6
三、解答题(共80分)
15.(12分)如图所示,
已知两同心圆中,大圆的弦AB、AC切小圆于D、E,△ABC的周长为12cm,求△ADE的周长.
连接OD、OE.
∵AB、AC切小圆于D、E,
∴OD⊥AB,OE⊥AC.
∴AD=
AB,AE=
AC.
又∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC.
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=12(cm),
∴△ADE的周长=
×
12=6(cm).
故△ADE的周长为6cm.
16.(12分)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD=AC,AE=6,BD=5,求CF的长.
先证明四边形AEBC是平行四边形,然后利用切割线定理求出EB的长,即得AC的长,再通过三角形相似求出CF的长.
因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为AE与圆相切,所以∠EAB=∠C.所以∠ABC=∠EAB,所以AE∥BC.又因为AC∥DE,所以四边形AEBC是平行四边形.由切割线定理可得AE2=EB·
ED,于是62=EB(EB+5),所以EB=4(负值舍去),因此AC=4,BC=6.又因为△AFC∽△DFB,所以
,解得CF=
.
17.(14分)已知:
如图所示,
在四边形ABCD中,AC⊥BD,AB、BC、CD、DA四边中点分别为点E、F、G、H.求证:
点E、F、G、H四点共圆.
分析:
要证明此四点共圆,可以利用圆内接四边形的判定定理.
证明:
如图所示,连接EF、FG、GH、EH.
∵点E、F分别是AB、BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC.
同理:
EH∥BD,
∵AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
即∠HEF=90°
∠HGF=90°
,
∴∠HEF+∠HGF=180°
∴E、F、G、H四点共圆.
18.(14分)如图所示,
AF是⊙O的直径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.DE⊥OB,垂足为点E.
(1)求证:
点D是AB的中点.
(1)连接DO.
⇒点D为AB中点.
(2)求证:
DE是⊙C的切线.
连接CD.
⇒
⇒CD⊥DE⇒DE为⊙C的切线.
(3)求证:
BE·
BF=2AD·
ED.
AF为⊙O的直径⇒
19.(14分)如图所示,
已知P是直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.
PA·
PB=PO·
PE;
连接OD.
∵DF⊥AB,
∴∠AOD=∠DCF.
∴180°
-∠AOD=180°
-∠DCF.
∴∠POD=∠PCE,又∵∠P为公共角,
∴△PCE∽△POD.∴
∴PC·
PD=PO·
PE.
由割线定理PC·
PD=PA·
PB,
PE.
(2)若DE⊥CF,∠P=15°
,⊙O的半径为2,求CF的长.
∵AB⊥DF,∴DE=EF.
∵DE⊥CF,∴△DEF为等腰直角三角形.
∴∠F=∠FEH=∠HDE=45°
∵∠P=15°
,∴∠DCF=∠P+∠CEP=15°
+45°
=60°
.∴∠DOH=60°
在Rt△ODH中,
DH=OD·
sin∠DOH=2·
sin60°
在Rt△DHE中,DE=
在Rt△CDE中,∠DCE=60°
∴CE=DE·
cot60°
·
∴CF=EF+CE=
+
20.(14分)如图,已知椭圆的焦点为F1、F2,A、B为顶点,离心率e=
A、F1、B、F2四点共圆;
(1)∵e=
,∴a2=2c2.
又a2=b2+c2,∴b2+c2=2c2.
∴b=c,即OA=OF1=OB=OF2.
又AB⊥F1F2,∴四边形AF1BF2是正方形.
∴A、F1、B、F2四点共圆.
(2)以BF1直径,作半圆O1,AF切半圆于E,交F1B延长线于F,求cosF的值.
连接O1E.∵AF切⊙O1于E,
∴O1E⊥AF.
∴△O1EF∽△AF1F.
∴
∴F1F=2EF.
又由切割线定理,得EF2=FB·
FF1.
∴BF=
EF.
∴O1B=
EF,FO1=O1B+BF=
∴cosF=
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