912 分层随机抽样Word下载.docx
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2.分层随机抽样中,个体数量较少的层抽取的样本量较少,这是不公平的.(×
3.从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样.(×
提示 1.在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本量大小外,还要依据总体的构成情况.
2.根据抽样的意义,对每个个体都是公平的.
3.适合用简单随机抽样.
[微训练]
1.某校高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康状况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是( )
A.简单随机抽样B.抽签法
C.随机数法D.分层随机抽样
解析 从男生500人中抽取25人,从女生400人中抽取20人,抽取的比例相同,因此用的是分层随机抽样.
答案 D
2.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层随机抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.
解析 根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为
×
300=60.
答案 60
[微思考]
1.分层随机抽样的总体具有什么特性?
提示 分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体,并且每一个个体属于且仅属于一个子总体.
2.简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系?
提示
(1)区别:
简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本;
分层随机抽样则首先将总体分成几层,在各层中按比例分别抽取样本.
(2)联系:
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等;
②每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样.
题型一 对分层随机抽样概念的理解
【例1】
(1)某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取20人,用下列哪种方法最合适( )
A.抽签法B.随机数
C.简单随机抽样D.分层随机抽样
(2)分层随机抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取,必须进行( )
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽取的个体数量相同
解析
(1)总体由差异明显的三部分构成,应选用分层随机抽样.
(2)为了保证每个个体等可能的被抽取,分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.
答案
(1)D
(2)C
规律方法 1.使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体,并且每一个个体属于且仅属于一个子总体,而层内个体间差异较小.
2.使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.
【训练1】 下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125户,中等收入的家庭280户,低收入的家庭95户,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本
C.从1000名工人中,抽取100人调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
解析 A中总体所含个体无差异且个数较少,适合用简单随机抽样;
C和D中总体所含个体无差异但个数较多,不适合用分层随机抽样;
B中总体所含个体差异明显,适合用分层随机抽样.
答案 B
题型二 分层随机抽样的应用 抓住抽样比,即
是解题的关键
【例2】 某学校有在职人员160人,其中行政人员有16人,教师有112人,后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,请利用分层随机抽样的方法抽取,写出抽样过程.
解 抽样过程如下:
第一步,确定抽样比,样本量与总体的个体数的比为
.
第二步,确定分别从三类人员中抽取的人数,从行政人员中抽取16×
=2(人);
从教师中抽取112×
=14(人);
从后勤人员中抽取32×
=4(人).
第三步,采用简单随机抽样的方法,抽取行政人员2人,教师14人,后勤人员4人.
第四步,把抽取的个体组合在一起构成所需样本.
规律方法 分层随机抽样的步骤
【训练2】 一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?
并写出具体过程.
解 因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层随机抽样的方法.
具体过程如下:
第一步,将3万人分为5层,一个乡镇为一层.
第二步,按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60,40,100,40,60.
第三步,采用简单随机抽样的方法,按照各层抽取的人数抽取各乡镇的样本.
第四步,将300人合到一起,即得到一个样本.
题型三 分层随机抽样中的计算问题
【探究1】 在分层随机抽样中,N为总样本量,n为样本量,如何确定各层的个体数?
提示 每层抽取的个体的个数为ni=Ni×
,其中Ni为第i(i=1,2,…,k)层的个体数,
为抽样比.
【探究2】 在分层随机抽样中,总体的个体数、样本量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系?
提示 设总体的个体数为N,样本量为n,第i(i=1,2,…,k)层的个体数为Ni,各层抽取的样本量为ni,则
,这四者中,已知其中三个可以求出另外一个.
【探究3】
(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查,假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A.101B.808C.1212D.2012
(2)将一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本,则应从C中抽取________个个体.
(3)分层随机抽样中,总体共分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为________.
解析
(1)因为甲社区有驾驶员96人,并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12,
所以抽取驾驶员的抽样比为
,
所以驾驶员的总人数为(12+21+25+43)÷
=808.
(2)∵A,B,C三层个体数之比为5∶3∶2,又由总体中每个个体被抽到的概率相等,∴分层随机抽样应从C中抽取100×
=20(个)个体.
(3)
3+
8=6.
答案
(1)B
(2)20 (3)6
规律方法
(1)进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的两个关系
①
;
②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
(2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为:
【训练3】 甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生( )
A.30人,30人,30人B.30人,45人,15人
C.20人,30人,40人D.30人,50人,10人
解析 先求抽样比
,再各层按抽样比分别抽取,甲校抽取3600×
=30(人),乙校抽取5400×
=45(人),丙校抽取1800×
=15(人),故选B.
一、素养落地
1.通过学习分层随机抽样的概念及实施步骤,重点培养学生数据分析的核心素养.
2.对于分层随机抽样中的比值问题,常利用以下关系式求解:
(1)
(2)总体中各层容量之比=对应层抽取的样本数之比.
3.选择抽样方法的规律:
(1)当总体的个体数和样本量都较小时,可采用抽签法.
(2)当总体的个体数较大,样本量较小时,可采用随机数法.
(3)当总体按一个或多个变量可划分为若干个层时,采用分层随机抽样.
二、素养训练
1.某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法B.简单随机抽样
C.分层随机抽样D.随机数法
解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样.
答案 C
2.某林场有树苗30000棵,其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况,采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为( )
A.30B.25C.20D.15
解析 样本中松树苗为4000×
=4000×
=20(棵).
3.某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取________名学生.
解析 C专业的学生有1200-380-420=400(名),由分层随机抽样原理,应抽取120×
=40(名).
答案 40
4.一批产品中有一级品100个,二级品60个,三级品40个,从这批产品中抽取一个容量为20的样本.请利用分层随机抽样的方法抽取,写出抽样过程.
解 第一步,确定抽样比,因为100+60+40=200,所以抽样比为
第二步,确定各层抽取的样本量,一级品:
100×
=10,二级品:
60×
=6,三级品:
40×
=4.
第三步,采用简单随机抽样的方法,从各层分别抽取样本.
基础达标
一、选择题
1.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.
方法1:
采用简单随机抽样的方法,将零件编号00,01,02,…,99,用抽签法抽取20个.
方法2:
采用分层随机抽样的方法,从一级品中随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个,从三级品中随机抽取10个.
对于上述问题,下列说法正确的是( )
①不论采用哪种抽样方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是
②采用不同的方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同;
③在上述两种抽样方法中,方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征;
④在上述抽样方法中,方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征.
A.①②B.①③C.①④D.②③
解析 根据两种抽样的特点知,不论哪种抽样,总体中每个个体入样的可能性都相等,都是
,故①正确,②错误.由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品),故方法2抽到的样本更有代表性,③正确,④错误.故①③正确.
2.某校为了解高一学生的学习规划情况,在高一年级6个班级中任选两个班级,并在所选的班级中按男女比例抽取样本,则应采用的抽样方法是( )
A.简单随机抽样
B.分层随机抽样
C.先用分层随机抽样,再用随机数法
D.先用抽签法,再用分层随机抽样
解析 采用抽签法从6个班级中抽取两个班级,然后采用分层随机抽样的方法在所选的班级中按男女比例抽取样本,故D项正确.
3.某商场有四类食品,食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
A.7B.6C.5D.4
解析 由已知可得抽样比为:
∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(10+20)×
=6.
4.当前,国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户.若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中低收入家庭的住房问题,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A.40B.30C.20D.36
解析 由题意可知90×
=40.
答案 A
5.在1000个球中有红球50个,从中抽取100个进行分析,如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样,则应抽红球( )
A.33个B.20个C.5个D.10个
解析 设应抽红球x个,由
,则x=5.
二、填空题
6.一支田径队有男、女运动员98人,其中男运动员有56人.按男、女比例用分层随机抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员的人数是________.
解析 抽取女运动员的人数为
(98-56)=12.
答案 12
7.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.
解析 高二年级学生人数占总数的
,样本量为50,则50×
=15.
答案 15
8.某分层随机抽样中,有关数据如下:
样本量
平均数
第1层
45
4
第2层
35
8
此样本的平均数为________.
解析
4+
8=5.75.
答案 5.75
三、解答题
9.一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人.为了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取?
解 用分层随机抽样来抽取样本,步骤如下:
(1)分层.按年龄将500名职工分成三层:
不到35岁的职工;
35岁至49岁的职工;
50岁及50岁以上的职工.
(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为
,则在不到35岁的职工中抽取125×
=25(人);
在35岁至49岁的职工中抽取280×
=56(人);
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×
=19(人).
(3)在各层分别用随机数法抽取样本.
(4)汇总每层所抽取的个体,组成样本.
10.某高级中学共有学生3000名,各年级男、女生人数如下表:
高一年级
高二年级
高三年级
女生
487
x
y
男生
513
560
z
已知从全校学生中随机抽取1名学生,抽到高二年级女生的几率是0.18.
(1)问高二年级有多少名女生?
(2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生,问应从高三年级抽取多少名学生?
解
(1)由
=0.18得x=540,所以高二年级有540名女生.
(2)高三年级人数为:
y+z=3000-(487+513+540+560)=900.
∴
900=90,故应从高三年级抽取90名学生.
能力提升
11.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )
A.100B.150C.200D.250
解析 法一 由题意可得
,解得n=100.
法二 由题意,抽样比为
,总体的个体数为3500+1500=5000,故n=5000×
=100.
12.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工只能参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%;
登山组的职工占参加活动总人数的
,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本.试求:
(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例;
(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.
解
(1)设登山组人数为x,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a,b,c,
则有
=47.5%,
=10%.解得b=50%,c=10%.
故a=1-50%-10%=40%.即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占的比例为40%,50%,10%.
(2)游泳组中,抽取的青年人人数为200×
40%=60;
抽取的中年人人数为200×
50%=75;
抽取的老年人人数为200×
10%=15.
创新猜想
13.(多选题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则( )
A.应采用分层随机抽样抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的
解析 由于总体按型号分为三个子总体,所以应采用分层随机抽样抽取,A正确;
设三种型号的轿车依次抽取x辆,y辆,z辆,
解得
所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆,故C正确;
由分层随机抽样的意义可知D也正确.
答案 ACD
14.(多填题)高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛,高一年级有450人,高二年级有350人,通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本,得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分,则
(1)高一、高二抽取的样本量分别为________;
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________.
解析
(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为
450=90,高二年级抽取的样本量为
350=70.
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为
80+
90=84.375(分).
答案
(1)90,70
(2)84.375
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